类继承与接口(二)实验报告

§2.4函数的奇偶性与周期性本节目录教材回顾夯实双基考点探究讲练互动考向瞭望把脉高考知能演练轻松闯关目录教材回顾夯实双基基础梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有___________,那么函数f(x)是偶函数关于_____对称奇函数如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有__________________,那么函数f(x)是奇函数关于_____对称f(－x)＝f(x)y轴f(－x)＝－f(x)原点目录2.函数的周期性(1)周期的定义一般地，对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有______________，则称函数f(x)为周期函数，非零常数T称为函数f(x)的周期．(2)最小正周期对于一个周期函数f(x)，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数叫做f(x)的_____________．f(x＋T)＝f(x)最小正周期目录思考探究1．奇、偶函数的定义域有什么特点？提示：奇、偶函数的定义域在数轴上都关于原点对称．2．存在既是奇函数又是偶函数的函数吗？提示：存在，f(x)＝0(x∈R)．目录课前热身1．(教材改编)设f(x)＝x3＋2x，g(x)＝2x4＋3x2，则y＝f(x)·g(x)是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数答案：A目录2．下列函数中①f(x)＝x－2；②f(x)＝2x＋3x；③f(x)＝x3＋1x；④f(x)＝x－x2.具有奇偶性的有()A．①②B．②③C．③④D．①④答案：A目录3．函数y＝log22－x2＋x的图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝－x对称C．关于y轴对称D．关于直线y＝x对称答案：A目录4．(2012·高考上海卷)已知y＝f(x)＋x2是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝__________.解析：∵y＝f(x)＋x2是奇函数，∴f(－x)＋(－x)2＝－[f(x)＋x2]，∴f(x)＋f(－x)＋2x2＝0.∴f(1)＋f(－1)＋2＝0.∵f(1)＝1，∴f(－1)＝－3.∵g(x)＝f(x)＋2，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－3＋2＝－1.答案：－1目录5．f(x)是定义在R上的以3为周期的奇函数，则f(3)＝__________.答案：0目录考点探究讲练互动考点突破考点1函数奇偶性的判定首先判定函数的定义域．定义域关于原点对称是函数存在奇偶性的必要条件，再判定函数f(x)是否满足奇偶性的定义或者图象特征，对于分段函数要逐段讨论．目录例1判断下列各函数的奇偶性：(1)f(x)＝lgx2＋lg1x2；(2)f(x)＝x＋1x；(3)f(x)＝x2＋xx0，－x2＋xx0；(4)f(x)＝|x|(x2＋1)．【思路分析】可从定义域入手，在定义域关于原点对称情况下，考查f(－x)与f(x)的关系．目录【解】(1)函数的定义域：(－∞，0)∪(0，＋∞)关于原点对称，且f(x)＝lg(x2·1x2)＝0(x≠0)．∴f(x)既是奇函数又是偶函数．(2)此函数的定义域为{x|x0}，由于定义域关于原点不对称，故f(x)既不是奇函数也不是偶函数．(3)当x0时，－x0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－(x2＋x)＝－f(x)；当x0时，－x0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)．综上，对x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f(－x)＝－f(x)．∴f(x)为奇函数．目录(4)易知f(x)的定义域为R.∵f(－x)＝|－x|[(－x)2＋1]＝|x|(x2＋1)＝f(x)，∴f(－x)＝f(x)，即f(x)是偶函数．【误区警示】对于(1)只代入－x而得出偶函数结论，对于(2)易丢掉定义域，对于(3)只判断一部分．目录考点2函数的周期性函数的周期性是指函数的重复性变化，是对于定义域内的所有自变量x来说的，不是指某几个特定的自变量，若T是它的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是该函数的一个周期．设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x恒满足f(x＋2)＝－f(x)，(1)求f(0)的值，f(2)的值．(2)证明f(x)是周期函数，并求最小正周期．【思路分析】(1)x＝0→f(0)→f(2)；(2)f(x＋4)→f(x＋2)→T.例2目录【解】(1)∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝－f(0)，∴f(0)＝0.又∵f(x＋2)＝－f(x)，当x＝0时，f(2)＝－f(0)＝0.(2)证明：由f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)．∴f(x)是最小正周期为4的周期函数．目录【领悟归纳】关于函数的周期有规律．(1)函数f(x)满足－f(x)＝f(a＋x)，则f(x)是周期为2a的周期函数；(2)若f(x＋a)＝1fx(a≠0)恒成立，则周期T＝2a；(3)若f(x＋a)＝－1fx(a≠0)恒成立，则周期T＝2a.目录跟踪训练1．(2012·高考山东卷)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x＜－1时，f(x)＝－(x＋2)2；当－1≤x＜3时，f(x)＝x.则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2012)＝()A．335B．338C．1678D．2012解析：选B.由f(x＋6)＝f(x)可知，函数f(x)的周期为6，所以f(－3)＝f(3)＝－1，f(－2)＝f(4)＝0，f(－1)＝f(5)＝－1，f(0)＝f(6)＝0，f(1)＝1，f(2)＝2，所以在一个周期内有f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1＋2－1＋0－1＋0＝1，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2012)＝f(1)＋f(2)＋335×1＝1＋2＋335＝338，故选B.目录例3考点3函数性质的综合应用有关函数问题，要充分考虑到它的所有性质：定义域、值域、最值、奇偶性、单调性、周期性、并结合图象综合运用．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1、x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且关于x＝1对称．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)的周期性；(4)若f(12)＝1，求f(3)＋f(32)的值．目录【思路分析】(1)x1＝x2＝1→f(1)；(2)令x1＝－1，x2＝x→f(－x)＝f(x)；(3)关于x＝1对称→f(x)＝f(2－x)→f(x)＝f(2＋x)．【解】(1)令x1＝x2＝1，有f(1×1)＝f(1)＋f(1)，解得f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f[(－1)×(－1)]＝f(－1)＋f(－1)．解得f(－1)＝0.令x1＝－1，x2＝x，有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)．∴f(x)为偶函数．目录(3)∵f(x)关于x＝1对称，∴f(x)＝f(2－x)，将x换为－x得f(－x)＝f(2＋x)∵f(x)为偶函数，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)＝f(2＋x)，∴f(x)为周期函数．最小正周期为T＝2.(4)f(3)＝f(2＋1)＝f(1)＝0，f(32)＝f(2－12)＝f(－12)＝f(12)＝1.∴f(3)＋f(32)＝1.【思维总结】对于抽象函数奇偶性的判定通过赋值寻找f(x)与f(－x)的关系．目录跟踪训练2．(2011·高考陕西卷)设函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝f(x)，f(x＋2)＝f(x)，则y＝f(x)的图象可能是()目录解析：选B.由于f(－x)＝f(x)，所以函数y＝f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，所以A、C错误；由于f(x＋2)＝f(x)，所以T＝2是函数y＝f(x)的一个周期，D错误．所以选B.目录方法技巧1．奇、偶函数的性质(1)设函数f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们公共定义域上有：当f(x)，g(x)均为奇函数时，f(x)＋g(x)是奇函数，f(x)·g(x)是偶函数；当f(x)，g(x)均为偶函数时，f(x)＋g(x)是偶函数，f(x)·g(x)是偶函数；奇函数的反函数也是奇函数．(2)若f(x)是偶函数⇔f(x)＝f(|x|)；若奇函数f(x)的定义域内含有数0，则必有f(0)＝0.方法感悟目录(3)若函数f(x)为奇函数，在[a，b]上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为增函数．若函数f(x)为偶函数，在[a，b]上为增函数，则f(x)在[－b，－a]上为减函数．(4)函数奇偶性的判定方法①利用定义f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0.f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0.②利用图象的对称性f(x)是奇函数⇔f(x)的图象关于原点对称．f(x)是偶函数⇔f(x)的图象关于y轴对称．目录2．函数的“周期性”与“对称性”的伙伴关系(1)设a为非零常数，若对于f(x)的定义域内的任意x，恒有下列条件之一成立．①f(x＋a)＝－f(x)；②f(x＋a)＝1fx.③f(x＋a)＝－1fx；④f(x＋a)＝fx＋1fx－1.⑤f(x＋a)＝1－fx1＋fx；⑥f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)是周期函数，2a是它的一个周期．目录(2)若f(x)同时关于x＝a与x＝b对称(ab)，则f(x)的一个周期为2(b－a)．(3)若f(x)关于x＝a对称，同时关于点(b,0)对称(b≠a)，则f(x)的一个周期为4(b－a)．(4)若f(x)关于(a,0)对称，同时关于(b,0)对称，则f(x)的一个周期为2(b－a)．目录失误防范1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件．2．判断分段函数奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域上的奇偶性．目录3．奇偶性和周期性都是函数的整体性质．奇偶性是解决函数图象的对称性问题，周期性是解决函数图象的平移问题．单调性是函数的局部性质，要注意区分对于偶函数y＝f(x)，f(a)f(b)⇔f(|a|)f(|b|)．4．并不是所有的周期函数都有最小正周期．目录考向瞭望把脉高考命题预测函数的奇偶性、周期性是高考命题的热点．从这两年的高考试题来看，主要是奇偶性与单调性的小综合，周期性的考查常以利用周期性求函数值，以选择题、填空题的形式出现，这部分知识对学生要求不高，属中低、档题．2012年的高考中，福建卷考查了符号函数的奇偶性，上海卷考查了有关奇函数的组合函数的函数值．预测2014年的高考中，对这一知识点的考查难度不大，以客观题型为主，考查函数的奇偶性、周期性．特别提出抽象函数的赋值法和周期函数的两个性质f(x)＝－f(x＋a)，f(x)＝－1fx＋a值得关注．目录典例透析例函数f(x)＝4x＋12x的图象()A．关于原点对称B．关于直线y＝x对称C．关于x轴对称D．关于y轴对称【解析】∵f(x)＝4x＋12x＝2x＋2－x，∴f(－x)＝f(x)，f(x)是偶函数．【答案】D目录【名师点评】本题的技巧就是指数的恒等变形，f(x)＝2x＋2－x，至此结论显而易见．若本题直接写f(－x)是比较麻烦的，作为选择题此解法是不好的．当然本题可逐个排除A、B、C.此题易错选为A，其原因是化简出错．本题外观上看是考查图象对称性，其实质是函数奇偶性的定义和对称性，出题别致，属于中、低档题．目录知能演练轻松闯关目录本部分内容讲解结束按ESC键退出全屏播放