西安电子科技大学 物理光学与应用光学 ppt 14

第4章光在各向异性介质中的传播4.1晶体的光学各向异性4.2理想单色平面光波在晶体中的传播4.3平面光波在晶体表面上的反射与折射4.4晶体光学元器件4.1晶体的光学各向异性4.1.1张量的基础知识4.1.2晶体的介电张量4.1.1张量的基础知识1.张量的概念2.张量的变换3.对称张量1.张量的概念（1）把一个标量与一个或者多个矢量以等式的形式关联起来，等式的关联因子就是张量。（2）把一个标量与一个张量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。（3）把一个矢量与一个或者多个矢量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。（4）把一个矢量与一个张量以等式的形式关联起来，其中的关联因子就是张量。张量就是使一个矢量（或者标量）与另一个及多个其它矢量（或者张量）相关联的物理量，张量又称为并矢。qTp式中，是关联和的二阶张量。Tpqpq例如，矢量与矢量有关，则其一般关系应为：321333231232221131211321qqqTTTTTTTTTppp二阶张量有九个分量，每个分量都与一对坐标(按一定顺序)相关。在直角坐标系O-x1x2x3中，可表示为矩阵形式：qTp分量形式：333232131332322212123132121111qTqTqTpqTqTqTpqTqTqTp一般形式：3,2,1,jiqTpjjiji按照爱因斯坦求和规则：若在同一项中下标重复两次，则可自动地按该下标求和，上式简化为pi=Tijqji,j=1,2,3可以看出：如果是张量，则矢量的某坐标分量不仅与矢量同一坐标分量有关，还与其另外两个分量有关。Tqp321312313331332323333322311221212213231232223233222211121112113131132123133122111TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTijkpi=Tijkujvki,j,k=1,2,3分量表示式为：vuTp:为三阶张量，包含27个张量元素，其矩阵形式为：Tuvp如果矢量与两个矢量和相关，其一般关系式为：标量可看作是零阶张量；矢量可看作是一阶张量。标记方法：标量无下标；矢量有一个下标；二阶张量有两个下标；三阶张量有三个下标。因此，下标的数目等于张量的阶数。2.由于张量的分量与坐标有关，所以当坐标系发生变化时，张量表示式也将发生变化。若在原坐标系中，某张量表示式为[Tij]，在新坐标系中，该张量表示式为[Tij]，则当原坐标系O-x1x2x3与新坐标系O-x1x2x3的坐标变换矩阵为[aij]时，[Tij]与[Tij]的关系为332313322212312111333231232221131211333231232221131211'33'32'31'23'22'21'13'12'11aaaaaaaaaTTTTTTTTTaaaaaaaaaTTTTTTTTT其分量表示形式为:i,j,k,l=1,2,3——张量变换定律。kljlikijTaaT''klljkiijTaaT逆变换:i,j,k,l=1,2,3i,j=1,2,3如果是矢量，则新坐标系矢量表示式A与原坐标系表示式A间的矩阵变换关系:其分量变换公式:321333231232221131211'3'2'1AAAaaaaaaaaaAAAjijiAaA'3.对称张量一个二阶张量［Tij］，如果有Tij=Tji，则称为对称张量，只有六个独立分量。与任何二次曲面一样，二阶对称张量存在着一个主轴坐标系，在该主轴坐标系中，张量只有三个对角分量非零。于是，当坐标系进行主轴变换时，二阶对称张量可对角化。可表示为:,0,,'32'23'31'13'21'123'332'221'11TTTTTTTTTTTT321000000TTT332313232212131211TTTTTTTTT例如一对称张量:经主轴变换张量与矩阵的区别：张量代表一种物理量，因此在坐标变换时，改变的只是表示方式，其物理量本身并不变化；而矩阵则只有数学意义。因此，有时把张量写在方括号内，把矩阵写在圆括号内，以示区别。4.1.2晶体的介电张量EDr0=0r是标量，与的方向相同，即的每个分量只与的相应分量线性相关。DEED介电常数是表征介质电学特性的参量。在各向同性介质中，电位移矢量与电场矢量满足关系：DEi,j=1,2,3jijiED0r0介电常数是二阶张量。其分量形式为：即的每个分量均与的各个分量线性相关。在一般情况下，与的方向不同。DEDEEDr0对于各向异性介质(如晶体):rn在主轴坐标系，电位移矢量的分量形式：3,2,10iEDiii晶体的介电张量是对称张量，有六个独立分量。经主轴变换后为对角张量，只有三个非零对角分量：1,2,3称为主介电系数。321000000由麦克斯韦关系式：可相应定义三个主折射率n1,n2,n3。此外，由固体物理学知道，不同晶体的结构具有不同的空间对称性，自然界中存在的晶体按其空间对称性的不同，分为七大晶系：立方晶系；四方晶系；六方晶系；三方晶系；正方晶系；单斜晶系；三斜晶系。七大晶系的光学性质简介晶系主轴坐标系非主轴坐标系光学分类三斜双轴单斜正交三方四方六方单轴立方各向同性33221100000033321323221213121133132213110000332211000000331111000000111111000000111111000000331111000000由于它们的对称性不同，所以在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同。由该表可见，三斜、单斜和正交晶系中，主介电系数123，这几类晶体在光学上称为双轴晶体；三方、四方、六方晶系中，主介电系数1=23，这几类晶体在光学上称为单轴晶体；立方晶系在光学上是各向同性的，1=2=3。4.2理想单色平面光波在晶体中的传播4.2.1光在晶体中传播的解析法描述4.2.24.2.1光在晶体中传播的解析法描述1.麦克斯韦方程组2.光波在晶体中传播特性的一般描述3.光在几类特殊晶体中的传播规律1.麦克斯韦方程组根据光的电磁理论，光在晶体中的传播特性由麦克斯韦在均匀、不导电、非磁性的各向异性介质(晶体)中，若没有自由电荷存在，麦克斯韦方程组为：tDH00DBtHE0为简单起见，只讨论单色平面光波在晶体中的传播特性。这样处理，可不考虑介质的色散特性；同时，任意复杂光波可分解为许多不同频率的单色平面光波的叠加，所以也不失其普遍性。物质方程EDHB02.光波在晶体中传播特性的一般描述(1)单色平面光波在晶体中的传播特性(2)光波在晶体中传播特性的描述（1）单色平面光波在晶体中的传播特性A.晶体中光电磁波的结构B.能量密度C.相速度和光线速度A.晶体中光电磁波的结构是波法线方向的单位矢量k麦克斯韦方程组变为：)(i000e)(rkcntHDEHDE、、、、DnckHHnckE000HkDk设晶体中传播的单色平面波为：平面光波的电磁结构DskEHvpvr波阵面波阵面重要结论：在晶体中，光的能量传播方向通常与光波法线方向不同。即共面。一般情况下，与不在同一方向。DEkDE、、kHD、kEH、kDEH、、①，所以；一般情况下，和不在同一方向。sk间夹角与间夹角相同。DE、ks、②HESsEH、ksDE、、、；，即共面。B.能量密度根据电磁能量密度公式有：||Scnw对于各向同性介质：kHEcnkHEcnDEwe)(2)(221kkEcnkEHcnHBwm)(2)(221ksScn||C.相速度和光线速度关系：光线速度——光波能量的传播速度相速度——光波等相位面的传播速度knckvvppswSsvv||rrcosrrpvksvvvp与vr的关系A'vpvrksBAB'结论：在一般情况下，光在晶体中的相速度和光线速度分离，其大小和方向均不相同。在各向同性介质中，单色平面波的相速度即是其能量传播速度（光线速度）。(2)光波在晶体中传播特性的描述A.晶体光学的基本方程B.菲涅耳方程A.晶体光学的基本方程由矢量恒等式ACBBCACBA)()()(HnckEDnckH0得：)]([20EkkEnD（4.2-20）所以EnD20（4.2-21）kkEnkkEcnD)()(20202EEkkE)(因为：E⊥和D⊥的定义EED(sD)sskD(kE)k由折射率的定义类似地定义“光线折射率”：coscosprrnvcvcnpvcn202020)cos()cos(coscoscosnDnDnDEE又：则：DnE2r01（4.2-26）)]([120DssDnEr或（4.2-27）给出了沿某一方向传播的光波电场与晶体特性n(nr)的关系，是描述晶体光学性质的基本方程。)(sk)(EDB.菲涅耳方程①波法线菲涅耳方程(波法线方程)②光线菲涅耳方程(光线方程)①波法线菲涅耳方程（波法线方程）)]([20EkkEnD3,2,10iEDiii2011)(nEkkDiii（4.2-30）选取主轴坐标系3,2,1)]([20iEkkEnDiiiiiiED00332211kDkDkD2011)(nEkkDiii0kD描述了晶体中传播的光波法线方向与相应折射率n和晶体光学参量（主介电张量）之间的关系。k（4.2-31）0111111322322221221nknknk即光波场沿x1、x2、x3三个主轴方向的相速度。332211,,cvcvcv定义ncvp/因为（4.2-33）则0232232222221221vvkvvkvvkppp描述了晶体中传播的光波法线方向与相应相速度vp和晶体光学参量（主速度）vp1、v2、v3之间的关系。k由波法线菲涅耳方程可见，对于一定的晶体，光的折射率(或相速度)随方向变化。k波法线方程是n2或的二次方程，一般有两个独立实根n、n或，因而对应每一个波法线方向，有两个具有不同的折射率或不同相速度的光波。kppvv、2pv波法线菲涅耳方程确定了波法线方向上，特许的两个线偏振光（本征模式）的折射率（或相速度）和偏振态。k这种沿不同方向传播的光波具有不同的折射率(或相速度)的特性就是晶体的光学各向异性。确定与相应的光波场和：kDE0)]1([0)]1([0)]1([323232232113233222222211223312221212121