2014高考系统复习数学(文)精品课件(人教A版) 5-2 同角三角函数基本关系与诱导公式

考纲要求考情分析1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，sinxcosx＝tanx.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式.从近三年的高考试题来看，同角关系式和诱导公式中的π±α，π2±α是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中低档题，如2012年辽宁卷6；主要是诱导公式在三角式求值、化简的过程中与同角三角函数的关系式、和差角公式及倍角公式的综合应用，一般不单独命题，在考查基本运算的同时，注重考查等价转化的思想方法．预测：2013年高考仍会将同角三角函数的基本关系和诱导公式作为基础内容，融于三角求值、化简及解三角形的考查中.1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：；(2)商数关系：.sin2α＋cos2α＝1tanα＝sinαcosα问题探究1：如何理解基本关系式中的“同角”？提示：只要在“()”中填上角的相同的表示形式，sin2()＋cos2()＝1，tan()＝sincos就成立，如sin2α3＋cos2α3＝1，tan4α＝sin4αcos4α均成立，而sin2θ＋cos2φ＝1就不一定成立，当然在商数关系式中，要求分母不为零．2．诱导公式组数一二三四五六角k·360°＋α(k∈Z)180°＋α－α180°－α90°－α90°＋α正弦sinαsinαcosα余弦－cosαsinα－sinα正切tanα口诀函数名变，符号看象限函数名变符号看象限－sinαcosα－sinαcosαcosα－cosαtanα－tanα－tanα改不诱导公式指出了角α的三角函数与诸如－α，180°±α，90°±α，270°±α，360°－α，360°·k＋α(k∈Z)等角的三角函数之间的关系，其记忆规律是：奇变偶不变、符号看象限．其中奇变偶不变中的奇、偶分别是指90°的奇数倍和偶数倍，变与不变指的是函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，如：sin(90°＋α)＝cosα，若是偶函数倍，则函数名称不变．符号看象限，是把α看成锐角时原函数值所在象限的符号，如180°＋α可看成是第三象限角，而第三象限角的正弦为“－”；所以有sin(180°＋α)＝－sinα.问题探究2：“符号看象限”中，符号是否与α的大小有关？提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2kπ＋α(k∈Z)，π＋α，－α，π－α，π2－α，π2＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限的角．问题探究3：有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)，你认为正确吗？提示：不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sinα；当k＝2n＋1(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(2nπ＋π－α)＝sin(π－α)＝sinα.1．(2012年哈三中高三月考)cos(－510°)的值为()A.32B．－32C.12D．－12解析：∵cos(－510°)＝cos510°＝cos(360°＋150°)＝cos150°＝－32.∴选B.答案：B2．已知cosα＝－23，α∈(π，3π2)，则tanα的值为()A．－52B.52C．－13D.13解析：∵πα3π2，∴sinα＝－1－－232＝－53∴tanα＝sinαcosα＝52.应选B.答案：B3．已知cos(α－π)＝－513，且α是第四象限角，则sinα＝()A．－1213B.1213C．±1213D.512解析：cos(α－π)＝－cosα＝－513，cosα＝513.sinα＝±1－cos2α＝±1213，∵α是第四象限角，∴sinα＝－1213.答案：A4．已知α是第四象限角，tanα＝－512，则sinα等于()A.15B．－15C.513D．－513解析：由tanα＝sinαcosα＝－512，sin2α＋cos2α＝1及α是第四象限角，解得sinα＝－513.答案：D5．sin2(π＋α)－cos(π＋α)·cos(－α)＋1的值为()A．1B．2sin2αC．0D．2解析：原式＝(－sinα)2－(－cosα)·cosα＋1＝sin2α＋cos2α＋1＝2.答案：D6．已知tanθ＝2，则sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝()A．2B．－2C．0D.23解析：sinπ2＋θ－cosπ－θsinπ2－θ－sinπ－θ＝cosθ＋cosθcosθ－sinθ＝2cosθcosθ－sinθ＝21－tanθ＝21－2＝－2.答案：B1.“同角”有两层含义：一是“角相同”，二是代表“任意”一个使三角函数有意义的角．“同角”的概念与角的表达形式无关，如：sin23α＋cos23α＝1，sinα2cosα2＝tanα2.2．由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．3．运用基本关系式可以求解下列两类问题：(1)已知某角的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值；(2)运用它对三角函数式进行化简求值或证明．(1)(2012年北京海淀期末)若3sinα＋cosα＝0，则1cos2α＋sin2α的值为()A.103B.53C.23D．－2(2)(2012年大纲全国)已知α为第二象限角，sinα＝35，则sin2α＝()A．－2425B．－1225C.1225D.2425(3)已知sinα＝13，求tanα；【思路启迪】(1)由已知可求出tanα，所求式分子“1”可换为sin2α＋cos2α，然后分子、分母同除以cos2α，代入即可求其值．(2)、(3)由sin2α＋cos2α＝1可求出cosα，注意开方的正负．【解析】(1)由3sinα＋cosα＝0得tanα＝－13，所以1cos2α＋sin2α＝sin2α＋cos2αcos2α＋2sinαcosα＝tan2α＋11＋2tanα＝103，故选A.(2)由题意可知cosα＝－45，则sin2α＝2sinαcosα＝2×35×－45＝－2425，故选A.(3)∵sinα＝130，∴α为第一或第二象限角．当α为第一象限角时，cosα＝1－sin2α＝223，∴tanα＝24；当α为第二象限角时，tanα＝－24.【答案】(1)A(2)A(3)－24(1)利用同角三角函数基本关系可以化简、求值，该部分高考命题难度不大，关键是灵活运用公式，领会sinα、cosα与tanα之间的联系，由平方关系可实现角α的正、余弦的互化，由商数关系可实现角α的弦切互化．(2)注意公式的正用、逆用及变形应用，如1＝sin2α＋cos2α，sinα＝±1－cos2α，sinα＝cosα·tanα，cos2α＝cos2αsin2α＋cos2α＝1tan2α＋1等．(1)已知tanα＝2，求sin2α＋sinαcosα－2cos2α；(2)(2012～2013年金华中学月考)若cosα＋2sinα＝－5，则tanα＝()A.12B．2C．－12D．－2解析：(1)sin2α＋sinαcosα－2cos2α＝sin2α＋sinαcosα－2cos2αsin2α＋cos2α＝tan2α＋tanα－2tan2α＋1＝45.(2)法一：∵cosα＋2sinα＝－5，∴(cosα＋2sinα)2＝5，即cos2α＋4cosαsinα＋4sin2α＝5，即cos2α＋4cosαsinα＋4sin2αsin2α＋cos2α＝5，∴1＋4tanα＋4tan2αtan2α＋1＝5.解之得tanα＝2.法二：cosα＋2sinα＝－5，结合sin2α＋cos2α＝1得(5sinα＋2)2＝0，∴sinα＝－255，∴cosα＝－55，∴tanα＝2，故选B.答案：(1)45(2)B1.应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的正确判断．求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值．2．使用诱导公式要注意三角函数值在各个象限的符号，如果出现kπ±α的形式时，需要对k的值进行分类讨论，以确定三角函数值的符号．3．诱导公式的记忆：“奇变偶不变，符号看象限”意思是说角“kπ2±α，k∈Z”的三角函数值，当k为奇数时正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当视α为锐角时，原函数值的符号．(1)(2012年皖南八校联考)已知cos(π6＋α)＝33，求cos(5π6－α)的值；(2)(2012年宁波调研)已知πα2π，cos(α－7π)＝－35，求sin(3π＋α)·tan(α－72π)的值．【思路启迪】(1)将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π6－α的关系．(2)先化简已知，求出cosα的值，然后化简结论并代入求值．【解】(1)∵(π6＋α)＋(5π6－α)＝π，∴5π6－α＝π－(π6＋α)．∴cos(5π6－α)＝cos[π－(π6＋α)]＝－cos(π6＋α)＝－33，即cos(5π6－α)＝－33.(2)∵cos(α－7π)＝cos(7π－α)＝cos(π－α)＝－cosα＝－35，∴cosα＝35.∴sin(3π＋α)·tan(α－72π)＝sin(π＋α)·[－tan(72π－α)]＝sinα·tan(π2－α)＝sinα·sinπ2－αcosπ2－α＝sinα·cosαsinα＝cosα＝35.熟练运用诱导公式和基本关系式，并确定相应三角函数值的符号是解题成败的关键．另外，切化弦是常用的规律技巧．(1)求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°.(2)化简sinkπ－αcos[k－1π－α]sin[k＋1π＋α]coskπ＋α，k∈Z.解：(1)原式＝－sin1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝32×32＋12×12＋1＝2.(2)当k为偶数时，记k＝2n(n∈Z)，原式＝sin2nπ－αcos[2n－1π－α]sin[2n＋1π＋α]cos2nπ＋α＝sin－αcos－π－αsinπ＋αcosα＝－sinα－cosα－sinαcosα＝－1；当k为奇数时，记k＝2n＋1(n∈Z)，原式＝sin[2n＋1π－α]cos[2n＋1－1π－α]sin[2n＋1＋1π＋α]cos[2n＋1π＋α]＝sinπ－αcosαsinαcosπ＋α＝sinαcosαsinα－cosα＝－1.综上，原式＝－1.证明三角恒等式的原则是由繁到简，常用的方法有：(1)从一边开始证明等于另一边，即化简左边，使左边＝右边；(2)证明左、右等于同一个式子；(3)变更论证，即通过化除为乘、左右相减等转化成与原结论等价的式子．求证：sinθ(1＋tanθ)＋cosθ(1＋1tanθ)＝1sinθ＋1cosθ.【思路启迪】本题左边式子比较复杂，我们先从化简左边开始，同时注意到左边有弦、切而右边只有弦，所以要切化弦．【证明】左边＝sinθ(1＋sinθcosθ)＋cosθ(1＋cosθsinθ)＝sinθ＋sin2θcosθ＋cosθ＋cos2θsinθ＝(sinθ＋cos2θsinθ)＋(cosθ＋sin2θcosθ)＝sin2θ＋cos2θsinθ＋cos2θ＋sin2θcosθ＝1sinθ＋1cosθ＝右边．证明三角恒等式离不开三角函数的变换．在变换过程中，把正切函数化成正弦或余弦函数，减少函数种类，往往有利于发现等式两边的关系或使式子简化．要细心观察等式两边的差异，灵