高等代数(北大版)第3章习题参考答案

第三章线性方程组1．用消元法解下列线性方程组：123412345123451234512345354132211)234321xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx124512345123451234523213322)23452799616225xxxxxxxxxxxxxxxxxxx1234234124234234433)31733xxxxxxxxxxxxx123412341234123434570233204)411131607230xxxxxxxxxxxxxxxx123412341234123421322325)521234xxxxxxxxxxxxxxxx12341234123412341232313216)23122215522xxxxxxxxxxxxxxxxxxx解1）对方程组得增广矩阵作行初等变换，有135401135401132211003212121113054312141113074512121111014812102101100101003212000212002000002000000000000000011100010000因为()()45rankArankB，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为1415324122200xxxxxxx，解得123451022xkxkxxkxk其中k为任意常数。2）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有120321120321113132033451234527074125996162250276111616120321120321033451033451252982529800110011333333003325297000001因为()4()3rankArankA，所以原方程无解。3）对方程组德增广矩阵作行初等变换，有12344123440111301113130110535307313073131012210008011130100300201200201200482400080，因为()()4rankArankA，所以方程组有惟一解，且其解为12348360xxxx。4）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有3457178923322332411131641113167213721317891789017192001719200171920000003438400000，即原方程组德同解方程组为123423478901719200xxxxxxx，由此可解得1122123142313171719201717xkkxkkxkxk，其中12,kk是任意常数。5）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有21111211113223270014511213001221134400252111121111700147001410000210000210000300001因为()4()3rankArankA，所以原方程组无解。6）对方程组的增广矩阵作行初等变换，有12311354023211125202231112311122211453025520255202202000000055202057021161101001555510100101000000000000，即原方程组的同解方程组为23341357261550xxxxxx，解之得123427551655xkxkxkxk，其中k是任意常数。2.把向量表成1234,,,的线性组合.。12341)(1,2,1,1)(1,1,1,1),(1,1,1,1)(1,1,1,1),(1,1,1,1)12342)(0,0,0,1)(1,1,0,1),(2,1,3,1)(1,1,0,0),(0,1,1,1)解1）设有线性关系11223344kkkk代入所给向量，可得线性方程组12341234123412341211kkkkkkkkkkkkkkkk，解之，得15,4k21,4k31,4k414k，因此123451114444。2）同理可得13。3.证明：如果向量组12,,,r线性无关，而12,,,,r线性相关，则向量可由12,,,r线性表出.证由题设，可以找到不全为零的数121,,,rkkk使112210rrrkkkk，显然10rk.事实上，若10rk，而12,,,rkkk不全为零，使11220rrkkk成立，这与12,,,r线性无关的假设矛盾，即证10rk.故11riiirkk，即向量可由12,,,r线性表出。4.12(,,,)(1,2,,)iiiinin，证明：如果0ij，那么12,,,n线性无关。证设有线性关系11220nnkkk，代入分量，可得方程组111212112122221122000nnnnnnnnnkkkkkkkkk，由于0ij，故齐次线性方程组只有零解，从而12,,,n线性无关。5.设12,,,rttt是互不相同的数，rn.证明：1(1,,,)(1,2,,)niiittir是线性无关的。证设有线性关系11220rrkkk，则1211221111122000rrrnnnrrkkktktktktktktk，1）当rn时，方程组中的未知量个数与方程个数相同，且系数行列式为一个范德蒙行列式，即122221211112111()0nnjiijnnnnttttttttttt，所以方程组有惟一的零解，这就是说12,,,r线性无关。2）当rn时，令21111121222221(1,,,,)(1,,,,)(1,,,,)rrrrrrrttttttttt则由上面1)的证明可知12,,,r是线性无关的。而12,,,r是12,,,r延长的向量，所以12,,,r也线性无关。6.设123,,线性无关，证明122331,,也线性无关。证设由线性关系112223331()()()0kkk，则131122233()()()0kkkkkk。再由题设知123,,线性无关，所以131223000kkkkkk，解得1230kkk，所以122331,,线性无关。7.已知12,,,s的秩为r，证明：12,,,s中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组.证设12,,,iiir是12,,,s中任意r个线性无关向量组，如果能够证明任意一个向量(1,2,,)jjs都可由12,,,iiir线性表出就可以了。事实上，向量组12,,,,iiirj是线性相关的，否则原向量组的秩大于r，矛盾.这说明j可由12,,,iiir线性表出，再由j的任意性，即证。8.设12,,,s的秩为r，12,,,riii是12,,,s中的r个向量，使得12,,,s中每个向量都可被它们线性表出，证明：12,,,riii是12,,,s的一个极大线性无关组。证由题设知12,,,riii与12,,,s等价，所以12,,,riii的秩与12,,,s的秩相等，且等于r.又因为12,,,riii线性无关，故而12,,,riii是12,,,s的一个极大线性无关组。9.证明：一个向量组的任何一个线性无关组都可以扩充成一线性无关组。证将所给向量组用（Ⅰ）表示，它的一个线性无关向量组用（Ⅱ）表示。若向量组（Ⅰ）中每一个向量都可由向量组（Ⅱ）线性表出，那么向量组（Ⅱ）就是向量组（Ⅰ）的极大线性无关组.否则，向量组（Ⅰ）至少有一个向量不能由向量组（Ⅱ）线性表出，此时将添加到向量组（Ⅱ）中去，得到向量组（Ⅲ），且向量组（Ⅲ）是线性无关的。进而，再检查向量组（Ⅰ）中向量是否皆可由向量组（Ⅲ）线性表出.若还不能，再把不能由向量组（Ⅲ）线性表出的向量添加到向量组（Ⅲ）中去，得到向量组（Ⅳ）。继续这样下去，因为向量组（Ⅰ）的秩有限，所以只需经过有限步后，即可得到向量组（Ⅰ）的一个极大线性无关组。10.设向量组为1(1,1,2,4)，2(0,3,1,2)，3(3,0,7,14)，4(1,1,2,0)，5(2,1,5,6)。1）证明：12,线性无关。2）把12,扩充成一极大线性无关组。证1）由于12,的对应分量不成比例，因而12,线性无关。2）因为3123，且由1122440kkk，可解得1240kkk，所以124,,线性无关。再令112244550kkkk，代入已知向量后，由于相应的齐次线性方程组的系数行列式为0，因而该齐次线性方程组存在非零解，即1245,,,线性相关，所以5可由124,,线性表出。这意味着124,,就是原向量组的一个极大线性无关组。注此题也可将1245,,,排成54的矩阵，再通过列初等变换化为行阶梯形或行最简形，然后得到相应结论。11.用消元法求下列向量组的极大线性无关组与秩：12341)(6,4,1,2),(1,0,2,3,4)(1,4,9,16,22),(7,1,0,1,3)，123452)(1,1,2,4),(0,3,1,2)(3,0,7,14),(1,1,2,0)(2,1,5,6)解1）设12346411210234149162271013A对矩阵A作行初等变换，可得0411192600000102341023404111926004569980114223101142231A