72等差数列前n项和课件.ppt

2.3等差数列的前n项和1.通过教学使学生理解等差数列的前n项和公式的推导过程，并能用公式解决简单的问题.(重点）2.通过公式推导的教学使学生进一步体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思想方法，通过公式的运用体会方程的思想．（难点）数列的前n项和一般地，我们称a1＋a2＋a3＋…＋an为数列{an}的前n项和，用Sn表示．(1)记法：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an.(2)an与Sn的关系：若数列的前n项和为Sn，则通项公式an＝S1n＝1，Sn－Sn－1n≥2.即学即练设数列{an}的前n项和为Sn＝n2，则a8的值为()A．15B．16C．49D．64[答案]A[解析]解法一：S8＝82＝64，S7＝72＝49，a8＝S8－S7＝64－49＝15.解法二：∵Sn＝n2，∴a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.∵a1＝1也适合an＝2n－1，∴an＝2n－1.∴a8＝2×8－1＝15.高斯(1777—1855）德国著名数学家1+2+3+…+98+99+100=？高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？1+2+3+···+100=?带着这个问题，我们进入本节课的学习！下面来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.设S100=1+2+3+…+98+99+100反序S100=100+99+98+…+3+2+1+++++++作加法+++++++作加法多少个101?100个1012S100=101+101+101+…+101+101+101//////////\\\\+++++++作加法探究点1：等差数列的前n项和公式所以S100=(1+100)×100？？首项尾项？总和？项数这就是等差数列前n项和的公式！=5050121()2nnnaaS1(2　　　＋　　）+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).以下证明{an}是等差数列，Sn是其前n项和，则证：Sn=a1+a2+a3+…+an-2+an-1+an,即Sn=a1,an+a2++an-1+a3an-2+…+.1()2nnnaaS2Sn=(a1+an)+(a1+an)+…+(a1+an)多少个(a1+an)?共有n个(a1+an)由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq知：a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为：=n(a1+an).这种求和的方法叫倒序相加法！因此，.1()2nnnaaS探究点2：等差数列的前n项和公式的其他形式（1)2nnnaaS1(1)naand（11)2nnnSnad1,22ddABa2nSAnBn例12000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列{an}，表示从2001年起各年投入的资金，其中，1a=500,d=50. 10那么，到2010年（n=10），投入的金10×（10-1）S=10×500+×50=7250（万元）.2资总额为从该总20012010年，市在“校校通”工程中的投入是72答：50万元.本题的设计意图：培养学生的阅读能力，引导学生从中提取有效信息.通过对生活实际问题的解决，让学生体会到数学源于生活，又服务于生活，提高他们学习数学的兴趣，同时又提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，促进了理论与实践的结合，对新知进行巩固，使教师及时收到教学反馈.例2已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？na分析：将已知条件代入等差数列前n项和的公式后，可得到两个关于与d的二元一次方程，由此可以求得与d，从而得到所求前n项和的公式.1a1a  1020n111由意知S=310，S=1220,n（n-1）它代入公式S=na+d，210a+4解：5d=310，得到20a+190d=1220.题将们      112n解于a与d的方程，得到a=4，d=6,n（n-1）所以S=4n+×6=3n+n.2这个关组技巧方法：此例题的目的是建立等差数列前n项和与方程组之间的联系.已知几个量，通过解方程组，得出其余的未知量.让我们归纳一下！2132.例　已知数列的前项和为，求这个数列的通项公式这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？nnanSnn……n12n-1nn-112n-1根据S=a+a++a+a与　　解S=a+a++a（：n1），nnn-122可知，n1，a=S-S111=n+n-[（n-1）+（n-1）]=2n-.222当时  211nnnn=1，13a=S=1+×1=，也足上式.221所以列a的通公式a=2n-.23由此可知，列a是一首，公差2的等差列.2当时满数项为数个项为为数这个例题给出了等差数列通项公式的另一个求法（n=1）,已知前项和，可求出通项（n2）这种用数列的公式来确定的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意不一定满足由求出的通项表达式，所以最后要验证首项是否满足已求出巧的技方法：11111..  .nnnnnnnnnnSnSaSSSaaSSaaa1.（2016·全国高考）已知等差数列｛an｝前9项的和为27，，则（）（A）100（B）99（C）98（D）97分析：利用等差数列的前n项和公式及通项公式求出首项及公差，选c.1.（2013·安徽高考）设Sn为等差数列｛an｝的前n项和，8374,2Saa，则a9=（）A.-6B.-4C.-2D.2分析：利用等差数列的前n项和公式及通项公式求出首项及公差.83117187484(2),2622Saadadaad由110,2ad91810166aad解析：选A.由联立解得，所以.根据下列条件，求相应的等差数列的前n项和1102..(1)5,95,10.nnaSaan1010×(5+95)S==：2解500.1(2)100,2,50.adn5050×（50-1)S=50×100+×(-2)=2解2：550.1(3)14.5,0.7,32.nada32-14.5n=+1=26,0.7解：2626×(14.5+32)S==604.5.2.1等差数列前项和公式的推导；nnS,.11()(1)22nnnnaannSSnad说明：两个求和公式的使用——知三求一..2等差数列前项和公式的记忆与应用.nnS课后作业：1.设Sn是等差数列{an}的前n项和，已知a2＝3，a6＝11，求S7.[解析]方法一：S7＝7a1＋a72＝7a2＋a62＝73＋112＝49.方法二：a2＝a1＋d＝3，a6＝a1＋5d＝11.解得a1＝1，d＝2，则a7＝1＋6×2＝13，∴S7＝7a1＋a72＝71＋132＝49.2.已知{an}为等差数列，an＝10－3n，求|a1|＋|a2|＋…＋|an|.[解析]由题意，知a1＝10－3×1＝7，由于an有正也有负，当an＝10－3n≥0时，n≤103，所以|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋ann≤3a1＋a2＋a3－a4－a5－…－ann≥4