1-2-3_几何意义及经典试题_题库教师版

1-2-3绝几何意义及经典试题题库·教师版page1of10内容基本要求略高要求较高要求绝对值借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值会利用绝对值的知识解决简单的化简问题板块一：绝对值几何意义当xa时，0xa，此时a是xa的零点值．零点分段讨论的一般步骤：找零点、分区间、定符号、去绝对值符号．即先令各绝对值式子为零，求得若干个绝对值为零的点，在数轴上把这些点标出来，这些点把数轴分成若干部分，再在各部分内化简求值．a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离．ab的几何意义：在数轴上，表示数a、b对应数轴上两点间的距离．【例1】（2级）mn的几何意义是数轴上表示m的点与表示n的点之间的距离．⑴x的几何意义是数轴上表示的点与之间的距离；x0x（，，）；⑵21的几何意义是数轴上表示2的点与表示1的点之间的距离；则21；⑶3x的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若31x，则x．⑷2x的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距离，若22x，则x．⑸当1x时，则22xx．【解析】⑴x，原点；；⑵1；⑶x，3，2或4；⑷x，2，0或4；⑸4．【例2】（4级）已知m是实数，求12mmm的最小值【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m，使点m到点0，点1和点2的距离之和最小，显然当1m时，原式的最小值为2【例3】（4级）已知m是实数，求2468mmmm的最小值【解析】根据绝对值的几何意义，这个问题可以转化为在数轴上找一点m，使m到点2，点4，点6和点8的例题精讲中考要求几何意义及经典试题1-2-3绝几何意义及经典试题题库·教师版page2of10距离和最小，显然当点m在点4和点6之间（包括点4和点6）时，原式的值最小为8【例4】（6级）设123...naaaa，，，是常数（n是大于1的整数），且123...naaaa，m是任意实数，试探索求123...nmamamama的最小值的一般方法【解析】根据题意，结合数轴，不难得到：⑴当n为奇数时，即当21nk（k为正整数）时，点m应取在点1ka处，原式的值最小，最小值为211222...kkkkaaaaaa⑵当n为偶数2k（k是正整数）时，m应取点ka和点1ka之间的任意位置，原式的值最小，最小值为212121...kkkkaaaaaa【例5】（8级）122009xxx的最小值为．【解析】当1005x时，122009xxx取到最小值：122009xxx1005110052100520091004100310110031004(10041)10041009020点评：若1221naaa，当1nxa时，1221nxaxaxa取得最小值．若122naaa，当x满足1nnaxa≤≤时，122nxaxaxa取得最小值．【巩固】（8级）试求123...2005xxxx的值【解析】联想到绝对值的几何意义：nxx即表示数轴上数x的对应点与数nx的对应点的距离，把这些绝对值转化为同一数轴上若干条线段之和来研究，发现12xx，当12x≤≤时，它有最小值1，对于123xxx，当2x时，最小值为2，…猜想当1003x时，原式有最小值最小值为123...2005xxxx100311003210033...10032005100210011000...21012...1002100210021221005006【巩固】（6级）(2000年郑州市中考题)设abc，求当x取何值时xaxbxc的最小值．【解析】xaxbxc实际表示x到abc，，三点的距离和，画图可知当xb时，原式有最小值为ca．【巩固】（6级）（2009年全国初中数学联赛四川初赛试卷）若1x、2x、3x、4x、5x、6x是6个不同的正整数，取值于1，2，3，4，5，6，记122334455661||||||||||Sxxxxxxxxxxxx，则S的最小值是．【解析】利用此题我们充分展示一下数形结合的优越性：利用绝对值的几何意义122334455661||||||||||xxxxxxxxxxxx在数轴上表示出来，从1x开始又回到1x，我们可以看成是一个圈，故最小值为10，如下图所示，即使重叠路程最少．654321【例6】（6级）（选讲）正数a使得关于x的代数式162xxxa的最小值是8，那么a的值1-2-3绝几何意义及经典试题题库·教师版page3of10为．【解析】如果6a≤，那么当xa时，16216(1)(6)7xxxaaaaa，小于8与已知条件矛盾．所以6a，那么算式162xxxa的几何意义是点x到1、6、a、a的4个距离之和，当6xa≤≤时取最小值，因此令6x可得7268a，解得132a．【巩固】（6级）（第七届“走进美妙的数学花园”）182324xxaxx的最小值为12，则a的取值范围是．【解析】最小值一定能在零点处取到，而零点处代数式值为142a、5a、12、19a，故12是这四个数中最小的，即14212a≥且512a≥且1912a≥，所以7a≥．【例7】（6级）（第18届希望杯培训试题）已知代数式374xx，则下列三条线段一定能构成三角形的是（）．A．1，x，5B．2，x，5C．3，x，5D．3，x，4【解析】根据374xx可得37x，所以选择C．【巩固】（6级）⑴是否存在有理数x，使132xx？⑵是否存在整数x，使433414xxxx？如果存在，求出所有整数x，如果不存在，请说明理由【解析】⑴不存在⑵3210xxxx，，，【巩固】（6级）（第17届希望杯培训试题）不等式127xx的整数解有个．【解析】可分类讨论来做，也可以利用绝对值的几何意义来解，127xx的整数解表示数轴上到1和2的距离之和小于7的点集合，利用数轴容易找到满足条件的整数有2、1、0、1、2、3共六个．【例8】（8级）一共有多少个整数x适合不等式20009999xx.【解析】零点为2000和0，可将数轴分成几段去考虑：（1）当2000x时，原不等式变形为：20009999xx，进而得：5999.5x，即20005999.5x，共有4000个整数适合；（2）当02000x时，原不等式变形为：20009999xx，而20009999恒成立，所以又有2000个整数适合.（3）当0x时，原不等式变形为2000()9999xx，3999.5x，即3999.50x，共有3999个整数适合.综上所得共有9999个整数适合不等式20009999xx.【例9】（8级）已知11xy≤，≤，设1124Mxyyx，求M的最大值和最小值【解析】由已知首先讨论绝对值符号内的代数式的符号1-2-3绝几何意义及经典试题题库·教师版page4of10因为1x≤，所以11x≤≤，所以012x≤≤，同理可得012y≤≤因为1y≤，所以11y≤≤，所以222y≤≤⑴因为1x≤，所以11x≤≤，所以11x≤≤，所以14414x≤≤即543x≤≤⑵⑴与⑵同向相加得7241yx≤≤化简M的表达式：26Mxy求M的取值范围：因为11y≤≤，所以222x≤≤因为11y≤≤，所以11y≤≤所以323xy≤≤所以3269xy≤≤当11xy，时，M最大值为9当11xy，时，M最小值为3【例10】（8级）(第12届希望杯试题)彼此不等的有理数abc，，在数轴上的对应点分别为A，B，C，如果abbcac，那么A，B，C的位置关系是_____．【解析】由绝对值的几何意义知,ab表示点A与点B之间的距离；bc表示点B与点C之间的距离；表示点A与点C之间的距离；当点B位于点A与点C之间（包括A，C两点）时,abbc取得最小值，为ac．由题设知，a，b，c相等，以A，B，C不重合，故点B位于点A与点C之间(包括A,C两点)．【巩固】（4级）有理数a、b、c、d各自对应着数轴上X、Y、Z、R四个点，且（1）bd比ab，ac、ad、bc、cd都大；（2）daacdc；（3）c是a、b、c、d中第二大的数.则点X、Y、Z、R从左到右依次是【解析】R、X、Z、Y.【巩固】（6级）（第14届希望杯1试）如右图所示，若a的绝对值是b的绝对值的3倍，则数轴的原点在点．（填“A”“B”“C”或“D”）【解析】因为a的绝对值是b的绝对值的3倍，且ab，当0ab时，由3ab，得原点的坐标在点D处；当0ab时，由3ab，得原点的坐标在点C处；当0ab时，由3ab，满足条件的点不存在；综上，知坐标原点在C或D．1-2-3绝几何意义及经典试题题库·教师版page5of10【巩固】（6级）（05年北京市中学生数学竞赛）（第15届希望杯培训试题）如果1ab，1bc，2ac，求2abc的值．【解析】（法1）：可以去掉绝对值，分类讨论，但非常麻烦，我们仍可采用数形结合的方法，从绝对值的几何意义出发．根据1ab，()1bcbc，()2acac，我们可以得到a、b、c三点在数轴上从左到右依次是c、b、a或a、b、c，我们会发现在这两种情况下，()ac，()bc同号，所以2()()()()3abcacbcacbcacbc．（法2）：我们发现112abbcabbcac所以ab、bc同号，所以有11abbc（两式相加可得2ac）或11abbc（两式相加可得2ac），综合上述两种情况，我们可以得到23abcacbc．【巩固】（8级）（15希望杯1试）（北京市数学竞赛）已知a、b、c、d都是整数，且2abbccdda，则ad．【解析】法1：四个非负整数和为2，ad只可能为0、1或2．讨论：①当0a，0b，1c，0d，满足条件，0ad；②当1a，0b，0c，0d，满足条件，1ad；③若2ad，即0ad且0ab，0bc，0cd，∴0ab，0bc，0cd，故0000abbccdad，这与0ad矛盾．所以，0ab或1．法2：我们希望利用绝对值的几何意义出发解答问题，所以需要对题干进行适当变形()()()()2abcbcdad，那么题目相当于：（渗入换元思想）已知a、c、m、n都是整数，且2amcmcnan，则an．因为a、c、m、n都是整数，所以an可能为2、1、0（以下过程教师均须借助数轴讲解）若2an，那么am、cm、cn均为0，但2an，am、cm为0，得cn为2，矛盾，所以2an；若1an，当a、m相同，c、n相同时，2amcmcnan成立；若0an，当a、c、n相同时，2amcmcnan成立；所以ad0或1．1-2-3绝几何意义及经典试题题库·教师版page6of10【例11】（8级）（2006年山东竞赛试题）在数轴上把坐标为123...2006，，，，的点称为标点，一只青蛙从点1出发