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第五章输送过程的基本方程及基本流动形式相关的基本概念哈米尔顿算子这一算子具有矢量和微分双重性质。ijkxyz随体导数指物理量随着流体质元一起运动时所发生的变化率,或者是当流体的微元体积上的一点在dt时间内从进入微元体积的空间位置(x,y,z)移动到离开微元体积的的空间位置(x+dx,y+dy,z+dz)时,物理量随时间的变化率例如:流体密度的随体导数为:xyzDDttxyzxyzDDttxyz张量1、张量概念a、标量:只有大小,如温度、时间b、矢量:既有大小又有方向,如位移、速度、力如空间坐标中,线段长度用OP表示,方向用箭头表示,记为c、张量:一个点处不同方向上具有不同量值的物理量称为张量,如应力、应变。OPa31122331iiiaaeaeaeae指标矩阵标量aa零阶张量矢量ai一阶张量张量Tij二阶张量111213212223313233TTTTTTTTT123aaa应力张量在P点处,通过P点的每个方向都可求出相应的牵引力。σxσyσz分别作用在垂直于x、y、z轴的面上,将它们分别沿x、y、z三个方向分解,共有9个分量,分布如右图。xxxyxzyxyyyzzxzyzz333231232221131211第一个下标表示应力分量的作用面的法向方向,而第二个下标表示应力分量的作用方向。因此,下标相同的应力分量表示法向应力分量,而混合下标则表示剪切应力分量如σxy表示什么?表示作用在与x垂直的平面上的应力分量,方向指向y在高分子流体流变过程中,单独追求法向应力分量的绝对值没有意义,重要的是两个法向应力分量的差值在各种分解中保持不变,这就是法向应力差函数。N1、N2加上粘度函数τ,三个函数即可描写简单剪切场中高分子流体的应力状态和粘弹性。1112222233NN第一法向应力差函数第二法向应力差函数流变学基本方程连续性方程运动方程能量方程1.连续性方程——质量守恒律连续性方程指在空间给定的任何体积中流体的质量增加速率等于流进该体积的质量流率。即单位时间内质量的累积量=进入量-流出量。如右图,在直角坐标系中选一个立方体,边长dx、dy、dz。设任一点(x、y、z)在t时刻的速度为V,其三个分量为vx、vy、vz,流体密度为ρ,则连续性方程在x方向,单位时间内通过面积1进入流体的质量为:单位时间内通过面积2流出的质量为:则x方向的总流体质量为:将按泰勒级数展开,并略去高阶微量,则有:1xMvdydz2xdxMvdydz12()xxdxMMvvdydzxdxv12xxdxxxvvvdxxvMMdxdydzx连续性方程同样,y方向的总流体质量为:z方向的总流体质量为:则控制体在单位时间内总流体质量为:yvdxdydzyzvdxdydzz()yxzvvvdxdydzxyz流入量-流出量=单位时间内控制体的质量累积量Q=(由密度变化引起)dxdydzt相等连续性方程0yxzvvvtxyz这就是单组分在直角坐标系中偏微分形式的连续性方程。写成矢量形式为:用张量符号可写成:()0t()0iitx连续性方程连续性方程的分析它由两部分组成,是由时间变化而引起的质量变化,是由于流场的不稳定性引起的质量变化,是局部项.是由空间位置而引起的质量变化,是由于场的不均匀性引起的质量变化.txyzvvvxyz对于任何一种稳定流动,有所以:对于不可压缩流体的稳定流动,有:0t0yxzvvvxyz0yxzvvvxyz连续性方程2.运动方程——动量守恒律流体的动量变化率应等于作用在该流体上的各种外力之和取边长为dx、dy、dz的控制体,考虑动量变化率、质量力和表面力。()idmFdt运动方程(1)质量力X轴方向的质量力Y轴方向的质量力Z轴方向的质量力()gxxxFmgdxdydzg()gyyyFmgdxdydzg()gzzzFmgdxdydzg运动方程(2)表面力(应力)作用在控制体内流体的表面力在x轴方向的净表面力:[()][()][()]xxxxxxxyxyxyxzxzxzxFdxdydzdydzxdydxdzdxdzydzdxdydxdyz化简得:()yxxxzxxFdxdydzxyz同理得:()xyyyzyyFdxdydzxyz()yzxzzzzFdxdydzxyz运动方程(3)动量变化率在x轴方向上的动量变化率为:同理得xxDDmdxdydzDtDtyyDDmdxdydzDtDtzzDDmdxdydzDtDt运动方程质量力+表面力=动量变化率yxxxxzxxDgDtxyzyxyyyzyyDgDtxyzyzxzzzzzDgDtxyz用张量表示上面三个方程,则为:jiiiDgDtjDgDt或运动方程运动方程3.能量方程——能量守恒律总能量的变化率(E)=流动能量的净流量(E1)+热能量的净流量(E2)+应力所作的净功(E3)同样取流体中边长为dx、dy、dz的控制体进行能量方程的推导能量方程(1)总能量的变化率单位体积流体的能量为E单位体积的质量所具有的能量为Eρ.此时,总能量在控制体中单位时间内的变化率为:EEt能量方程(2)流动能量沿x轴方向流入的净流动能量为:沿y、z轴方向流入的净流动能量分别为:()[]()xxxxEEdydzEdxdydzxEdxdydzx()yEdxdydzy()zEdxdydzz上述三式相加,除以dxdydz,得出单位体积的总净流动能量E1为:1()EEv能量方程(3)热能量设沿x方向在单位时间、单位面积流入的热能量为qx,则沿x轴方向的净热能量为:同理,沿y、z轴方向的净热能量为:()xxxxqqdydzqdxdydzxqdxdydzxyqdxdydzyzqdxdydzz上述三式相加,除以dxdydz,得出单位体积的净热能E2为:2()Eq能量方程(4)应力所作的功设立体微元受到各应力分量的作用,则单位时间内做功为则在x、y、z方向上的净功为:ijijj()()()xxxxyyxzzyxxyyyyzzzxxzyyzzzdxdydzxdxdydzydxdydzz上述三式相加,除以dxdydz,得出对单位体积所作的功为:3()Ev能量方程E=E1+E2+E3()()()EEvqvt能量方程对于不可压缩流体而言,有,故能量方程简化为:0()DTcqDt能量方程本构方程描述物质宏观性质的数学模型描述应力分量与应变速率分量之间的关系方程是描述一大类材料所遵循的与材料结构属性相关的力学响应规律的方程本构方程牛顿流体的本构方程幂律流体的本构方程xvy对于不可压缩流体:1nK为常数4.平行板间的等温拖曳流和管道中的压力流4.1平行板间的等温拖曳流拖曳流定义:平板间流体的流动是依靠平板的运动,而平板与流体间存在内摩擦,由此拖带着流体流动的。又称Couette库爱特流动。例如:挤出成型中,挤出机的螺杆转动,带动物料流动属于拖曳假定两块板的间距为H,板间充满流体。设上板以速度V0沿x方向运动,拖动板间流体也沿x方向流动,下板静止。流动期间保持两板温度保持不变为Tw。求板间流体的速度分布与温度分布情形要求解,首先要进行一些假定设板间的流体为不可压缩的牛顿型流体,其密度和粘度为常数。拖动流为稳定的层流。设两板间距H远远小于板的几何尺寸,于是边缘效应可以忽略不计,是一维流动。设板间流体的流速只有Vx分量不等于零,Vx也有沿y方向的速度梯度分量不等于零。xy物料在板壁上无滑移。这儿假定最贴近板的那一层流体的运动速度与板的移动速度相同,两者之间无滑动流体与外界的热交换只是通过两块大板进行的,即热流矢量只有qy分量不等于零设流体内压力p为常数;重力和惯性力忽略不计。惯性力忽略不计的原因是由于高分子流体一般粘度很大,流速较低,速度变化不大。三大基本方程得到简化连续性方程:0yxzvvvtxyz流体为不可压缩流体,所以流体只沿x方向运动,所以0t00yzvvyz0xvx连续性方程简化得:运动方程yxxxxxxxzxxyzxvvvvvvvgtxyzxyz简化前沿x方向运动方程是:忽略重力,所以0xg为一维流动,所以应力只在y方向上有变化00xxzxxz00yzvv运动方程简化得:0yxy式(1)能量方程.vxyzyyxxzzyyxxzxxyyzzyxyxzzxzyzTTTTcvvvtxyzqvqvqvPTxyzTxyzvvvvvxyzyxvvvvzxzy因为是稳流,T不随x、z变化,且是层流,vy=vz=0,所以上式左边=0。根据假设仅沿y方向传导,qx=qz=0,压力是常数,仅沿x方向的一维流动,vx与x无关,不可压缩的牛顿流体,只有x方向剪切能量方程简化后得0yxyxqvyy22yxyxTqyvTyy其中:所以:本构方程:xyxvy边界条件:y=0时,vx=0;T=Twy=H时,vx=v0;T=Tw式(2)式(3)求解过程由式(1)得上式代入式(3)得根据边界条件,求出所以速度分布:将速度分布代入式(2)得:上述积分并代入边界条件,得温度分布1yxC12xcvyc01vcH20c0xvvyH2202vTyH220()2wvTTHyyH可见,速度是线性分布,即速度分量vx沿y方向线性变化,在上板处流速是V0,下板处流速为0。温度分布是抛物线,在流道中央y=H/2处温度最高,接近两板处流体温度与板的温度相等,流道中央温度升高的原因是:粘性流动耗散外部能量所致。在实际加工中,设定加工设备的机筒温度,一定要考虑机筒内物料的真实温度比设定温度高许多,以免引起物料烧焦。4.2圆形管道中的压力流定义:指物料在管中流动,是由于管道两端存在压力差,而边界固定不动,又称Poiseuille泊肃叶流动。例子:毛细管流变仪、挤出机口模、注射模具流道设管道内径为R,长度为L,静压为P,管外温度始终保持Tw。在管道内取柱坐标系(r,,z)。物料沿z方向流动,在不同半径r处物料流速不等,故r方向为速度梯度方向,方向为中性方向简化假定设物料为不可压缩的遵循幂律方程的非牛顿型流体,流动为稳定的层流。设管径R《管长L;流速只有z分量Vz不等于零,Vz也只有沿r方向的速度梯度
本文标题:第五章输送过程的基本方程及基本流动形式
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