电容及能量 (先讲电容后讲电介质)

§3电容和电容器一、孤立导体的电容1.孤立导体：指导体周围没有其它带电体和导体2.孤立带电导体球：已知：半径R、电量QR+++++++++εo+QRUQ04UQC导体球面的电势RldEUdrrQR204RQ04当电势一定：半径越大，所带电荷越多当半径一定：所带电荷增加，电势相应增加导体储存或容纳电荷的能力CUQ孤立导体的电容--------3.任意孤立导体：理论与实验表明，随着Q的增加，U将按比例增加，但它们的比值为一定值，即：带电Q，具有的电势U（2）导体的电容C是与Q、U无关的常数，但与导体的尺寸和形状有关。（1）孤立导体的电容是描述该导体储存电荷能力大小的物理量，数值上等于每升高单位电势所需的电量。说明：（3）单位：法拉（F）PFFF12610101RC04弧立导体球的电容要提高C，则R↑，则体积V↑8996.4Rkm地球的电容实际上，孤立导体是不存在的！可见孤立电容器是不适用的！RC046121046108584..FF71010174.1FR地=6371km二、电容器的电容1.电容器：两个带有等值异号电荷的导体组成的系统2.两个球形导体组成的系统的电容电势RqUA04AqBqRRRqUB04)2(40RqUAB电势差)2(40RUqABC用于存储电荷或电能的装置3.两个任意形状导体组成的系统的电容ABqqAUBU电容器的电量q增加，电容器两个极板上的电势差U按比例增加，但其比值为一定值，即理论与实验表明：电容器所带电量与两极板的电势差UA-UB之比值为一定值定义:BAUUqC电容器的极板----电容器的电容（2）q代表两极板的两个内表面之一所带电量的绝对值，两极板带等量异号电荷（3）电容器的电容与极板间的电介质有关。0CCrBAUUqC真空中的电容介质中的电容0r相对介电常数说明：（1）电容器的电容C是与q、U差无关的常数，但与两个极板的尺寸、形状及其相对位置有关。（6）常见的电容器有：平行板电容器、圆柱形电容器、球面电容器等；空气电容器、云母电容器、纸质电容器等（7）电容器的符号：（5）弧立导体实质上也可认为是电容器，另一个导体极板在无穷远处（U∞=0）；（4）电容值与另一个极板是否接地无关BAUUqC4.电容的计算之一——定义法②由电荷分布求出两极板间电场的场强分布（求E）③由场强分布求出两极板间的电势差（求U）④由电容的定义求得电容器的电容（求C）一般步骤：UqUUqCBA①设极板带有电荷q（设q）平行板电容器②板间电场：③板间电势差：④电容：SqEooSqddEUoABdsUqCoAB+q–qAB+++++–––––①d很小,S很大,①设电容器两极板带电±q；解：SdE平板电容器的电容与极板的面积成正比，与极板之间的距离成反比，还与电介质的性质有关。球形电容器解：两极板间电场1220()4qERrRr板间电势差01211()4qRRR1R2o②电容讨论：①当R2→时，,41RCo012214RRRR孤立导体球电容。2112RRldEU+q-q②R2–R1=d,R2≈R1=RdSdRCoo24平行板电容器电容。qCU圆柱形电容器解：设两极板带电q板间电场12()22ooqERrRrlrl③(lR2–R1)板间电势差ldEURR211221ln2oRR圆柱形电容器的电容)ln(21212RRlUqCoR1R2•圆柱越长，电容越大；两圆柱面之间的间隙越小，电容越大。•用d表示两圆柱面之间的间距，当dR1时111112)1ln(lnlnRdRdRdRRRdSdlRRdlC010102/2平板电容器的电容半径为a，轴间距为d的无限长平行导线，求此平行导线单位长度上的电容22()ooqqExdx12daaUEdl0xdd-x0lndaa长度l0lnlQlCdaUUa0lnQCdaUUa单位长度各电容器上的电压相等三、电容器的串并联1.并联:1C2C3CnCUUqCUqqqn21nCCC21niiC1电容器组总电量q为各电容所带电量之和并联时等效电容等于各电容器电容之和，利用并联可获得较大的电容2.串联:U各电容器的电量相等，即为电容器组的总电量q总电压为各电容器电压之和UqCnUUUq21nCqCqCqq///21nCCCC111121niiC11串联时等效电容的倒数等于各电容器电容的倒数之和，因而它比每一电容器电容小,但电容器组的耐压能力提高[例]电容为C的空气平板电容器，两极板间距离为d，若在此电容器中插入一导体片d2后，电容变为C’,问导体板的位置会不会影响新的电容器的大小解：设金属板的面积为S，板间距离为d原电容器dSC002d1d3dd1C3C'C011SCd303dSC设极板面积为S/13111CCC/131313111CCCCCCC00130013ssddssdd013sdd02sdd添加导体后，等效的电容，为电容器的串联结构整理有原电容器dSC00加金属板后，电容器的电容增大/QCU因1.若Q一定，电容增加了，电压差减小2.若电压差一定，电容增加了，Q增加了rdrRqRRdrrrqdrrRqr22200223000)4(2)4(2Rq02203电子半径002203reW2cme2020203cmerem1510RRdrrEdrrEW222002210421421整个电场的能量为3014RqrE2024rqE[例2]如图，两个半径分别为R1和R3的同心导体球面组成的电容器，带电量分别为+Q、-Q，其中间充满相对介电常数分别为r1和r2的两层各向同性均匀电介质，它们的分界面为一半径为R2的同心球面。求此带电电容器产生电场的电场强度、能量和电容。-QR1R3o+QR1R3or2r1+QR2QrDSdDS241解：rS124rQDEDr021041rQrE22042rQrE410223211211rQerEDw420223222212rQerEDwVedVwWdrrdrrWRRrQRRrQrr2322324432420222141022drrdV242121VeVedVwdVwR1R2R3or1r2-Q+Q12)()(3220221102118118RRQRRQrrWQC221)()(43121212111110RRrRRr体积元为球壳另法：将此带电体系看成两个球形电容器的串联CQW221211104RRrC21111CCC)()(3220221102118118RRQRRQrrWR1R2R3or1r2-Q+Q12[例3]如图所示，同心球面形电容器的内外半径分别为R1、R2，层间添充介质r，设击穿场强为Ek，求此电容器最多能储存多少电荷？最多储能是多少？解：122104RRRRrC电容器间的场强204rqEr由E分布知，靠近内球处的场强最大，则令该处的场强为击穿场强2104RqErKKrERq2104max储能CqW221maxmax)(4)4(21122102210RRRRERrKrQR1R2rr静电场中的导体和电介质总结一、两个现象静电感应静电平衡静电屏蔽1.导体的静电感应2.电介质的极化介质的极化导体表面是等势面电荷分布在导体的外表面:极化规律——出现束缚电荷E内=0导体是等势体R10外E表面表ErEE0介质场中的高斯定理三、两条基本定理SSqSdD0EEDr0二、三个概念①电位移矢量②电容③电场的能量介质场中的环路定理LldE0四、三类计算1.场强的计算：B.先求DE，计算方法同上一章（2）有电介质存在时静电场中的场强：（1）有导体存在时静电场中的场强A.用静电感应和电荷守恒的观点分析电荷的分布B.计算方法同上一章A.用介质场中的高斯定律2.电容器的电容：（1）定义法UQUUQCBA（2）电容串并联法串联并联混联nCCCC111121nCCCC21（3）能量法WQC22①能量密度②电容器储能3.静电场能量作功能量EDwe21VVedVEDdVwW21221CQ21CUW2[例]空气平板电容器。已知S，d,ε0,εr,U（1）在充电后，注入介质（电源不断开）；（2）在充电后，电源断开,注入介质.比较U，C，E，D，We,σ如何变化。解:设空气电容器充电后，电场为为电荷面密度，各量关系列表如下：,0E电压为U，介质注入前的电容为dSC0前后变化？whyUUU’=U不变电源不断开CdSC0dSCr0变大加介质σSCUSUC变大电源供给DD=σD变大自由电荷增加，电源EdUEdUE不变接电源，极板间距不变WVEW2021WWr变大电源供给（1）不断开电源(U=恒量）（2）电源断开（Q=恒量）前后变化？whyσσσ不变断开电源DD=σD不变D与Q0有关E0DErEE变小加入介质，产生极化电荷，极化电场使总电场变小UU=EdrEddEU变小加入介质，E变小WVEW2021rWVEW221变小能量消耗到极化介质上CdSC0dSCr0变大加入介质