高等代数(第三版 石生明)第四节

主要内容第四节矩阵相似的条件引理矩阵相似的条件一、引理在求一个数字矩阵A的特征值和特征向量时曾出现过-矩阵E-A，我们称它为A的特征矩阵.这一节的主要结果是证明两个nn数字矩阵A和B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵E-A和E-B等价.为了证明这一结论，先来证明下面两个引理.引理1如果有nn数字矩阵P0,Q0使E-A=P0(E-B)Q0，(1)则A与B相似.证明因P0(E-B)Q0=P0Q0-P0BQ0，它又与E-A相等，进行比较后应有P0Q0=E，P0BQ0=A.由此Q0=P0-1，而A=P0BP0-1.故A与B相似.引理2对于任何不为零的nn数字矩阵A和-矩阵U()与V()，一定存在-矩阵Q()与R()以及数字矩阵U0和V0使U()=(E-A)Q()+U0，(2)V()=R()(E-A)+V0，(3)证明把U()改写成U()=D0m+D1m-1+…+Dm-1+Dm.这里D0,D1,…,Dm都是nn数字矩阵，而且D00.如m=0，则令Q()=0及U0=D0，它们显然满足引理2要求.设m0，令Q()=Q0m-1+Q1m-2+…+Qm-2+Qm-1.这里Qj都是待定的数字矩阵.于是(E-A)Q()=Q0m+(Q1-AQ0)m-1+...+(Qk-AQk-1)m-k+...+(Qm-1-AQm-2)-AQm-1.要想使等式U()=(E-A)Q()+U0成立，只需取Q0=D0，Q1=D1+AQ0，Q2=D2+AQ1，…………Qk=Dk+AQk-1，…………Qm-1=Dm-1+AQm-2，U0=Dm+AQm-1.就行了.用完全相同的办法可以求得R()和V0.证毕二、矩阵相似的条件定理7设A,B是数域P上两个nn矩阵.A与B相似的充分必要条件是它们的特征矩阵E-A和E-B等价.证明由可知E-A与E-B等价就是有可逆的-矩阵U()和V()使E-A=U()(E-B)V().(4)先证必要性设A与B相似，即有可逆矩阵T使A=T-1BT.于是E-A=E-T-1BT=T-1(E-B)T，从而E-A与E-B等价.再证充分性设E-A与E-B等价，即有可逆的-矩阵U()和V()使E-A=U()(E-B)V()(4)成立.由存在-矩阵Q()和R()以及数字矩阵U0和V0使U()=(E-A)Q()+U0，(5)V()=R()(E-A)+V0，(6)成立.把E-A=U()(E-B)V()改写成U-1()(E-A)=(E-B)V()，式中的V()用(6)代入，再移项，得[U-1()-(E-B)R()](E-A)=(E-B)V0.右端次数等于1或V0=O，因此U-1()-(E-B)R()是一个数字矩阵(后一种情况下应是零矩阵)，记作T，即T=U-1()-(E-B)R()，T(E-A)=(E-B)V0.(7)现在我们来证明T是可逆的.(由)由T=U-1()-(E-B)R()，得E=U()T+U()(E-B)R()=U()T+(E-A)V-1()R()(由)=[(E-A)Q()+U0]T+(E-A)V-1()R()=U0T+(E-A)[Q()T+V-1()R()].等式右端的第二项必须为零，否则它的次数至少是1，由于E和U0T都是数字矩阵，等式不可能成立.因此E=U0T.这就是说，T是可逆的.由的第二式得E-A=T-1(E-B)V0.再由知，A与B相似.证毕矩阵A的特征矩阵E-A的不变因子以后就简称为A的不变因子.因为两个-矩阵等价的充分必要条件是它们有相同的不变因子，所以由定理7即得推论矩阵A与B相似的充分必要条件是它们有相同的不变因子.应该指出nn矩阵的特征矩阵的秩一定是n.因此，nn矩阵的不变因子总是有n个，并且它们的乘积就等于这个矩阵的特征多项式.以上结果说明，不变因子是矩阵的相似不变量,因此我们可以把一个线性变换的任一矩阵的不变因子(它们与该矩阵的选取无关)定义为此线性变换的不变因子.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.本节内容已结束!若想结束本堂课,请单击返回按钮.