【三维设计】2015届高考数学一轮复习 第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件课件 理 新人教A版

1．命题的概念在数学中把用语言、符号或式子表达的，可以的陈述句叫做命题．其中的语句叫真命题，的语句叫假命题．判断真假判断为真判断为假第二节命题及其关系、充分条件与必要条件2．四种命题及相互关系(2)两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性关系．(1)两个命题互为逆否命题，它们有的真假性；(1)如果p⇒q，则p是q的，q是p的．(2)如果p⇒q，q⇒p，则p是q的．3．四种命题的真假关系相同没有充分条件必要条件充要条件4．充分条件与必要条件1．易混否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．注意区别A是B的充分不必要条件(A⇒B且BA)；与A的充分不必要条件是B(B⇒A且AB)两者的不同．[试一试]1．(2013·福建高考)设点P(x，y)，则“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：“x＝2且y＝－1”满足方程x＋y－1＝0，故“x＝2且y＝－1”可推出“点P在直线l：x＋y－1＝0上”；但方程x＋y－1＝0有无数多个解，故“点P在直线l：x＋y－1＝0上”不能推出“x＝2且y＝－1”，故“x＝2且y＝－1”是“点P在直线l：x＋y－1＝0上”的充分不必要条件．答案：A2．“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为：____________________.解析：原命题的条件：在△ABC中，∠C＝90°，结论：∠A、∠B都是锐角．否命题是否定条件和结论．即“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”．答案：“在△ABC中，若∠C≠90°，则∠A、∠B不都是锐角”1．判断充分条件和必要条件的方法(1)命题判断法：设“若p，则q”为原命题，那么：①原命题为真，逆命题为假时，p是q的充分不必要条件；②原命题为假，逆命题为真时，p是q的必要不充分条件；③原命题与逆命题都为真时，p是q的充要条件；④原命题与逆命题都为假时，p是q的既不充分也不必要条件．(2)集合判断法：从集合的观点看，建立命题p，q相应的集合：p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}，那么：①若A⊆B，则p是q的充分条件；若AB时，则p是q的充分不必要条件；②若B⊆A，则p是q的必要条件；若BA时，则p是q的必要不充分条件；③若A⊆B且B⊆A，即A＝B时，则p是q的充要条件．(3)等价转化法：p是q的什么条件等价于綈q是綈p的什么条件．2．转化与化归思想由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假．[练一练]1．(2014·济南模拟)设x∈R，则“x2－3x0”是“x4”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由x2－3x0得x3或x0，此时得不出x4，但当x4时，不等式x2－3x0恒成立，所以正确选项为.2．与命题“若a∈M，则b∉M”等价的命题是________．解析：原命题与其逆否命题为等价命题．答案：若b∈M，则a∉MB1.命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π4解析：命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”．答案：C2．以下关于命题的说法正确的有________(填写所有正确命题的序号)．①“若log2a0，则函数f(x)＝logax(a0，a≠1)在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a＝0，则ab＝0”的否命题是“若a≠0，则ab≠0”；③命题“若x，y都是偶数，则x＋y也是偶数”的逆命题为真命题；④命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”等价．解析：对于①，若log2a0＝log21，则a1，所以函数f(x)＝logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x＋y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1＋3＝4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a∈M，则b∉M”与命题“若b∈M，则a∉M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确．综上可知正确的说法有②④.答案：②④[类题通法]在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．[典例](1)(2013·山东高考)给定两个命题p，q.若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)(2013·北京高考)“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件若A⇒B，则A是B的充分条件；若B⇒A，则A是B的必要条件；若A⇒B，B⇒A，则A是B的充要条件；链接[解析](1)由q⇒綈p且綈pq可得p⇒綈q且綈qp，所以p是綈q的充分而不必要条件．(2)由sinφ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．[答案](1)A(2)A[类题通法]充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件．有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．[针对训练]解：(1)若A＝B，则sinA＝sinB，即p⇒q.又若sinA＝sinB，则2RsinA＝2RsinB，即a＝b.故A＝B，即q⇒p.所以p是q的充要条件．(2)p：{x||x|＝x}＝{x|x≥0}＝A，q：{x|x2＋x≥0}＝{x|x≥0，或x≤－1}＝B，∵AB，∴p是q的充分不必要条件．下列各题中，p是q的什么条件？(1)在△ABC中，p：A＝B，q：sinA＝sinB；(2)p：|x|＝x，q：x2＋x≥0.[典例]已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的范围；(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的范围．集合A与B有什么关系？集合A与B有什么关系？[解](1)由x2－8x－20≤0得－2≤x≤10，∴P＝{x|－2≤x≤10}，∵x∈P是x∈S的充要条件，∴P＝S，∴1－m＝－2，1＋m＝10，∴m＝3，m＝9，这样的m不存在．(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P.∴1－m≥－2，1＋m≤10，∴m≤3.综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．解：由例题知P＝{x|－2≤x≤10}，∵綈P是綈S的必要不充分条件，∴P⇒S且S⇒/P.∴[－2,10][1－m,1＋m]．∴1－m≤－2，1＋m10或1－m－2，1＋m≥10.∴m≥9，即m的取值范围是[9，＋∞)．保持本例条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围.[类题通法]利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围，其依据是充分、必要条件的定义，其思维方式是：(1)若p是q的充分不必要条件，则p⇒q且q⇒/p；(2)若p是q的必要不充分条件，则p⇒/q，且q⇒p；(3)若p是q的充要条件，则p⇔q.(2013·浙江名校联考)一次函数y＝－mnx＋1n的图像同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A．m1，且n1B．mn0C．m0，且n0D．m0，且n0解析：因为y＝－mnx＋1n经过第一、三、四象限，故－mn0，1n0，即m0，n0，但此为充要条件，因此，其必要不充分条件为mn0.[针对训练]答案：B[课堂练通考点]1．(2013·安徽高考)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析：由(2x－1)x＝0可得x＝12或0，因为“x＝12或0”是“x＝0”的必要不充分条件．答案：B2．(2013·九江一模)命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是()A．“若xy，则x2y2”B．“若xy，则x2y2”C．“若x≤y，则x2≤y2”D．“若x≥y，则x2≥y2”解析：根据原命题和逆否命题的条件和结论的关系得命题“若x2y2，则xy”的逆否命题是“若x≤y，则x2≤y2”．答案：C3．(2014·福建质检)已知向量a＝(m2,4)，b＝(1,1)，则“m＝－2”是“a∥b”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：依题意，当m＝－2时，a＝(4,4)，b＝(1,1)，所以a＝4b，a∥b，即由m＝－2可以推出a∥b；当a∥b时，m2＝4，得m＝±2，所以不能推得m＝－2，即“m＝－2”是“a∥b”的充分而不必要条件．答案：A4．(2013·聊城期末)设集合A，B是全集U的两个子集，则AB是(∁UA)∪B＝U的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：如图所示，AB⇒(∁UA)∪B＝U；但(∁UA)∪B＝U⇒/AB，如A＝B，因此AB是(∁UA)∪B＝U的充分不必要条件．答案：A5．命题“若ab，则a－1b－1”的否命题是________．答案：若a≤b，则a－1≤b－16．创新题已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|xa}，若P：“x∈A”是Q：“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析：A＝{x|x4}，由题意得AB结合数轴易得a4.答案：(4，＋∞)