高等代数课件PPT之第1章多项式

高等代数多项式行列式线性方程组矩阵二次型线性空间线性变换欧几里得空间第1章多项式多项式理论是高等代数的重要内容之一。它不但为高等代数所讲授的基本内容提供了理论依据，其中的一些重要定理和方法在进一步学习数学理论和解决实际问题时常常用到。本章介绍一元多项式的基本理论。第1章多项式数域一元多项式整除的概念最大公因式因式分解定理重因式多项式函数复系数与实系数多项式的因式分解有理系数多项式§1数域要说的话：对所要讨论的问题，通常要明确所考虑的数的范围，不同范围内同一问题的回答可能是不同的。例如，x2+1=0在实数范围与复数范围内解的情形不同。常遇到的数的范围：有理数集、实数集、复数集共性（代数性质）：加、减、乘、除运算性质有些数集也有与有理数集、实数集、复数集相同的代数性质为在讨论中将其统一起来，引入一个一般的概念——数域。§1数域1.数域的定义设P是由一些复数组成的集合，其中包括0与1.如果P中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P中，则称P为一个数域.常用到的数域：有理数域Q、实数域R、复数域C.2.数域定义的另一形式包含0与1的数集P，如果对于加法、减法、乘法、除法（除数不为零）运算封闭，则称P为一个数域.例1所有形如(a、b是有理数)的数构成一个数域.解(i)2ba)2(Q);2(1,0Q(ii)对四则运算封闭.事实上有设,2,2),2(,dcbaQ)2(2)()(Qdbca)2(2)()2(Qbcadbdac且，则设0202baba2(2)(2)2(2)(2)cdcdabababab222222(2)22acbdadbcQabab3.有理数域是一个最小的数域（任何数域都包含有理数域作为它的一部分）证：设P为一个数域.由定义知1P，又P对加法封闭知：1+1=2，1+2=3，…P包含所有自然数；由0P及P对减法的封闭性知：P包含所有负整数，因而P包含所有整数；任何一个有理数都可以表为两个整数的商，由P对除法的封闭性知：P包含所有有理数.即任何数域都包含有理数域作为它的一部分.§2一元多项式（以固定数域P为基础）1.定义设x是一个符号(文字)，n为非负整数.形式表达式Pniaaxaxaxaxaiiinnnn),,2,1,0(0111称为系数在数域P中的一元多项式，简称为数域P上的一元多项式.i次项i次项系数首项(an0)习惯上记为f(x)，g(x)……或f,g……上述形式表达式可写为niiixaxf0)(符号x可以是为未知数，也可以是其它待定事物.几个概念:零多项式——系数全为0的多项式多项式相等——f(x)=g(x)当且仅当同次项的系数全相等（系数为零的项除外）多项式f(x)的次数——f(x)的最高次项对应的幂次，记作(f(x))或deg(f(x)).如：f(x)=3x3+4x2-5x+6的次数为3，即deg(f(x))=32.多项式的运算例f(x)=2x2+3x–1,g(x)=x3+2x2-3x+2，则f(x)+g(x)=(2x2+3x–1)+(x3+2x2-3x+2)f(x)g(x)=(2x2+3x–1)(x3+2x2-3x+2)1423xx297722345xxxxx乘法较为复杂，应用竖式方便、明了：f(x)-g(x)=(2x2+3x–1)-(x3+2x2-3x+2)363xx2.多项式的运算f(x)=2x2+3x–1g(x)=x3+2x2-3x+22x5+3x4-x34x4+6x3-2x2-6x3-9x2+3x4x2+6x-2f(x)g(x)=2x5+7x4-x3-7x2+9x-2或为更简明，应用分离系数法进行：2.多项式的运算设f(x)，g(x)为数域P上的一元多项式，不妨令加法：f(x)g(x)乘法：f(x)g(x)mjjjniiixbxgxaxf00)(,)(mnxbaniiii当,)(0mnsssjijixba0)(00111)(baxbabaxbamnmnmnmnmn结论:(1)(f(x)g(x))max((f(x)),(g(x))(2)(f(x)g(x))=(f(x))+(g(x)),当f(x)0,g(x)0且乘积的首项系数等于因子首项系数的乘积2.多项式的运算运算律设f(x),g(x),h(x)为数域P上的一元多项式,则（1）f(x)+g(x)=g(x)+f(x)（2）(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x))（3）f(x)g(x)=g(x)f(x)（4）(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))（5）f(x)(g(x)+h(x))=f(x)g(x)+f(x)h(x)（6）若f(x)g(x)=f(x)h(x)且f(x)0,则g(x)=h(x)证（4）(f(x)g(x))h(x)=f(x)(g(x)h(x))考虑等式两端t次项的系数.左边：f(x)g(x)中s次项的系数为lkkkmjjjniiixcxhxbxgxaxf000)()(,)(，设sjijiba故t次项的系数右边：g(x)h(x)中r次项的系数为tkjikjitkssjikjicbacba)(rkjkjcb故t次项的系数tkjikjitrirkjkjicbacba)(证毕.例1当a,b,c取何制值时，多项式f(x)=x-5与g(x)=a(x-2)2+b(x+1)+c(x2-x+2）相等？解由于g(x)=(a+c)x2+(-4a+b–c)x+(4a+b+2c）根据多项式相等的定义，得524140cbacbaca.56,513,56cba解之得例2设f(x),g(x)与h(x)为实数域上多项式.证明:如果f2(x)=xg2(x)+xh2(x)则f(x)=g(x)=h(x)=0若f(x)0，则f2(x)0.由f2(x)=xg2(x)+xh2(x)=x(g2(x)+h2(x))知g2(x)+h2(x)0.因此(f2(x))=(x(g2(x)+h2(x)))但(f2(x))为偶数,而(x(g2(x)+xh2(x)))为奇数,因此f2(x)xg2(x)+xh2(x)与已知矛盾，故f(x)=0.此时x(g2(x)+h2(x))=0.但x为一非零多项式，故有g2(x)+h2(x)=0由于g(x)、h(x)为实系数多项式，必有g(x)=h(x)=0.于是f(x)=g(x)=h(x)=0.证：反证.为什么？若g(x)0，由于实数域内，非0数的平方为正数,所以f2(x)的最高次项系数为正数.当g2(x)+h2(x)=0时,h2(x)的最高次项系数必为负数.这是不可能的！所以g(x)=0.同理h(x)=0.3.多项式环数域P上的一元多项式的全体，称为数域P上的一元多项式环，记作P[x].P——P[x]的系数域.思考与练习4322224321.()(),()(),()221()31.2.,,,(21)(1)251.fxgxfxgxfxxxxxgxxxklmxlxxkxxxmxx计算其中，求使3.例2中，若f(x),g(x)为复数域上多项式.能否由f2(x)+g2(x)=0f(x)=g(x)=0？考虑f(x)=ix,g(x)=x.显然f2(x)+g2(x)=0但f(x)0,g(x)0.§3整除的概念（在P[x]中进行）引言在一元多项式环P[x]中,有f(x)g(x),f(x)g(x).是否有除法？应该如何描述P[x]中两个多项式相除的关系？两个多项式除法的一般结果是什么？下进行讨论和研究.引例(以中学代数多项式除法为基础)考虑f(x)=3x3+4x2-5x+6g(x)=x2-3x+1求出f(x)除以g(x)的商和余式.采用长除法73113391368133931336543132223232xxxxxxxxxxxxxxf(x)g(x)商q(x)余式r(x)即3x3+4x2-5x+6=(3x+13)(x2-3x+1)+(31x-7)结果：f(x)=q(x)g(x)+r(x)采用竖式除法133)(73113391368133936543)(13)(2223232xxqxxxxxxxxxxxxfxxxg商余式即3x3+4x2-5x+6=(3x+13)(x2-3x+1)+(31x-7)结果：f(x)=q(x)g(x)+r(x)1.带余除法定理设f(x),g(x)P[x],g(x)0，则存在唯一的多项式q(x),r(x)P[x],使f(x)=q(x)g(x)+r(x)其中r(x)=0或(r(x))(g(x)).称上式中的q(x)为g(x)除f(x)的商，r(x)为g(x)除f(x)的余式.商余式（带余除法）定理证明存在性若f(x)=0,取q(x)=r(x)=0即可.以下设f(x)0.(f(x))=n,(g(x))=m.对f(x)的次数n作数学归纳法.当nm时,取q(x)=0,r(x)=f(x)，有f(x)=q(x)g(x)+r(x)，结论成立.当nm时,假设次数小于n时结论成立，即存在多项式q(x),r(x)P[x],使f(x)=q(x)g(x)+r(x).以下证明次数为n时结论也成立.设f(x)、g(x)的首项分别为axn及bxm.令f1(x)=f(x)-b-1axn-mg(x)(*)注意到b-1axn-mg(x)与f(x)有相同的首项,知(f1(x))n或为f1(x)=0.（带余除法）定理证明（续1）若f1(x)=0，取q(x)=b-1axn-m，r(x)=0，有f(x)=q(x)g(x)+r(x)；若(f1(x))n,由归纳法假设，有q1(x),r1(x)P[x],使f1(x)=q1(x)g(x)+r1(x)（**）其中(r1(x))(g(x))或r1(x)=0.于是由式(*)、(**)有f(x)=(q1(x)+b-1axn-m)g(x)+r1(x)r(x)q(x)由归纳法原理，对任意的f(x),g(x)0，q(x),r(x)的存在性证毕.（带余除法）定理证明（续2）唯一性若还有q*(x),r*(x)P[x],使f(x)=q*(x)g(x)+r*(x)其中(r*(x))(g(x))或r*(x)=0.则q(x)g(x)+r(x)=q*(x)g(x)+r*(x)即(q(x)-q*(x))g(x)=r*(x)-r(x)若q(x)q*(x)，由假设g(x)0r*(x)-r(x)0且(q(x)-q*(x))+(g(x))=(r*(x)-r(x))但(g(x))(r*(x)-r(x)),矛盾.因此q(x)=q*(x),r*(x)=r(x).例1求g(x)除f(x)所得的商q(x)和余式r(x)，这里f(x)=x5+3x4+x3+x2+3x+1,g(x)=x4+2x3+x+2.1)(122122133)(22)(33434245234534xxqxxxxxxxxxxxxxxxxxfxxxxg商余式即有x5+3x4+x3+x2+3x+1=(x+1)(x4+2x3+x+2)+(-x3-1)所求商q(x)=x+1，余式r(x)=-x3-1.解：带余除法表明：f(x)=q(x)g(x)+r(x)用多项式g(x)0去除多项式f(x)，可以得到一个商q(x)及余式r(x)，余式一般不为零.当余式等于0时，得到两个多项式之间的一种关系——整除.2.整除的概念(1)定义设f(x),g(x)P[x],如果存在多项式h(x)P[x],使f(x)=h(x)g(x)称g(x)整除f(x)(或f(x)能被g(x)整除