泛函分析

泛函分析基础信息与电气工程学院邹海林2014.2泛函分析基础1、什么是泛函分析？20世纪20年代形成的数学分支，是从变分问题，积分方程和理论物理的研究中发展起来的。它综合运用函数论，几何学，现代数学的观点来研究无限维向量空间上的算子和极限理论。现代泛函分析的奠基人波兰数学家巴拿赫波兰数学家在泛函分析和拓扑学等方面取得了重要成就。其中的领军人物是巴拿赫(StefanBanach1932年巴拿赫出版了《线性算子论》一书，建立了巴拿赫空间上线性算子理论，证明了一批后来成为泛函分析基础的重要定理，成为泛函分析理论成熟的标志。泛函分析的观点和研究手段推动着其他一些数学分析学科的发展，如在微分方程、概率论、函数论、计算数学、控制论、最优化理论等学科中都有重要的运用。2、为什么给研究生开设泛函分析计算机应用技术解决什么？遇到的问题越来越复杂涉及的知识门类多现代数学的作用越来越突出例1：网络技术通信技术计算机技术信号处理技术数学例2：信息安全抽象代数密码学理论数理逻辑例3：图像处理图像分析图像理解底层中层高层空间探测地质勘探遥感遥测生物医学工业探伤安全检测机器视觉人工智能模式识别文化产业多媒体应用领域图像滤波、复原、增强、分割和图像压缩图像特征提取图像识别与分类图像中对象属性及相互关系分析、判别例4：信号的稀疏表示理论：视觉皮层对图像的编码模式傅里叶级数小波变换神经生理学的研究例4：信号的稀疏表示理论：X=Dα例4：3、泛函分析基础的基本内容（1）距离空间（2）赋范线性空间（3）内积空间（4）线性算子与线性泛函（5）投影与逼近第一章距离空间距离的概念是现实物理世界中物体之间距离关系的本质特征的数学抽象。直线上两点之间的距离三维空间中两个向量之间的距离曲面上两点之间的距离……第一章距离空间1.1距离定义设R表示一个非空集合，若其中任意两元素x,y都按一定的规则与一个实数相对应，且满足以下三公理（称为距离公理）：),(yx),(yx),(),(),(zyyxzx0),(yx),(),(xyyx（1）（2）（3）对R中任意3元素x,y,z,有),(zx则称为x,y间的距离，称R为距离空间，其中的元素也称为点。例1：设为非空实数集，对其中任意两个实数x,y定义距离：1R||),(yxyx即为通常意义下的距离，称欧氏距离。||1||),(1yxyxyx另外，还可以用另一种方式来定义距离：第一章距离空间例2：设为n维实向量全体所构成的空间，在其中可定义距离如下：nR2/112)(),(niiiyxyxiiniyxyx11max),(),,,,(21nxxxx),,,(21nyyyy设为nR中任意两元素，则即为平面上两点间的通常距离。nR在中也可以定义另一种距离：第一章距离空间例3：用表示定义在[a,b]上所有连续函数的全体，对于任意,可定义距离：b][a,C],[)(),(batytxC)()(max),(tytxyxbta第一章距离空间例4：用表示[a,b]上所有平方可积函数的全体，即对任意,都有2b][a,L],[2)(batxLdttxba2)(则可在中定义距离，对于任意,可定义距离：b][a,2L],[2)(),(batytxL2/12])()([))(),((badttytxtytx第一章距离空间例5：表示满足的实数列的全体，则其中任意两点),,,(),,,,(2121nnyyyyxxxx2l12||iix间的距离可定义如下：12/12]||[),(iiiyxyx第一章距离空间1.2收敛概念设R为距离空间，为R中点列，),2,1(nxnRx如果当时，数列则称点列n,0),(xxnnx按距离收敛于x,记为),(yxxxnnlim或)(nxxn此时，称为收敛点列，x为的极限。nxnx1.2.1收敛点列第一章距离空间性质：定理1.1在距离空间中，收敛点列的极限是惟一的。定理1.2在距离空间中，距离是两个变元x,y的连续函数。).(yx定理1.3设为距离空间R中的收敛点列，则必有界。nxnxrxx),(0,0Rx即存在,0rnxx有限数使所有都有第一章距离空间1.2.2Cauchy列设为距离空间R中的收敛点列，则存，使nxRx0),(xxnn因为),(),(),(xxxxxxnmnm所以，当时，有nm,使上式(*)成立的点列称为Cauchy列，或基本列。0),(nmxx（*）第一章距离空间1.3距离空间的完备性定义1：在距离空间R中，若任一Cauchy列都在R中有极限，则称距离空间是完备的。定义2：设R，R1都是距离空间，如果存在一个由R到R1的映射T，使一切有Ryx,),(),(1yxTyTx,1其中分别为R，R1上的距离，则称T为R到R1的等距映射，这时，称R与R1为等距。第一章距离空间距离空间的完备化定理：对每个距离空间R，必存在一个完备的距离空间R0，使得R等距于R0中的一个稠密子空间R1，并称R0为R的完备化空间，若除去等距不计，则R0是惟一的。第一章距离空间1.4距离空间的稠密性与可分性定义：设A，B为距离空间R中的子集。若对任意的总存在B中的点列收敛于x，则称B在A中稠密，简称B在A中稠。Axnx稠密性：第一章距离空间关于稠密性的两种等价的说法：（1）若B在A中稠，则对任意的及任意的Ax,0总存在B中的点y，使得),(yx反之亦然（2）若B在A中稠，则对任意的，必有0AxBx)(反之亦然)(x表示以x为中心，以为半径的小球。第一章距离空间可分性：定义：距离空间R称为可分的，是指在E中存在一个稠密的可列子集。第一章距离空间问题：1、写出三维空间的几种距离2、距离空间中的开集、闭集？第一章距离空间1.5距离空间的列紧性（略）第一章距离空间第二章赋范线性空间2.1定义和例1、线性空间的定义：集合E称为实（或复）线性空间，如果：（1）在E内定义了“+”法运算，使对任意的Eyx,都有xyyx且仍E中（交换律）(a)zyxzyx)()(（结合律）(b)存在“零元素”，有E0xx0(c)Ex存在“逆元素”，有0)(xx(d)（2）定义了E中元素与实（复）数域K中的数之间的“数乘”运算，使对任意的,,Eyx都有K,xx)()(且仍E中(a)00,1xxx(b)xxx)((c)(d)yxyx)(第二章赋范线性空间2、赋范线性空间的定义：设E为实（复）线性空间，若对任意的都,Ex有一个非负的实数与之对应，且满足||||x则称为x的范数，E为赋范线性空间，E中的元素称为点。||||x00||||xx(a)Kxx||||||||||(b)Eyxyxxy,||||||||||||(c)第二章赋范线性空间由于实数的有序性，可以比较大小，因此范数给了元素一种可以度量大小的概念。显然，任何赋范线性空间都是距离空间。任意两点x,y之间的距离都可以通过范数来定义（称为由范数导出的距离）：||||),(yxyx第二章赋范线性空间例1：nR在中可定义范数2/112]||[||||niixx或||max||||11inixx同一集合可定义不同的距离，在同一线性空间中，也可以定义不同的范数：nR中的距离：2/112]||[),(niiiyxyx||max),(11iiniyxyx第二章赋范线性空间例2：],[baC其中可定义范数|)(|max||||txxbia|)()(|max),(tytxyxbia并由它导出距离第二章赋范线性空间例3：],[2baL其中可定义范数2/12]|)(|[||||badttxx2/12]|)()(|[),(badttytxyx并由它导出距离第二章赋范线性空间例4：l||sup),(iiiyxyx由它导出距离||sup||||iixx其中可定义范数是一切有界数列的全体，按通常数列的加法和数乘运算构成线性空间。},,,{21xxxl第二章赋范线性空间3、Banach空间：若赋范线性空间按距离||||),(yxyx是完备的，则称它为Banach空间。前面都按范数导出的距离完备，所以他们都是Banach空间。第二章赋范线性空间2.2按范数收敛1、定义：设E为赋范线性空间，，若Exxn,0||||limxxnn则称点列按范数收敛于x，或称强收敛于x，记为nxnxxxnnlim(强)第二章赋范线性空间2、性质：在赋范线性空间E中，若强收敛于x，则有下列性质nx||}{||nx为有界数列||||nx是x的连续泛函(b)(a)(c),xxnn,yynn,yxyxnnn设则(d),nn,xxnnxxnnn设则（c),(d)说明，在赋范线性空间中，线性运算对范数收敛是连续的。第二章赋范线性空间2.3有限维赋范线性空间1、定义：若赋范线性空间E存在有限个线性无关的元素，使任意的neee,,,21Ex都有iniiexx1则称E为有限维赋范线性空间，称},,,{21neee为该空间的基底，称为x关于该基底的坐标。),,,(21nxxx第二章赋范线性空间2、性质：(a)设E是有限维赋范线性空间，则在E上定义的各种范数都相互等价。(b)有限维赋范线性空间必完备且可分。(c)赋范线性空间E为有限维的充要条件是E中的任意有界闭集是列紧的（即有界闭集中的任一点列都有收敛子序列）。有限维赋范线性空间最典型的例子就是n维向量空间。nR第二章赋范线性空间2.4线性算子与线性泛函集合论中，集合与集合的关系称为映射。泛函分析中，把具有一定性质的元素的集合称为空间，把空间到空间的映射称为算子。通常的算子是指由赋范线性空间到赋范线性空间的映射，常用T表示。D(T)表示定义域，N(T)表示值域。1、算子第二章赋范线性空间(1)定义：设E，E1都是赋范线性空间2.4线性算子与线性泛函1)(,)(),()(:ETNETDTNtDTTyTxyxT)(TxxT)(则称T为线性算子。如微分算子、积分算子、由矩阵定义的线性变换等都是线性算子。)(,TDyx若对任意及数有(a)第二章赋范线性空间),(,TDxxn若对任意当时，有xxn(b)TxTxn则称T为连续算子。如范数、有界集上的积分算子、古典分析中的连续函数等都是连续算子。第二章赋范线性空间)(TDx若存在正数M，对任意，使(c)||||||||xMTx则称T为有界算子。当T又是线性算子时，则称T为有界线性算子。如中的线性变换、闭区间上的积分算子、古典分析中的线性函数等都是有界线性算子。nR第二章赋范线性空间)()(TNTD设算子T：，若存在1T使(d)可逆算子)()()()(11TDTNTNTD且对任意，当时，有)(TDx))((TNYTxxyT1，则称T为可逆算子。如由矩阵和它的逆矩阵所代表的线性变换是互逆的算子，函数与反函数也是互逆的算子。算子分线性算子和非分线性算子。第二章赋范线性空间(2)线性算子的性质：(a)线性算子T若在某一点连续，则T在D(T)上处处连续。)(0TDx(b)线性算子T有界的充要条件是T连续。(c)线性算子T有界的充要条件是T连续。(d)有限维赋范线性空间中的一切线性算子均有界（即连续）第二章赋范线性空间2、线性泛函(1)概念：当算子的像集为数域时，称算子为泛函。第二章赋范线性空间根据前面算子的定义，照样可以定义线性泛函、连续泛函、有界线性泛函等。第二章赋范线性空间(2)泛函的例数组,对任意),,,(21ncccnnxxxxR),,,(21nR(a)niiixcxf1)(即为上的一个有界线性泛函。nR因此，对应于不同