平稳随机过程及其数字特征

平稳随机过程及其数字特征平稳随机过程及其数字特征平稳随机过程粗略的说——随机过程的统计特征不随时间的推移而变化随机过程的统计特征不随时间的推移而变化。一.一.严严平稳随机过程1.定义设有随机过程{X(t),t∈T}，若对于任意n和任意t1t2…tn，（ti∈T）时刻的n个状态的n维概率密度，不随时间平移Δt而变化。(Δt为任意值)12121212(,,...,;,,...,)(,,...,;,,...,)XnnXnnfxxxtttfxxxtttttt=+Δ+Δ+Δ则称该过程为严平稳随机过程严平稳随机过程（或狭义平稳过程）。为了形象的说明问题，我们暂且假定随机过程的所有状态X(t)可以用纵轴表示，见下图。1212(),(),...,()nntttnXttXttXttt+Δ+Δ+ΔΔL无论如何选取，个状态的联合概率密度都不会随的变化而变化。严平稳过程的统计特性与所选取的与所选取的““时间起点时间起点””无关无关，无论从什么时间开始测量n个状态，所得到的统计特性是完全一样的。即：X(t)X(t)与与X(t+X(t+ΔΔt)t)具有相同的概率分布及数字特征具有相同的概率分布及数字特征。12120nntttttttttt+Δ+Δ+Δ1212()()()()()()()nnXtXttXtXtXttXttXt+Δ+Δ+ΔtttΔΔΔ2、严平稳过程的概率密度及数字特征(1)、严平稳过程的一维概率密度与时间无关一维概率密度与时间无关(2)、严平稳过程的二维概率密度只与二维概率密度只与tt11、、tt22的时间间隔的时间间隔ττ=t=t22--tt11（（时间差时间差ττ）有关，）有关，而与而与““时间起点时间起点””无关无关。(,)(,)(,0)()XXXXfxtfxttfxfxtt=+Δ==Δ=−因此有：严平稳过程的一维统计特性与时间无关一维统计特性与时间无关22222[()](,)()[()]()[()]()()XXXXXXXXEXtxfxtdxxfxdxmEXtxfxdxDXtxmfxdxψσ∞∞−∞−∞∞−∞∞−∞=⋅=⋅==⋅==−⋅=∫∫∫∫121212121122112(,;,)(,;,)(,;0,)(,;)XXXXfxxttfxxttttttfxxttfxxτ=+Δ+ΔΔ=−=−=因此：严平稳过程的二维数字特征仅是（时间差二维数字特征仅是（时间差ττ）的函数）的函数综上所述：要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否要按上述严平稳过程的定义来判断一个过程是否平稳平稳??是很困难的是很困难的。a)a)：一般在实用中，只要产生随机过程的主要物理条件，在时间只要产生随机过程的主要物理条件，在时间进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的进程中不变化。则此过程就可以认为是平稳的。例如：在电子管中由器件的颗粒效应引起的“散弹噪声”，由于产生此噪声的主要物理条件与时间无关，所以此噪声可以认为是平稳过程。1212121212121212222(,)(,;)()(,)()()(,;)()()(0)(0)[()]XXXXXXXXXXXXXXRttxxfxxdxdxRCttxmxmfxxdxdxCRmCRmDXtτττττσ=⋅==−−==−=−==∫∫∫∫∞)]([2tXEb)b)：另一方面，对有些非平稳过程对有些非平稳过程，可以根据需要，如果它在所观测的时间段内是平稳的，就可以视作这一时间段上的平稳过程来处理。即在观测的有限时间段内，认为是平稳过程在观测的有限时间段内，认为是平稳过程。因此，工程中平稳过程的定义如下：二、宽平稳过程二、宽平稳过程1、定义若二阶矩过程()X(t)满足:E[X(t)]=E[X(t)]=mmxx←←常数常数RRxx(t(t11,t,t22)=R)=Rxx((ττ))←←只与时间间隔只与时间间隔((ττ=t=t22--tt11))有关有关则称过程X(t)为“宽平稳随机过程”（广义平稳过程）。可见：一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程一个均方值有限的严平稳过程，一定是宽平稳过程。反之：一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程一个宽平稳过程，则不一定是严平稳过程。c)c)：一般在工程中，通常只在相关理论相关理论的范围内讨论过程的平稳问题。即：讨论与过程的一、二阶矩过程的一、二阶矩有关的问题。例1设随机过程式中，皆为常数，是在上均匀分布的随机变量。试问：X(t)是否是平稳随机过程？为什么？解：由题意可知，随机变量的概率密度为因而，我们根据定义式，求得过程X(t)的均值，自相关函数和均方根分别为)cos()(0Φ+=ttXωα0,ωαΦ)2,0(πΦ⎩⎨⎧=Φ其他,020,2/1)(πϕπϕf021)cos()()()]([)(200=⋅+===∫∫∞∞−ΦπϕπϕωαϕϕdtdftxtXEtmX)(cos2]21)22cos([cos2)]22cos([cos2)])(cos()cos([)]()([),(),(0220000200020021ττωαϕπϕτωωτωατωωτωατωαωαττπXXXRdttEttEtXtXEttRttR==⋅+++=Φ+++=Φ++⋅Φ+=+=+=∫∞===2)0(),()]([22αXXRttRtXE由此可见，过程X(t)的均值为“0”（常数），自相关函数仅与时间间隔有关，均方值为“”（有限），故过程X(t)是宽平稳过程。τ2/2α↓0对于随机过程X(t)=αcos(ωot+ϕ)而言，当ϕϕ在在(0(0，，22ππ))或或((--ππ，，ππ))上均匀分布时，上均匀分布时，X(t)X(t)是平稳的是平稳的。当ϕϕ在在(0(0，，ππ))上或上或ϕϕ在在(0(0，，ππ/2)/2)上均匀分布时，上均匀分布时，X(t)X(t)是非平稳过是非平稳过程程。因为当ϕ在(0，π)上均匀分布时，E[X(t)]=(-2α/π)sinωot≠常数当ϕ在(0,π/2)上均匀分布时，E[X(t)]=2α/π(sinωot-cosωot)≠常数τ22222212122122122)()]()([),(][)]()([),(][)]([YXYXYtttXtXEttRttYtYtEtXtXEttRmtYtEtXEψτττψ⋅+=+=+⋅⋅=⋅==⋅=⋅=QttmtXX0)()(22例2设两个随机过程X1(t)=Y，X2(t)=tY，Y是随机变量。讨论它们的平稳性。解：1)—常数可见X1(t)是平稳过程。2)—非常数tmtXX0)(11∞====+=+==2121221111)0()]([][)]()([),(][)]([YXYXYRtXEYEtXtXEttRmYEtXEψψττQ所以X2(t)是非平稳过程。注：严平稳随机过程X(t)的所有统计特性均不随时间平移而变化，X(t)与X(t+Δt)具有相同的概率分布及数字特征。但X(t)≠X(t+Δt)X(t)=Y←只是个严平稳随机过程的特例。