(导学教程)2012届高三数学二轮专题复习课件：第二部分第二讲 填空题的解法

（导学教程）2012届高三二轮专题复习课件：第二部分第二讲填空题的解法第二讲填空题的解法填空题是高考题中的客观性题型，不要求书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大等特点．如何才能做到“正确、合理、迅速”地解答填空题，为做后面的题赢得宝贵的时间呢？要做到：快——运算要快，力戒小题大做；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意．一般来讲，每道题都应力争在1～3分钟内完成，填空题只要求填写结果，每道题填对了得满分，填错了得零分，填空题要保证填写形式和结果正确，不像解答题能分步得分，稍有不慎就前功尽弃，为此要加强平时的积累和总结．解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求．巧妙计算法命题角度对于计算型的试题，多通过直接计算求解结果，这是解决填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发，利用有关性质或结论等，通过巧妙地变形，简化计算过程，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法.【解题切点】先根据已知确定m的值，本题中如果利用导数研究函数的单调性，则复杂繁琐，结合式子本身的特征，可以将分子化成定值，便构造出利用基本不等式求解最值的式子．若函数f(x)＝m＋loga(x－3)的图象恒过点(4,2)，则g(x)＝mx＋2m2x＋4的最大值是________．【答案】4【解析】由已知可得f(4)＝2，故m＋loga1＝4，解得m＝4.故g(x)＝4x＋242x＋4＝16×4x42x＋4＝164x＋44x，因为4x＞0，所以4x＋44x≥24x×44x＝4(当且仅当4x＝44x，即x＝log42＝12时等号成立)，所以g(x)≤164＝4，即g(x)的最大值为4.直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地解填空题的关键．1．在函数f(x)＝ax2＋bx＋c中，若a、b、c成等比数列且f(0)＝－4，则f(x)有最________值且该值为________．答案大；－3解析∵f(0)＝－4，∴c＝－4.∵a，b，c成等比数列，∴ac＝b2，即－4a＝b2＞0，∴a＜0.∴f(x)有最大值，且f－b2a＝－b24a－4＝－3.推理法命题角度对于概念及性质的判断等类型的填空题，应按照相关的定义、性质、定理等进行合乎逻辑的推演和判断，有时涉及多选型的问题，尤其是新定义问题，必须进行严密的逻辑推理才能得到正确的结果.将正整数按下表的规律排列，把行与列交叉处的一个数称为某行某列的数，记作aij(i，j∈N＋)，如第2行第4列的数是15，记作a24＝15，则有序数对(a28，a84)＝________.145161736…236151835…987141934…101112132033…252423222132…262728293031………………【解析】首先观察每一列的第一个数，显然，偶数列的第一个数为该列数的平方，即a1j＝j2(j＝2m，m∈N＋)，并且该列上的前几位数依次递减，构成等差数列．所以a18＝82＝64，故a28＝a18－1＝63；奇数行的第一个数为该行数的平方，即ai1＝i2(i＝2k＋1，k∈N)，偶数行的第一个数比上一行的第一个数大1，即a(i＋1)1＝i2＋1(i＝2k＋1，k∈N)，该行上的前几位数依次增大，构成等差数列，故a81＝a71＋1＝72＋1＝50，a82＝51，a83＝52，a84＝53.故有序数对(a28，a84)＝(63,53)．故填(63,53)．【答案】(63,53)推理法讲究“推之有理，推之有据”，在推理的过程中要严格按照定义的法则或者相关的定理进行，归纳推理和类比推理也要依据自身的推理法则，不能妄加推测．2．已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＝an－1－an－2(n∈N＋，n≥3)，则a2010＝________.解析由a1＝1，a2＝2，an＝an－1－an－2，知a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，∴{an}是周期函数，且T＝6.故a2010＝a335×6＝a6＝－1.答案－1特殊值代入法命题角度当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题中的参变量用特殊值(或特殊函数、特殊角、特殊数列、图形特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)代替之，即可得到结论.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a、b、c成等差数列，则cosA＋cosC1＋cosAcosC＝________.【解析】令a＝3，b＝4，c＝5，则△ABC为直角三角形，且cosA＝45，cosC＝0，代入所求式子，得cosA＋cosC1＋cosAcosC＝45.【答案】45特殊值法解填空题的注意事项特殊值代入求值或比较大小关系问题的求解均可利用特殊值的代入，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．3．设a＞b＞1，则logab、logba、logabb的大小关系是________．答案logabb＜logab＜logba解析考虑到三个数的大小关系是确定的，不妨令a＝4，b＝2，则logab＝12，logba＝2，logabb＝13，所以logabb＜logab＜logba.图象分析法命题角度对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果．文氏图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形.【解题切点】由于无法直接求解方程f(x)＋x－a＝0的实根，所以应把方程的实根转化为函数y＝f(x)与y＝a－x的交点问题，进而利用函数图象便可直接得到结论．已知函数f(x)＝log2xx＞0，3xx≤0且关于x的方程f(x)＋x－a＝0有且只有一个实根，则实数a的范围是________．【答案】(1，＋∞)【解析】方程f(x)＋x－a＝0的实根也就是函数y＝f(x)与y＝a－x的图象交点的横坐标，如图所示，作出两个函数图象，显然当a≤1时，两个函数图象有两个交点，当a＞1时，两个函数图象的交点只有一个．所以实数a的范围是(1，＋∞)．故填(1，＋∞)．图象分析法的实质就是数形结合思想在解题中的应用，利用形的直观性结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点，应用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解结果．答案m＞4或m＜－44．曲线|x|2－|y|3＝1与直线y＝2x＋m有两个交点，则m的取值范围为________．解析曲线|x|2－|y|3＝1的图象如图所示，与直线y＝2x＋m有两个交点，则m＞4或m＜－4.构造法命题角度在解题时有时需要根据题目的具体情况，构造出一些新的数学形式、新的模式解题，并借助它认识和解决问题．通常称之为构造模式解法，简称构造法．构造的方向可以是函数、方程、不等式、数列、几何图形等.已知函数f(x)＝lnx－ax.若f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立，则a的取值范围为________．【解析】∵f(x)＜x2，∴lnx－ax＜x2，又x＞1，∴a＞xlnx－x3，令g(x)＝xlnx－x3，h(x)＝g′(x)＝1＋lnx－3x2，h′(x)＝1x－6x＝1－6x2x，【答案】[－1，＋∞)∵当x∈(1，＋∞)时，h′(x)＜0，∴h(x)在(1，＋∞)上是减函数．∴h(x)＜h(1)＝－2＜0，即g′(x)＜0，∴g(x)在(1，＋∞)上也是减函数．g(x)＜g(1)＝－1，∴当a≥－1时，f(x)＜x2在(1，＋∞)上恒成立．故填[－1，＋∞)．构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型将问题转化为自己熟悉的问题，在立体几何中补形构造是最为常用的解题技巧，它能将一般几何体的有关问题通过补形构造成特殊的几何体进行求解，如将三棱锥补成特殊的长方体轻松求解，当然补形前后的两种图形的联系应该非常紧密且考生熟悉才是求解关键．5．如图，点P在正方形ABCD所在的平面外，且PD⊥面ABCD，PD＝AD，则PA与BD所成角的度数为________．解析根据题意可将此图补成一个正方体，在正方体中易求得PA与BD所成角为60°.答案60°命题角度对于组合型、开放型等类型的填空题，应根据题设条件的特征综合运用所学知识进行观察、分析，从而得出正确的结论.综合分析法定义在R上的函数f(x)是奇函数，且f(x)＝f(2－x)，在区间[1,2]上是单调递减函数．关于函数f(x)有下列结论：①图象关于直线x＝1对称；②最小正周期是2；③在区间[－2，－1]上是减函数；④在区间[－1,0]上是增函数．其中正确的结论序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．【解析】由f(x)＝f(2－x)可知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故命题①正确；又因为函数f(x)为奇函数，其图象关于坐标原点对称，而图象又关于直线x＝1对称，故函数f(x)必是一个周期函数，其最小正周期为4×(1－0)＝4，故命题②不正确；因为奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性是相同的，且f(x)在区间[1,2]上是单调递减函数，所以其在区间[－2，－1]上也是减函数，故命题③正确；因为函数f(x)关于直线x＝1对称，在区间[1,2]上是单调递减函数，而函数在关于对称轴对称的两个区间上的单调性是相反的，故函数在区间[0,1]上为增函数，又由奇函数的性质可得，函数f(x)在区间[－1,0]上是增函数，故命题④正确．故正确的命题有①③④.【答案】①③④对于规律总结类与综合型的填空题，应从题设的条件出发，通过逐步计算、分析与总结探究其规律性，对于多选型的问题更要注重分析推导的过程，以防多选或漏选．做好此类题目要深刻理解题意，寻找题目中的隐含信息，通过联想、归纳、概括、抽象等多种手段获得结论．6．α，β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线，给出下列四个论断：(1)m⊥n，(2)α⊥β，(3)n⊥β，(4)m⊥α.若以其中三个论断作为条件，余下一个论断为结论，写出你认为正确的一个命题________．解析通过线面关系，不难得出正确的命题有：(1)m⊥α，n⊥β，α⊥β⇒m⊥n.(2)m⊥α，n⊥β，m⊥n⇒α⊥β.答案(2)(3)(4)⇒(1)或(1)(3)(4)⇒(2)