含绝对值不等式的解法

学习目标1.根据不等式的性质，利用绝对值不等式的几何意义求解单向或双向的绝对质不等式；2．在进行含有参数的不等式的求解问题时，要学会分类讨论.3.掌握常见不等式|x－c|＋|x－b|≥a的解法．并会运用分段讨论法、图象法和几何法来求解．1．若a0，且|x|a，则____________；若a0，且|x|a，则____________.2．|ax＋b|c(c0)型不等式的解法：(1)换元法：令t＝ax＋b，则|t|c，故____________，即________或__________，然后再求x，得原不等式的解集．xa或x－a－axatc或t－cax＋bcax＋b－c(2)分段讨论法：|ax＋b|≤c(c0)⇔__________________________________ax＋b≥0ax＋b≤c或ax＋b0－ax＋b≤c.3．解|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c型不等式，除分段讨论法外，还可用________________(课本上叫做图象法、几何法)．函数法或几何意义解下列不等式．(1)|2x＋5|7.(2)|2x＋5|7＋x.(3)|x2－3x＋1|5.单向的绝对值不等式例1【思路点拨】仿照|x|a，|x|a的解集形式．【解】(1)原不等式等价为－72x＋57.∴－122x2，∴－6x1，∴原不等式解集为{x|－6x1}．(2)由不等式|2x＋5|7＋x，可得2x＋57＋x或2x＋5－(7＋x)，∴x2或x－4.∴原不等式解集为{x|x2或x－4}．(3)原不等式可化为－5x2－3x＋15，即x2－3x＋1－5，x2－3x＋15.∴x∈R，－1x4，即－1x4.∴原不等式的解集为{x|－1x4}．变式训练1解不等式|2x－1|2－3x.解：原不等式等价为3x－22x－12－3x，即2x－12－3x，2x－13x－2，得5x3，x1，原不等式解集为{x|x35}．解不等式1|2－x|≤7.【思路点拨】利用|x|a与|x|a的解法来转化该不等式．双向的绝对值不等式例2【解】法一：原不等式可转化为|2－x|1，|2－x|≤7，∴2－x1或2－x－1，2－x≥－7，2－x≤7，即x1或x3，x≤9，x≥－5.∴－5≤x1或3x≤9.∴原不等式解集为{x|－5≤x1或3x≤9}．法二：原不等式可转化为－7≤2－x－1或12－x≤7，∴3x≤9或－5≤x1，∴原不等式解集为{x|－5≤x1或3x≤9}．【名师点评】本例题是不等式的一种常见题，第二种解法要比第一种解法更为简单．也可根据绝对值的意义解题．变式训练2解不等式1|x－2|≤3.解：原不等式等价于不等式组|x－2|1，|x－2|≤3，即x1或x3，－1≤x≤5，解得－1≤x1或3x≤5，所以原不等式的解集为{x|－1≤x1或3x≤5}．已知集合A＝{x||2－x|5}，B＝{x||x＋a|≥3}，且A∪B＝R，求a的取值范围．【思路点拨】化简两个集合，求出解集形式，通过两解集区间端点的关系求a.含参数的绝对值不等式例3【解】∵A＝{x||2－x|5}＝{x||x－2|5}＝{x|－5x－25}＝{x|－3x7}；B＝{x||x＋a|≥3}＝{x|x＋a≥3，或x＋a≤－3}＝{x|x≥3－a，或x≤－a－3}，又A∪B＝R，借助数轴如图所示．【名师点评】解此类题，常借助数轴考虑，把不变的集合固定好，让含参数的集合移动，使它满足已知条件即可．a应满足－a－3≥－3，3－a≤7.∴－4≤a≤0.∴a的取值范围是{a|－4≤a≤0}．解不等式|x－1|＋|x－2|2.【思路点拨】可用零点分段讨论，可用图象法，也可用绝对值几何意义求解．形如|x＋m|±|x＋n|(或)a的不等式的求解例4【解】法一：令x－1＝0，∴x＝1.令x－2＝0，∴x＝2.∴当x1时，原不等式可化为1－x＋2－x2，∴x12，∴原不等式解集为x12.当1≤x2时，原不等式可化为x－1＋2－x2不成立．当x≥2时，x－1＋x－22，∴x52.综上，原不等式解集为{x|x12或x52}．法二：设y1＝|x－1|＋|x－2|，y2＝2.∴y1＝－2x＋3x111≤x22x－3x≥2.其图象如图．【名师点评】法一关键是找零点，法二关键是正确作出图象．∴原不等式的解集为{x|x12或x52}．变式训练1解不等式：|x＋2|－|x－1|2x.解：原不等式可化为：x1x＋2－x－12x①或－2≤x≤1x＋2＋x－12x②或x－2－x＋2＋x－12x③.解①得：x32，解②得：x∈∅，解③得：x∈∅.∴原不等式的解集是{x|x32}．解不等式|x－1|＋|2－x|3＋x.形如|x＋m|±|x＋n|(或)x＋p的不等式的解法例5【解】原不等式变为|x－1|＋|x－2|3＋x，当x≥2时，原不等式变为x－1＋x－23＋x，即x6，∴x6；当1≤x2时，原不等式变为x－1－(x－2)3＋x，即x－2，∴x∈∅；当x1时，原不等式变为－(x－1)－(x－2)3＋x，即x0，∴x0.综上可知，原不等式解集为{x|x0或x6}．【名师点评】以上例题用的解法叫零点分段讨论法，含绝对值两个或两个以上的不等式常用此法．首先找到使每个绝对值等于零的点，然后分段讨论，再求各段结果的并集．一般地，n个零点把数轴分成n＋1段．变式训练2解不等式：|x－1|＋|3x＋5|≤4x＋4.解：当x－53时，有－x＋1－3x－5≤4x＋4，∴8x≥－8.∴x≥－1，此时无解．当－53≤x1时，有－x＋1＋3x＋5≤4x＋4，∴2x≥2.∴x≥1，此时无解．当x≥1时，有x－1＋3x＋5≤4x＋4.∴4≤4成立，∴原不等式解集为{x|x≥1}．(1)对任意x∈R，若|x－3|＋|x＋2|a恒成立，求实数a的取值范围．(2)关于x的不等式a|x－3|＋|x＋2|的解集非空，求实数a的取值范围．(3)关于x的不等式a|x－3|＋|x＋2|在R上无解，求实数a的取值范围．形如|x＋m|±|x＋n|(或)a恒成立的问题例6【思路点拨】对(1)来说，af(x)对x∈R恒成立等价于af(x)的最小值，求f(x)的最小值，只需使用含绝对值的重要不等式|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，求出|x－3|＋|x＋2|的最小值，则问题获解．对(2)(3)来说，问题的关键是如何转化，是求函数f(x)＝|x－3|＋|x＋2|的最大值还是最小值．【解】(1)∵f(x)＝|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5，即f(x)min＝5，∴a5.(2)问题可转化为af(x)的某些值，由题意af(x)min，同上得a5.(3)问题可转化为对一切x∈R恒有a≤f(x)⇔a≤f(x)min，可知a≤5.【名师点评】解关于恒成立问题时注意等价转化思想的应用．f(x)a恒成立⇔f(x)maxa.f(x)a恒成立⇔f(x)mina.变式训练3若不等式|x＋3|－|x－5|m对x∈R恒成立，则m的取值范围为________．解析：|x＋3|－|x－5|≤|x＋3－x＋5|＝8，∴|x＋3|－|x＋5|的最大值为8，∴m8.答案：(8，＋∞)求使不等式|x－4|＋|x－3|a有解的a的取值范围．【错解】∵|x－4|＋|x－3|≥|x－4＋3－x|＝1.∴|x－4|＋|x－3|有最小值为1.∴a1时原不等式有解．【错因】“|x－4|＋|x－3|a有解”理解错．上述解法是无解的情况．例误区警示【自我校正】法一：(1)当x≤3时，原式可转化为4－x＋3－xa，∴x7－a2.又∵x≤3，∴7－a23，∴a1.(2)当3x4时，原式可转化为4－x＋x－3a，∴a1.(3)当x≥4时，原式可转化为x－4＋x－3a，∴2x－7a，∴xa＋72.又∵x≥4，∴a＋724，∴a1.综上所述，使不等式有解的条件是a1.法二：设数x、3、4在数轴上对应的点分别为P、A、B，由绝对值的几何意义，知|PA|＋|PB|a成立．又∵AB＝1，∴数轴上的点到A、B的距离之和大于等于1，即|x－4|＋|x－3|≥1.∴当a1时，不等式有解．