2008年高考试题理科数学(江苏卷)及答案解析

12008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学一、填空题：本大题共1小题，每小题5分，共70分．1．若函数cos()(0)6yx最小正周期为5，则.2．若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），先后抛掷两次，则出现向上的点数之和为4的概率是．3．若将复数11ii表示为(,,abiabRi是虚数单位）的形式，则ab．4．若集合2{|(1)37,}AxxxxR，则AZ中有个元素.5．已知向量a和b的夹角为0120，||1,||3ab，则|5|ab．6．在平面直角坐标系xoy中，设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向D中随机投一点，则所投点在E中的概率是7．某地区为了解7080岁的老人的日平均睡眠时间（单位：h），随机选择了50位老人进行调查，下表是这50位老人睡眠时间的频率分布表：在上述统计数据的分析中一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为8．设直线bxy21是曲线)0(lnxxy的一条切线，则实数b的值是9．如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为)0,(),0,(),,0(cCbBaA，点(0,)Pp在线段AO上的一点（异于端点），这里pcba,,,均为非零实数，设直线CPBP,分别与边ABAC,交于点FE,，某同学已正确求得直线OE的方程为01111yapxcb，请你完成直线OF的方程：()011yapx。序号i分组（睡眠时间）组中值（iG）频数（人数）频率（iF）1[4,5)4.560.122[5,6)5.5100.203[6,7)6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08开始S0输入Gi，Fii1SS＋Gi·Fii≥5ii＋1NY输出S结束ABCxyPOFE210．将全体正整数排成一个三角形数阵：按照以上排列的规律，第n行（3n）从左向右的第3个数为11．设,,xyz为正实数，满足230xyz，则2yxz的最小值是12．在平面直角坐标系xOy中，椭圆)0(12222babyax的焦距为2c，以O为圆心，a为半径作圆M，若过20aPc，作圆M的两条切线相互垂直，则椭圆的离心率为13．满足条件BCACAB2,2的三角形ABC的面积的最大值14．设函数3()31()fxaxxxR，若对于任意的1,1x都有0)(xf成立，则实数a的值为二、解答题：本大题共6小题，共90分。请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．如图，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始边作两个锐角，，它们的终边分别交单位圆于AB，两点．已知AB，两点的横坐标分别是210，255．（1）求tan()的值；（2）求2的值．123456789101112131415………………BAxyO3ABCDEFBCDAOP16．如图，在四面体ABCD中，CBCDADBD，，点EF，分别是ABBD，的中点．求证：（1）直线//EF面ACD。（2）平面EFC面BCD．17．如图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD的两个顶点A，B及CD的中点P处．AB＝20km，BC＝10km．为了处理这三家工厂的污水，现要在该矩形区域上（含边界）且与A，B等距的一点O处，建造一个污水处理厂，并铺设三条排污管道AO，BO，PO．记铺设管道的总长度为ykm．（1）按下列要求建立函数关系式：（i）设BAO（rad），将y表示成的函数；（ii）设OPx（km），将y表示成x的函数；（2）请你选用（1）中的一个函数关系确定污水处理厂的位置，使铺设的污水管道的总长度最短。18．在平面直角坐标系xOy中，记二次函数2()2fxxxb（xR）与两坐标轴有三个交点．经过三个交点的圆记为C．（1）求实数b的取值范围；（2）求圆C的方程；（3）问圆C是否经过定点（其坐标与b的无关）？请证明你的结论．419．（1）设12,,,naaa是各项均不为零的n（4n≥）项等差数列，且公差0d，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列．（i）当4n时，求1ad的数值；（ii）求n的所有可能值．（2）求证：对于给定的正整数n(4n≥)，存在一个各项及公差均不为零的等差数列12bb，，，nb，其中任意三项（按原来的顺序）都不能组成等比数列．20．已知函数11()3xpfx，22()23xpfx（12,,xRpp为常数）．函数()fx定义为：对每个给定的实数x，112212(),()()()(),()()fxfxfxfxfxfxfx若若（1）求1()()fxfx对所有实数x成立的充分必要条件（用12,pp表示）；（2）设,ab是两个实数，满足ab，且12,(,)ppab．若()()fafb，求证：函数()fx在区间[,]ab上的单调增区间的长度之和为2ba（闭区间[,]mn的长度定义为nm）5数学附加题21：从A，B，C，D四个中选做2个，每题10分，共20分A．选修4—1几何证明选讲如图，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D．求证：2EDEBEC．B．选修4—2矩阵与变换在平面直角坐标系xOy中，设椭圆2241xy在矩阵2001对应的变换作用下得到曲线F，求F的方程．C．选修4—4参数方程与极坐标在平面直角坐标系xOy中，点()Pxy，是椭圆2213xy上的一个动点，求Sxy的最大值．D．选修4—5不等式证明选讲设a，b，c为正实数，求证：33311123abc+abc≥．BCEDA622．【必做题】记动点P是棱长为1的正方体1111-ABCDABCD的对角线1BD上一点，记11DPDB．当APC为钝角时，求的取值范围．23．【必做题】．请先阅读：在等式2cos22cos1xx（xR）的两边求导，得：2(cos2)(2cos1) xx，由求导法则，得(sin2)24cos(sin) xxx，化简得等式：sin22cossinxxx．（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式0122(1+x)=CCCCnnnnnnnxxx（xR，正整数2n≥），证明：112[(1)1]Cnnkknknxkx．（2）对于正整数3n≥，求证：（i）1(1)C0nkknkk；（ii）21(1)C0nkknkk；（iii）11121C11nnknkkn．72008年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学参考答案一、填空题1、10；2、112；3、1；4、6；5、7；6、16；7、6.42；8、ln2－1；9、11cb；10、262nn；11、3；12、22；13、22；14、4；2、【解析】本小题考查古典概型．基本事件共6×6个，点数和为4的有(1,3)、(2,2)、(3,1)共3个，故316612P6、【解析】本小题考查古典概型．如图：区域D表示边长为4的正方形的内部（含边界），区域E表示单位圆及其内部，因此．214416P7、【解析】由流程图1122334455SGFGFGFGFGF4.50.125.50.206.50.407.50.28.50.086.429、【解析】本小题考查直线方程的求法．画草图，由对称性可猜想填11cb．事实上，由截距式可得直线AB：1xyba，直线CP：1xycp，两式相减得11110xybcpa，显然直线AB与CP的交点F满足此方程，又原点O也满足此方程，故为所求直线OF的方程．10、【解析】本小题考查归纳推理和等差数列求和公式．前n－1行共有正整数1＋2＋…＋（n－1）个，即22nn个，因此第n行第3个数是全体正整数中第22nn＋3个，即为262nn．11、【解析】本小题考查二元基本不等式的运用．由230xyz得32xzy，代入2yxz得229666344xzxzxzxzxzxz，当且仅当x＝3z时取“＝”．12、【解析】设切线PA、PB互相垂直，又半径OA垂直于PA，所以△OAP是等腰直角三角形，故22aac，解得22cea．813、【解析】设BC＝x，则AC＝2x，根据面积公式得：ABCS=21sin1cos2ABBCBxB.根据余弦定理得：2222242cos24ABBCACxxBABBCx244xx，代入上式得ABCS=2221281241416xxxx由三角形三边关系有2222xxxx解得222222x，故当22x时取得ABCS最大值2214、【解析】若x＝0，则不论a取何值，fx≥0显然成立；当x＞0即1,1x时，331fxaxx≥0可化为，2331axx设2331gxxx，则'4312xgxx，所以gx在区间10,2上单调递增，在区间1,12上单调递减，因此max142gxg，从而a≥4；当x＜0即1,0时，331fxaxx≥0可化为a2331xx，'4312xgxx0gx在区间1,0上单调递增，因此ma14ngxg，从而a≤4，综上a＝4二、解答题15、（1）由已知条件即三角函数的定义可知225cos,cos105，因为锐角，故sin0，从而272sin1cos10同理可得25sin1cos5，因此1tan7,tan2.9所以tan()=17tantan2311tantan172;（2）132tan(2)tan[()]111(3)2,30,0,02,222又故从而由tan(2)1得324.16、证明：（1）∵E,F分别是ABBD，的中点．∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥AD，∵EF∥面ACD，AD面ACD，∴直线EF∥面ACD；（2）∵AD⊥BD，EF∥AD，∴EF⊥BD，∵CB=CD，F是ＢＤ的中点，∴CF⊥BD又EF∩CF=F,∴BD⊥面EFC，∵BD面BCD，∴面EFC面BCD17、【解析】（Ⅰ）①由条件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=(rad)，则10coscosAQOA,故10cosOB，又OP＝1010tan，所以10101010tancoscosyOAOBOP，所求函数关系式为2010sin10cosy04②若OP=x(km)，则OQ＝10－x，所以OA=OB=222101020200xxx所求函数关系式为2220200010yxxxx（Ⅱ）选择函数模型①，'2210coscos2010sin102sin1coscossiny令'y0得sin12，因为04，所以=6，当0,6时，'0y，y是的减函数；当,64时，'0y，y是的增函数，所以当=6时，min10103y。这时点P位于线段AB的中垂线上，在矩形区域内且距离AB边1033km处。1018、解：本小题主要考查二次函数图象与性质、圆的方程的求法．（Ⅰ）令x＝0，得抛物线与y轴交点是（0，b）；令220fxxxb，由题意b≠0且Δ＞0，解得b＜1且b≠