高等代数第二版课件§4[1].4_矩阵的逆

一、可逆矩阵的概念二、可逆矩阵的判定及求法三、逆矩阵的运算规律四、应用,111aaaa则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵.A1A概念的引入:在数的运算中，当数时，0a有aa11a其中为的倒数，a（或称的逆）；在矩阵的运算中单位阵E相当于数的乘法运算中的1,A那么，对于矩阵，1A如果存在一个矩阵,,11EAAAA使得一、可逆矩阵的概念定义设A为n级方阵，如果存在n级方阵B，使得AB＝BA＝E则称A为可逆矩阵，称B为A的逆矩阵.注：11.AA①可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的，记作1.A③单位矩阵E可逆，且1.EE②可逆矩阵A的逆矩阵也是可逆矩阵，且1A则dcbaAB01121001100122badbca例如设,0112A.的逆矩阵求A解：dcbaB设是的逆矩阵,A,1,0,02,12badbca.2,1,1,0dcba又因为0112211001122110,1001所以.21101AABAB二、矩阵可逆的判定及逆矩阵的求法定义1、伴随矩阵称为A的伴随矩阵.11211*1222212nnnnnnAAAAAAAAAA性质：**AAAAAE余子式，矩阵设是矩阵中元素的代数ijAija()ijnnAa证：由行列式按一行（列）展开公式立即可得,1112111211*21222122221212nnnnnnnnnnnnaaaAAAaaaAAAAAaaaAAA.dA1122,0,kikiknindkiaAaAaAki1122,0,ljljnlnjdljaAaAaAlj0000.00dddEd同理,*.AAdE*1.AAA非退化的），且证：若由0,A**AAAAAE所以，A可逆，且*1.AAA两边取行列式，得11.AAE0.A2、定理：矩阵A可逆当且仅当（即A0,A得**AAAAEAA反过来，若A可逆，则有1,AAE则A、B皆为可逆矩阵，且11,.ABBA证：ABE1ABABE由定理知，A、B皆为可逆矩阵.从而0,0.AB11(),AABAE再由即有，11,.ABBA11(),ABBEB3、推论：设A、B为n级方阵，若,ABE例1判断矩阵A是否可逆，若可逆，求其逆.1231)221343A122)naaAa解：1）1232212,343∴A可逆.1222323,6,5,AAA1121312,6,4,AAA1323332,2,2.AAA再由*12641365.2222AAA有122),nAaaa∴当时，A可逆.0(1,2,,)iain1111221nnaaaaaa且由于111121.naaAa111E三、逆矩阵的运算规律且可逆则数可逆若,,0,2AA且亦可逆则为同阶方阵且均可逆若,,,3ABBA1ABB11A.111AA.,,1111AAAA且亦可逆则可逆若1111ABBAABAB1AEA,1EAA.111ABAB证明：.1212AA推广1AmA1mA11A.,,4AAAAT且亦可逆则可逆若TT11.11TTAA证明：11,TTTTAAAAEE111.AAA证明：(5)若可逆，则有A11111.AAEAAAA,,,AAAAAZ(6)若A可逆，则亦可逆，且A1.AAA(7)若A可逆，则亦可逆，且kA11.kkAA当时，定义0A注：01,()kkAEAA则有设方阵A满足23100,AAE证明：与皆可逆，并求其逆.4AAE例2由23100,AAE即1(3),10AAEE故A可逆，且11(3)10AAE再由23100,AAE得()(4)6,AEAEE即1()(4),6AEAEE故4AE可逆，且11(4)()6AEAE证：(3)10,AAEE得四、应用1111111(1)nnnnnnnaxaxbaxaxb1.线性方程组1122(),X,ijnnnnxbxbAaBxb==令则（1）可看成矩阵方程.AXB若A为可逆矩阵，则1.XAB①矩阵方程,nnnsnsAXB若A为可逆矩阵，则1.XAB2.推广②矩阵方程,mnnnmnXAB若A为可逆矩阵，则1.XBA③矩阵方程,nnnsssnsAXBC若A,B皆可逆，则11.XACB3.矩阵积的秩()()()()RARPARAQRPAQ定理4,ssnnPQ,snA若可逆，则证：令,BPA又P可逆，由定理2，()(),RBRA()(),RARB1,PBA有()().RARB故作业P20019,20(2),(3),23(2)