茆诗松概率论与数理统计教程课件第一章-(1)

第一章随机事件与概率第一节随机事件及其运算1.引言：概率论与数理统计的研究对象与内容2.概率论研究的一些基本术语：样本空间、随机事件、随机变量等3.事件间的关系和运算4.事件域1.引言：概率论与数理统计的研究对象与内容概率论与数理统计是研究随机现象统计规律的一门数学分支.什么是随机现象呢?先看两个简单试验.试验I:从含有10个完全相同的白球的袋子里任意抽取一球;试验II:从含有5个白球和5个黑球的袋子里任意抽取一球.试验I:从含有10个完全相同的白球的袋子里任意抽取一球;试验I的结果在球没有抽取前就已确定了,它必然是一个白球.这种在试验之前就能判断它有一个确定的结果的试验称为确定性试验,对应的现象称为确定性现象.“一个星期的天数为7天”,确定性现象有很多,如:“每天早晨太阳从东方升起”.“边长为a和b的矩形的面积必为a×b”,试验II的结果可能是白球,也有可能是黑球,究竟出现白球还是黑球,试验之前是无法确定的.尽管这种类型的试验结果是不确定的,但如果我们进行大量的试验,还是能发现一定的规律:试验II:从含有5个白球和5个黑球的袋子里任意抽取一球.试验次数n很大时,白球出现的频率21nn白试验II这种类型的试验称为随机试验,其所代表的现象称为随机现象.随机试验及随机现象例子很普遍,如:概率统计研究的就是随机试验和随机现象.•抛一枚硬币•掷一颗骰子•测某地区的年降雨量•检查流水生产线上的一件产品,看是合格品还是不合格品•调查10名随机抽取的婴儿中的男婴数从以上这些例子不难总结出随机试验的三个特点:1.试验结果不止一个;2.在试验前不能肯定会出现哪一种结果;3.试验可以在相同情形下重复进行.概率统计就是研究随机现象的统计规律的数学学科方向.由于随机现象的普遍性,使得概率统计在各学科,各领域几乎都有广泛的应用,因而又诞生出象生物统计学,社会统计学,经济计量学,工业质量控制等一系列与概率统计紧密关联的学科方向.从学科特点上来讲,它兼有数学的严谨性和其它许多学科的应用性,吸引了越来越多的学者投入到概率统计的研究中.概率统计是近年来美国等西方国家热门的专业,毕业后就业岗位多,且工作环境及待遇在官方统计报道中是在各行业里居前的.2.概率论研究的一些基本术语:样本空间、随机事件、随机变量等样本空间(SampleSpace)的定义:随机试验的所有可能的结果组成的集合,称为样本空间,通常用Ω来表示.其每一个基本结果称为样本点(也称为基本事件),常用ω表示,即有Ω={ω}.例一.(1)抛一枚硬币的样本空间为:Ω={ω1,ω2},ω1是正面,ω2是反面;或直接写成Ω={正面,反面}.(2)掷一颗骰子的样本空间为:Ω={1,2,3,4,5,6}.(3)调查10名婴儿中的男婴数的样本空间为:Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}.(4)试验II的样本空间为:Ω={白球,黑球}.(5)某电话交换机在一天内收到的呼唤次数的样本空间为:Ω={0,1,2,…}=非负整数集合.(6)一天内进入某商场的顾客数的样本空间为:Ω={0,1,2,…}=非负整数集合.(7)记录对某刺激的反应时间的样本空间为:Ω=(0,∞).(8)电视机寿命的样本空间为:Ω={t|t≥0}.从Ω所含的样本点个数来看,上述8个例子分为3类情形:(a),例(1)、(2)、(3)、(4)均含有有限个样本点;(b),例(5)、(6)含有无限个样本点,但其可列(或称可数);(c),例(7)、(8)的Ω样本点个数是不可列无限个.前两类情形,即样本点个数为有限个或可数个的样本空间称为离散样本空间;而样本点个数为不可数无限个的样本空间称为连续样本空间.随机事件(RandomEvent)的定义:随机事件(简称事件),是指随机试验中发生的事件,也就是某些样本点组成的集合,常用大写字母A,B,C,…表示.例如在掷骰子的试验中,“得到一个偶数”就是一个随机事件,即A={2,4,6}.事件可以用文字来表示,也可以用集合来表示.如果某次试验的结果ω∈A,则称事件A发生.单个样本点对应的事件称为基本事件.任何一次试验中都一定不会出现的结果称为不可能事件,用Φ表示.例二.在掷一颗骰子的试验中,样本空间为Ω={1,2,3,4,5,6}基本事件有6个:{1},{2},{3},{4},{5},{6}其它的事件有:事件A=“得到一个奇数”={1,3,5}事件B=“得到一个偶数”={2,4,6}事件C=“得到最大的数”={6}事件D=“得到一个不小于2的数”={2,3,4,5,6}事件E=“得到数字0”=Φ例三.写出下列随机试验的样本空间,用样本点的集合表示所述事件.袋中有3个白球和2个黑球,从其中任取2个球,令A表示“取出的全是白球”,B表示“取出的全是黑球”,C表示“取出的球颜色相同”,D表示“取出的两个球至少有一个白球”解:将3个白球和2个黑球分布编号为1,2,3和4,5.则样本空间为Ω={{1,2},{1,3},{1,4},{1,5},{2,3},{2,4},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5}}事件A={{1,2},{1,3},{2,3}}事件B={{4,5}}事件C={{1,2},{1,3},{2,3},{4,5}}事件D={{1,2},{1,3},{2,3},{1,4},{2,4},{3,4},{1,5},{2,5},{3,5}}随机变量(RandomVariable)的定义:依赖于随机试验结果的变量称为随机变量,常用大写字母X,Y,Z等表示.随机变量最大的特征就是可以取不同的值.例如:(1)掷一颗骰子得到的点数X是一个随机变量.X=1,2,…,6.(2)抛一枚硬币,约定若试验结果出现正面,令Y=1;若反面,令Y=0,那么Y是一个随机变量.(3)随机抽查10名婴儿中的男婴数目,记为Z,则Z是一个随机变量;Z=0,1,2,…10.(4)电视机的寿命T是一个随机变量,其可能的取值范围是非负数.引入随机变量后,事件除了可用文字或样本点集合来表示,也可用随机变量来表示.例如,例二中掷骰子的试验得到的点数记为X,则事件A也可表示为X是奇数;事件B是X为偶数;事件C是X=6;事件D是X≥2;事件E是X=0.注意:在实际问题中,哪一种表示方法方便且有利于问题的解答就采用哪一种.3.事件间的关系与运算.A,AΩ必有对于任意事件事件间的关系:包含关系,相等关系,互不相容关系因为事件就是样本点的集合,所以事件间的关系与运算类比于集合间的关系与运算..BAB,A,BAB,A:(1)必然发生发生时即事件记为中包含在事件则称事件的样本点必属于事件如果事件包含关系B.A,BAA,BB,A:)2(记为相等与则称同时如果事件相等关系即甚至是唯一的方法用有事件是否相等时是非常圈子的说法在证明两个但这种绕绕圈子所以前面的说法有点样本点含有相同的的表达是相等关系的一个更简洁,,,.B,A.ABBAB,A入手且必须从证明要证明.BA,BA,.BA,BA:)3(不能同时发生，即都发生和可能同时使得一次试验的结果不换句话说互不相容与则称没有相同的样本点和如果事件互不相容关系.BAB,A互不相容常记为例四.讨论例三中事件A,B,C,D之间的关系.D.A,BAC,BC,A:解事件间的基本运算:并,交,差以及余BA,BAB},A:{BA,BAB,A,BA)1(发生或发生或者至少有一个发生与事件其意义是或即点组成的新事件所有样本与是指记为的并与事件:它的几何表示为}5,3,2,1{AA,3A,A,2121则得到的数得到一个奇数令在例二的掷骰子试验里.BAB},A:{BA,BAAB,B,A,BA)2(发生同时与事件其意义是且即新事件的公共的样本点组成的与由是指或记为的交与事件:它的几何表示为}3,1{AA,3A,A,2121则得到的数得到一个奇数令在例二的掷骰子试验里.BAB},A:{BA,BAB,A,BA)3(不发生事件发生而事件其意义是且即件中的样本点组成的新事在中但不由在是指记为的差与事件:它的几何表示为}5{AA,3A,A,2121则得到的数得到一个奇数令在例二的掷骰子试验里.AA},:{A,A,A,A)4(不发生事件其意义是即的样本点组成的新事件中中但不在由在是指记为的余事件Ω:它的几何表示为}6,5,4{A},6,4,2{A,3A,A,2121则得到的数得到一个奇数令在例二的掷骰子试验里事件间的可数并与交事件的并与交运算可被延伸到对可数无限个事件的操作.则上的事件空间是一列定义在相同样本假定,,A,A,A321Ω1iii},Ai:{A使得存在Ω}A,i:{Ai1ii对于所有Ω例如:那么并定义事件设.1,i1A(0,1],iΩ1i1ii,1],0(1,i1A}.1{A1,i1A11i1ii当然事件的并与交运算也可被拓展到对不可数无限个事件的操作,但这种运算在概率统计研究中应用较少,只是有时会成为我们解题时的一个工具而已.样本空间的分割(Partition).,A,A,A,A,,A,A,A3211ii321分割形成了一个对样本空间那么称且有相互互不相容如果ΩΩ.,,,,.)[1,1)i,i[Ai得很重要这在有些问题解决中显叠的小块不重空间分成了一些小的我们将一个较大的样本它使很重要的对样本空间的划分还是总之分割的形成一个对样本空间例如事件事件的运算法则1.交换律:4.DeMorgan公式(对偶律):3.分配律:2.结合律:,ABBAABBA)()()()(CBACBACBACBA)()()()()()(CBCACBACBCACBABABABABA例五.设A,B,C为3事件,试用A,B,C表示下列事件.CABCBA:解(1)事件“A与B发生,C不发生”(2)“A,B,C至少有一个发生”(3)“A,B,C都不发生”CBA:解CBA:(b)CBACBA:(a):解法解法解根据Demorgan公式可知,(a)与(b)结果相同(4)“A,B,C不都发生”ABC:(a):解法解.CBA,CB,A,:)b(所以就是少有一个不发生中至是该事件从字面来理解就解法CBA,ABC(iii)CBACBACBA,ABC(ii)CABCBABCA,ABC(i):3:)c(即都不发生即恰好有两个不发生即恰好有一个不发生种情况该事件可分解为解法.CBACBACBACBACABCBABCA(4),可表示为因而所以该事件是它们的并根据事件的运算法则可验证,这三种解法的结果相同CBACBACBA：三个事件恰有一个发生)5(BCACABBCACBACABABC生：三个事件至少有两个发)6(：三个事件恰有两个发生)7(件发生：三个事件不多于两个事)8(例六：一名射手连续向某个目标射击三次,Ai:射手第i次击中目标,i=1,2,3.试用文字叙述下列事件.;21AA;321AAA;23AA;21AA;321AAA;32AA;313221AAAAAA解：中目标”“前两次至少有一次击21AA未击中目标”“第二次射击2A次击中目标”“三次射击中至少有一321AAA标”“三次射击都击中了目321AAA未击中目标”“第三次击中但第二次23AA;2A2121AAAA32AA313221AAAAAA次未击中目标”“后两次射击至少有一击中目标”“三次射击至少有两次中目标”“前两次射击都没有击例七.什么样的事件X满足下列等式?B)AX(A)(XXX)A(AX)AX()A(X)AX(A)(X:解.BX,所以例八.CB)A(C)(BA(2)BAABBA(1):,Y,XXYYX)XY()YX(YX,Y,X