一：逻辑代数的三个基本运算

西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计一：逻辑代数的三个基本运算二：逻辑代数的基本定律三：复合逻辑运算四：逻辑函数表达式的常用形式五：逻辑函数的代数法化简第二章逻辑代数基础六：逻辑函数的K诺图化简七：非完全描述逻辑函数的化简西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计一.逻辑命题和逻辑变量1.逻辑命题：反映事物因果关系规律的命题。2.逻辑变量：决定事物原因和结果的变量。逻辑自变量：决定事物原因的变量。（输入变量）逻辑因变量：决定事物结果的变量。（输出变量）二．逻辑函数逻辑函数反映数字输出与输入之间的因果关系。如：F=f(A、B、C…)2.1逻辑代数的三个基本运算西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计逻辑代数：数字电路分析和设计使用的数学工具在逻辑代数中与（AND）或（OR）非（NOT）3种基本逻辑运算逻辑关系语句描述VHDL逻辑表达式F=f(A、B、C…)表格真值表图形符号逻辑符号2.1逻辑代数的三个基本运算西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计2.1逻辑代数的三种基本运算ABF逻辑式：F=A•B=ABa.国际流行b.IEEE标准c.中国标准&ABFFFAABB与门：1.与运算（逻辑乘）A、B都具备时，事件F才发生。000010100111真值表西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计≥1＋FBFFAAABB或门：逻辑式：F=A+B2.或运算（逻辑加）2.1逻辑代数的三种基本运算A、B有一个具备，事件F就发生。ABF000011101111a.国际流行b.IEEE标准c.中国标准西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计○1○非门：3.非运算（逻辑反）2.1逻辑代数的三种基本运算RA具备时，事件F不发生；A不具备时，事件F发生。AF0110逻辑式：F=Aa.国际流行b.IEEE标准c.中国标准西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计0000111100ABF=A·BF=A+BF=A0001011101110000波形图注意事项：1、输入波形要穷举所有可能的输入组合(n个输入变量由2n种可能)2、输出波形与输入变化对应基本逻辑关系波形西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计0-1律重叠律互补律还原律分配律结合律交换律0AA00AAA1AAA1AAAA011AAAAABBACBACBACABACBAABBACBACBA)()(CABACBAAA2.2逻辑代数的基本定律和规则西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计ABAABABAAABABA)()(ABAA)(CAABBCCAABABABA反演律吸收律BABABABAABBAA)()CA)(BA()CB)(CA)(BA(＋＋＋＋冗余律在两个乘积项中，若有一个变量是互反的，那么由这两个乘积项中的其它变量组成的乘积项就是多余的，可以消去。CAABBCDECAAB公式可推广：2.2逻辑代数的基本定律和规则西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计证明AB+AC+BC=AB+AC解：AB+AC+BC=AB+AC+(A+A)BC=AB+AC+ABC+ABC=AB+ABC+AC+ABC=AB(1+C)+AC（1+B)=AB+AC重叠律：A＋A=A互补律：(A+A)=12.2逻辑代数的基本定律和规则西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计反演规则当已知某一逻辑函数F，将F中的所有“·”号变为“+”号,将“+”号变为“·”号,常量“0”变为“1”,“1”变为“0”,原变量变为反变量,反变量变为原变量,便可求得F的反演式。对偶规则设F是一个逻辑函数式，将F中所有“·”号变为“+”号,将“+”号变为“·”号,“1”变为“0”,“0”变为“1”,而变量保持不变,那么就得到一个新的逻辑函数F*,通常将它称为F的对偶式。代入规则任何一个含有变量X的等式，如果将所有出现X的位置都代之以一个函数F,则等式仍然成立。逻辑代数中的三个重要规则可以扩大基本定律的应用1、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或2、不属于单变量上的非号应保留用于快速的求一个函数的反函数1、不能破坏原式的运算顺序－先括号后与、或2、不属于单变量上的非号应保留用于逻辑关系的证明性质：1、F与F*互为对偶函数2、任何函数均存在对偶函数3、若F=G成立，则F*=G*成立西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计•代入规则举例反演律如用F＝B＋C代替式中的BA+B+C=ABCA+B+C=ABC西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计•反演规则举例•＋＋01•10原变量反变量反变量原变量F=A+B+C+D+EF=ABCDE两个或者两个以上长非号不变西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计•对偶规则举例•＋＋01•10F=AB+A●（C+0）两个或者两个以上长非号不变F=（A＋B）●（A＋C●1）西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计[例1]求下列函数的反函数A）B）ACDCABFEDCBAF)]()[(CADCBAFA）EDCBAFB）[例2]求下列函数的对偶函数A）B）ACDCABFEDCBAF)]()[(CADCBAF*A）B）EDCBAF*2.2逻辑代数的基本定律和规则西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计2.3复合逻辑运算1.与非逻辑ABFABF&与非门BAFABF2.或非逻辑或非门5.与或非逻辑CDABF&西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计1.常用形式（1）与或式F=AB+CD（2）或与式F=(A+B)(C+D)（3）与非与非式CDABF（4）或非或非式DCBAF)(（5）与或非式CDABF2.3复合逻辑运算西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计3.异或逻辑BABABAFABF000011101110=1ABF=ABFBAABABF0010101001114.同或逻辑F=A⊙B=异或逻辑与同或逻辑西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计逻辑门（复习）&ABFFFAABB≥1＋FBFFAAABB&ABFFFAABB≥1＋FBFFAAABB=1ABF＋=ABF·F=ABF=A+BF=ABF=A+BF=AB+ABF=AB+AB西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计1.常量与变量的关系逻辑代数的基本定律（复习）自等律AAAA100-1律0011AA重叠律AAAAAA还原律AA互补律01AAAA运用对偶规则西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计2.逻辑代数的基本运算法则结合律)()(CBACBA)()(CBACBA分配律CABACBA)()()()(CABACBA交换律ABBAABBA逻辑代数的基本定律西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计110011111100反演律BABABABA列真值表表证明：AB0001101111100100ABBABABABA0000逻辑代数的基本定律西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计ABBAA)(BABAA)(对偶式吸收律A+AB=A对偶式逻辑代数的基本定律多余项定律A(A+B)=AAB+AC+BC=AB+AC对偶式（A+B）(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计3.CBCAABFCBAAB)(.CABCABAB化简的原则：（1）与项最少；（2）与项中的变量数最少2.4逻辑代数的代数法化简利用公式化简西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计例)()(CCABCCBA1.AABBAABCCBACABCBAF2.BCEDCBBCAAF.)(BCEDCBBCAA))(())(()(EDCBBCABCABCA逻辑代数的化减西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计2.4逻辑函数的两种标准式最小项定义：n个变量的最小项是含n个变量的“与项”，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。（1）最小项1个变量最小项AA3个变量最小项ABCABCABCABCABCABCABCABC2个变量最小项ABABABAB西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计与项:CACBABC三变量最小项（标准与项）:BCACBACBA最小项表达式：ABCBCACBACABF与或表达式：F=AB+AC+ABC最小项最小项通常用符号mi来表示。西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计三变量的最小项mi最小项CBACBACBABCACBACBACABABC0m1m2m3m4m5m6m7mABC000001010011100101110111西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计三变量逻辑函数的最小项*叫最小项，可能是对应这个输入，只有一个与项为1西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计三变量表决器真值表（2）最小项表达式最小项表达式最小项得简写形式ABCBCACBACABF＝∑m(3,5,6,7)F(A,B,C)＝m6+m5+m3+m7ABCZ00000101001110010111011100100111西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计最小项表达式例：与或表达式F=AB+ACF=AB(C+C)+AC(B+B)=ABC+ABC+ACB+ACB=ABC+ABC+ABC求最小项表达式西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计或项:CACBCBA三变量最大项（标准或项）:CBACBACBA最大项表达式：))()((CBACBACBAF（3）最大项和最大项表达式最大项定义：n个变量的最大项是含n个变量的“或项”，其中每个变量都以原变量或反变量的形式出现一次。西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计（3）最小项与最大项的关系ABC最小项mi最大项Mi00000101001110010111011176543210mABCmCABmCBAmCBAmBCAmCBAmCBAmCBA76543210MCBAMCBAMCBAMCBAMCBAMCBAMCBAMCBAiiMm输入取值使该最大项为0输入取值使该最小项为1000西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计))()((CBACBACBAF=∏M(1,2,4)F=M2·M4·M1最大项表达式例：或与表达式F=(A+B)(A+C)最大项表达式F=AB+ACF=ABC+ABC+ABCF=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)A∙(B+C)=A∙B+A∙CA+(B∙C)=(A+B)∙(A+C)A+B+(C∙C)=(A+B+C)(A+B+C)西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计最小项和最大项的性质①n变量的全部最小项之和恒为1，全部最大项的之积恒为0。②任意两个最小项之积恒为0，任意两个最大项之和恒等于1。③n变量的每一个最小（大）项有n个相邻项（相邻项是指两个最小项只有一个因子互为反变量，其余因子均相同，又称为逻辑相邻项）。1120niim1200niiM)(0jimmji)(1jiMMjiAB＋AB＋AB＋AB＝1ABC·ABC＝0西安电子科技大学国家级精品课程数字电路与系统设计将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上也相邻地排列起来，所得到的图形叫做n变量的卡诺图（KarnaughMap）。1.卡诺图的构成AB0