【一本通】2014届高考数学一轮复习 第6章 第40讲 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题课件

右下方210210.1.xyxy不等式表示的平面区域在直线的　2102121210xyyxyxxy因为，所以，从而表示直线的右解析：下方区域．210002.(2011)2.xyxyxyxzxy南通若实数、满足，则的最模卷大值是　　三200,12.xyzAz作出可行域，可见当动直线过可行域上点时，取最解大值析：220yxyx　).(3.如图所示的阴影部分包括边界，用不等式组表示为　02200220220.yxyxyxyxyxyx两部分是或，所以不等式组可表示为解析：7,24　3,14,63240..xyaa已知点和在直线两侧，则的取值范围是　(3321)[3426]0724.aaa由题设知，解得解析：9500324030..xyxyzxyxyxy若、满足条件，则的最大值是　　()00,330309.xMxylxylMz画出图象如图即知，上述二元一次不等式组表示的区域是四边形．由得交点的坐标为．作直线：，将直线向上平移到过点时，取得最大解值，为析：求目标函数的最值(截距)43352512xyxyxyxzxy已知实数、满足，求＝－的最大值、【例1】最小值．()1352522(1).51431,1.435,23525xxyAxxyBxyCxy根据已知条件作出可行域如图．解方程组，得点的坐标为，解方程组，得点的【坐标为解方程组，得点的坐标为解析】．20221221.552528.lxylAzlCz作直线：－＝，将直线向上平移到过点时得到的最小值为－＝－再将直线向下平移到过点时，得到的最大值为－＝把线性目标函数转化为一簇平行线，是图解法的核心．本题求目标函数z＝2x－y的最大值、最小值，其实是求直线y＝2x－z在y轴上的截距的最小值和最大值，但x、y是受条件约束的．我们想知道的是过哪些点可以达到目的？因此，下列步骤是必需的：先画出二元一次不等式组表示的平面区域(即可行域)，求直线的交点A、B、C的坐标(当然，如果图画得准确，B点坐标可以不求)，再作直线l：2x－y＝0，发现将直线上下平移到过可行域的顶点时，取得最值，所以，将点的坐标代入就可以了．1320101264xyzyzxyzuxyxyz设，，满足约束条件，求＝＋＋的最大【变式练习1】值与最小值．minmax12101012241,14.0,16.zxyxyxyuxyBuCu将＝－－代入约束条件得：，目标函数为：＝－＋＋，作出可行域，当目标函数经过点时，＝当目标函数【经过点时，】＝解析求目标函数的最值(距离、斜率)22220240330xyxyxyxyzxy已知实数、满足，求＝＋的最大值和【例2】最小值．()2403302,32203301,02402200,2xyxyAxyxyCxyxyB根据条件作出可行域如图．解，得点的坐标为．解，得点的坐标为．解，得点的坐标为【解析】．2222222222202313|20102|4.521zxyAxyzOAd求＝＋的最大值和最小值就是求可行域内的点与原点的距离的平方的最大值和最小值．显然，原点到点的距离的平方最大，而到直线＋－＝的距离的平方最小．所以的最大值为＝＋＝，最小值为＝在线性规划中，形如z＝(x－a)2＋(y－a)2型的(或可以化为此类型的)目标函数都可以转化为求可行域内的点(x，y)与点(a，b)的距离的平方(特别提醒：是“距离的平方”，而非“距离”)的最值问题，通过点与点的距离或点到直线的距离公式求解．而形如型的则转化为可行域内的点(x，y)与点(a，b)连线的斜率来求．ybxa223412390416011xyxyxyxyyxyx【变式练习2已知变量，满足不等式组，求＋和的取】值范围．【解析】作出可行域如右图中的阴影部分△ABC，图中各点的坐标分别为A(4,0)，B(3,4)，C(0,3)，D(－1,1)．由图可知x2＋y2的最小值是原点到直线AC：3x＋4y－12＝0的距离的平方，最大值是线段OB的长度的平方；2212111255144[25]2510114513=21011[2]15yADxCDACdOBOBxyADkCDkyx的最小值是直线的斜率，最大值是直线的斜率．因为原点到直线的距离为＝，线段的长度为＝，所以＋的取值范围是，．因为直线的斜率为＝＝－，直线的斜率为＝，所以的取值范围是－，．利用线性规划解决实际问题【例3】某厂拟生产甲、乙两种试销产品，每件销售收入分别为3千元、2千元．甲、乙产品需要在A、B两种设备上加工，在每台设备A、B上加工一件甲产品所需工时分别为1小时、2小时，加工一件乙产品所需工时分别为2小时、1小时，A、B两种设备每月有效使用时数分别为400和500，如何安排生产可使收入最大？002400250032.xyzxyxyxyxyzxy设甲、乙两种产品每月产量分别为、件，收入为元．则、满足，目标函数＝＋作出可行域，如图的阴影部【解析】分．　　24002500200,10032032002100800.200100800xyxyAlxylAz解方程组，得交点的坐标为．作直线：＋＝，将直线向上平移到过点时，取得最大值＋＝即甲、乙两种产品每月产量分别为件、件时，可使收入最大，为元．本题是利用线性规划的基础知识和图解法解决生活中的实际问题．首先要弄清题意，找出变量的约束条件，列出目标函数，然后由约束条件画出可行域，最后在一组平行线中，找出在可行域内过A点的直线，把点代入可得到最大值(即收入最大)．【变式练习3】两种大小不同的钢板可按下表截成A、B、C三种规格成品.某建筑工地需A、B、C三种规格的成品分别为15、18、27块，问怎样截这两种钢板，可得所需三种规格成品，且所用钢板张数最少？钢板规格A规格B规格C规格第一种钢板211第二种钢板123215218327*().xyxyxyxyxyzxyN设需截第一种钢板张，第二种钢板张．由题意知，约束条件为，【解析，目标函数钢板总数为＝＋作出可行域，如】右图所示．3271839A().215550.1839,55xyxylxylAz解，得交点，作直线：＋＝将直线向上平移，经过点时，可使最小，但不是整数，不合要求．通过在可行域内画网格发现，经过可行域内的整点且与原点距离最近的是B(3,9)和C(4,8)，它们都是最优解，所以，要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板的张数最少，有下面两种方法：①截第一种钢板3张，第二种钢板9张，②截第一种钢板4张，第二种钢板8张，两种方法都最少要截两种钢板共12张．1.表示图中阴影部分的二元一次不等式组为_________________011xyxy011.(1)(1)(0)011BCxACyABxyACyABxyBCxxyxy、所在的直线方程是＝，、所在的直线方程是＝－，、所在的直线方程是＋＝图中阴影部分表示的区域都包括边界，且是在直线上方－，直线下方＋，直线右边．所以图中阴影部分表示的不等式组为【解析】20.()02.2xMabyxyM已知点，在由不等式组确定的平面区域内，则点所在的平面区域的面积是　　22,00,21222.2DOABxyxyOABABMS确定的平面区域为直线与轴、轴围成的直角三角形，其中，，则点所在的平面区域的面积为解析：63.0()2038.xxyyxkxykzxyk已知，满足条件为常数，若的最大值为，则　　204()833336.zyxxykkkkzkkk由可行域可知，目标函数的最大值在与的交点处取得，联立方程组可得交点，，所以，所以解析：403m　22250|300{()|4.25}.xymxyxmxyxyxym设为实数，若，，则的取值范围是　000.044.3340.3mmmmxyBmmm由题意知，可行域应在圆内，如图．如果，则可行域取到，不能在圆内；故，即当绕坐标原点旋转时，直线过点时为边界位置．此时，所以所以解析:5.制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的赢利，还要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目，据预测，甲、乙两个项目可能的最大赢利率分别是100%和50%，可能的最大亏损率分别为30%和10%.投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的赢利最大？100.30.11.8000.5.()xyxyxyxyzxy设投资人对甲、乙两个项目各投资、万元，则约束条件为，目标函数＝＋画出可行域如图阴【析】影部分解．104,60.30.11.80.5046461.8.xyMxylxylMzxy解方程组，得交点．作直线：＋＝，将直线向上平移到过点时，可使取得最大值．即当＝，＝时，赢利最大．答：投资人对甲、乙两个项目各投资万元和万元时，才能在确保资金亏损不超过万元的前提下，使可能的赢利最大本节内容考查数形结合的数学思想，主要以三种方式进行：一是直接给出线性约束条件和线性目标函数，求区域的面积和线性目标函数在区域内的最值；二是要求按给出的二元一次不等式组和画出的几个图象，判断哪一个是正确的，或要求按给出图象写出所表示的二元一次不等式组；三是利用线性规划知识解决实际问题．1．二元一次不等式(组)表示的区域的判定方法(1)函数y＝kx＋b表示的直线将平面分成上下两部分，则不等式表示区域ykx＋b表示直线y＝kx＋b上方的半平面(不包括边界)y≥kx＋b表示直线y＝kx＋b上方的半平面(包括边界)y≤kx＋b表示直线y＝kx＋b下方的半平面(包括边界)(2)方程x＝a表示的直线将平面分成左右两部分，则不等式表示区域x≥a表示直线x＝a右边的半平面(包括边界)xa表示直线x＝a左边的半平面(不包括边界)x≥0表示y轴右边的半平面(包括边界)x0表示y轴左边的半平面(不包括边界)(对于y＝a的情形参照上表)(3)方程Ax＋By＋C＝0(B≠0)表示的直线将平面分成上下两部分，则(4)特殊点判别法：将原点(0,0)代入二元一次不等式(组)，若成立，则表示包含原点的区域；若不成立，则表示另外的区域．不等式表示区域B0B0Ax＋By＋C0表示直线上方的半平面区域(不包括边界)表示直线下方的半平面区域(不包括边界)Ax＋By＋C≤0表示直线下方的半平面区域(包括边界)表示直线上方的半平面区域(包括边界)2．解线性规划应用问题的一般步骤：(1)设变量，分析题意，写出约束条件和目标函数；(2)作出相应的图象，找出可行域(注意边界)，求出交点坐标；(3)作出直线l0：ax＋by＝0；(4)找出最优解，确定直线l0的平移方向，依可行域判断取得最优解的点；(5)求出目标函数的最大值、最小值．3．运用线性规划解题时需注意的几点：(1)正确画出可行域，交点一定要求准；(2)明确目标函数的几何意义，即要明白做什么事；(3)一般情况下，最优解在可行域的顶点(有些实际问题可能在附近的整点)或边界取得，要注意边界的虚实．