2014高考系统复习数学(文)精品课件(人教A版) 5-3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

考纲要求考情分析1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.通过对近三年高考试题的分析可以看出，对本部分内容的考查，各种题型均可能出现，一般是基础题，难度不会太大，整个命题过程主要侧重以两角和与差的三角函数公式为基础，求三角函数的值或化简三角函数式．解答此类问题往往与两角和差的三角公式二倍角及同角的三角函数关系式有关，但这类题目考查的重心是两角和与差的三角函数公式，如2012年江西卷4、广东卷16等．预测：2013年高考仍将坚持对三角恒等变换在角的变换、角的范围方面进行考查，对于两角和差、二倍角公式将重点考查．难度为中低档题.1．两角和与差的三角函数公式sin(α±β)＝；cos(α±β)＝；tan(α±β)＝.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ∓sinαsinβtanα±tanβ1∓tanαtanβ其变形为：tanα＋tanβ＝；tanα－tanβ＝；tanαtanβ＝.tan(α＋β)(1－tanαtanβ)tan(α－β)(1＋tanαtanβ)1－tanα＋tanβtanα＋β问题探究1：两角和与差的正切公式对任意角都适用吗？若出现不适用的情况如何化简？提示：在T(α＋β)与T(α－β)中，α，β，α±β都不等于kπ＋π2(k∈Z)，即保证tanα，tanβ，tan(α＋β)都有意义；若α，β中有一角是kπ＋π2(k∈Z)，可利用诱导公式化简．2．二倍角公式sin2α＝；cos2α＝＝＝；tan2α＝.其公式变形为：sin2α＝；cos2α＝.2sinαcosαcos2α－sin2α2cos2α－11－2sin2α2tanα1－tan2α1－cos2α21＋cos2α2问题探究2：你能用tanα来表示sin2α，cos2α吗？提示：sin2α＝2sinαcosα＝2sinαcosαsin2α＋cos2α＝2tanαtan2α＋1；cos2α＝cos2α－sin2α＝cos2α－sin2αcos2α＋sin2α＝1－tan2α1＋tan2α.1．cos43°cos77°＋sin43°cos167°的值为()A.12B．－12C.13D．－13解析：原式＝cos43°cos(90°－13°)＋sin43°cos(180°－13°)＝cos43°sin13°－sin43°cos13°＝sin(13°－43°)＝－sin30°＝－12.答案：B2．(2012年重庆)sin47°－sin17°cos30°cos17°＝()A．－32B．－12C.12D.32解析：原式＝sin17°＋30°－sin17°cos30°cos17°＝sin17°cos30°＋cos17°sin30°－sin17°cos30°cos17°＝sin30°＝12.故选C.答案：C3．(2011年福建)若tanα＝3，则sin2αcos2α的值等于()A．2B．3C．4D．6解析：sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2tanα＝6.答案：D4．(2012年哈三中高三月考)已知△ABC的三个内角满足：sinA＝sinC·cosB，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形解析：∵sinA＝sinC·cosB∴sin(B＋C)＝sinC·cosB，∴sinBcosC＋cosBsinC＝sinC·cosB，sinBcosC＝0，∴cosC＝0，∴∠C＝90°，∴为直角三角形，故选B.答案：B5．(2012年四川)如图，正方形ABCD的边长为1，延长BA至E，使AE＝1，连接EC，ED，则sin∠CED＝()A.31010B.1010C.510D.515解析：因为四边形ABCD是正方形，且AE＝AD＝1，所以∠AED＝π4.在Rt△EBC中，EB＝2，BC＝1，所以sin∠BEC＝55，cos∠BEC＝255.sin∠CED＝sin(π4－∠BEC)＝22cos∠BEC－22sin∠BEC＝22(255－55)＝1010.答案：B6．已知tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝5，则tan2α等于________．解析：tan2α＝tan[(α＋β)＋(α－β)]＝tanα＋β＋tanα－β1－tanα＋β·tanα－β＝3＋51－3×5＝8－14＝－47.答案：－47应熟悉公式的逆用和变形应用，公式的正用是常见的，但逆用和变形应用则往往容易被忽视，公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力，只有熟悉了公式的逆用和变形应用后，才能真正掌握公式的应用．(1)(2012年大纲全国)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝()A．－53B．－59C.59D.53(2)(2012年江西)若sinα＋cosαsinα－cosα＝12，则tan2α＝()A．－34B.34C．－43D.43【解析】(1)∵sinα＋cosα＝33，且α为第二象限角，∴α∈(2kπ＋π2，2kπ＋3π4)(k∈Z)．∴2α∈(4kπ＋π，4kπ＋3π2)(k∈Z)．由(sinα＋cosα)2＝1＋sin2α＝13，∴sin2α＝－23，∴cos2α＝－1－－232＝－53.(2)∵sinα＋cosαsinα－cosα＝tanα＋1tanα－1＝12，∴tanα＝－3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝34，故选B.【答案】(1)A(2)B本例(1)中由sinα＋cosα0且α为第二象限角可知|sinα||cosα|，∴α∈(2kπ＋π2，2kπ＋32π)(k∈Z)，从而确定了2α所在象限．(2)中由已知条件可求tanα，从而利用二倍角公式求tan2α.(1)已知α∈(0，π2)，tanα＝12，求tan2α和sin(2α＋π3)的值．(2)tan25°＋tan35°＋3tan25°·tan35°＝________.解析：(1)tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×121－122＝43.∵α∈(0，π2)，2α∈(0，π)，tan2α＝430，∴2α∈(0，π2)，∴sin2α＝45，cos2α＝35，∴sin(2α＋π3)＝sin2α·cosπ3＋cos2α·sinπ3＝45×12＋35×32＝4＋3310.(2)原式＝tan(25°＋35°)(1－tan25°·tan35°)＋3tan25°·tan35°＝tan60°－tan60°·tan25°·tan35°＋3tan25°·tan35°＝3.答案：(1)434＋3310(2)31.解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等．(1)(2012年江苏)设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为________．(2)(2011年浙江)若0απ2，－π2β0，cos(π4＋α)＝13，cos(π4－β2)＝33，则cos(α＋β2)＝()A.33B．－33C.539D．－69【解析】(1)∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45，∴sin(α＋π6)＝35，∴sin[2(α＋π6)]＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2×35×45＝2425，且0α＋π6π4，故0απ12，∴2(α＋π6)＝2α＋π3∈(π3，π2)，∴cos[2(α＋π6)]＝725，∴sin(2α＋π12)＝sin[(2α＋π3)－π4]＝sin(2α＋π3)cosπ4－cos(2α＋π3)sinπ4＝sin[2(α＋π6)]cosπ4－cos[2(α＋π6)]sinπ4＝2425×22－725×22＝17502.(2)0απ2，－π2β0π4π4＋α34π，cos(π4＋α)＝13sin(π4＋α)＝223－π4β20,0－β2π4，π4π4－β2π2cos(π4－β2)＝33，sin(π4－β2)＝63∴cos(α＋β2)＝cos[(π4＋α)－(π4－β2)]＝cos(π4＋α)cos(π4－β2)＋sin(π4＋α)sin(π4－β2)＝13×33＋223×63＝39＋439＝593.【答案】(1)17502(2)C本例中充分展示了用已知角来表示未知角．在(1)中2α＋π6＝2(α＋π6)－π4.(2)中α＋β2＝(π4＋α)－(π4－β2)，挖掘出这层关系本题迎刃而解，否则若根据已知条件求单角α、β的三角函数值则不易求解．(1)(2011年辽宁)设sinπ4＋θ＝13，则sin2θ＝()A．－79B．－19C.19D.79(2)已知α，β∈3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sinβ－π4＝1213，则cosα＋π4＝________.解析：(1)cos2π4＋θ＝1－2sin2π4＋θ＝1－2×19＝79.cosπ2＋2θ＝79，∴－sin2θ＝79，sin2θ＝－79.(2)∵α、β∈3π4，π，∴32πα＋β2π，π2β－π434π，∴cos(α＋β)＝45，cosβ－π4＝－513，∴cosα＋π4＝cosα＋β－β－π4＝cos(α＋β)cosβ－π4＋sin(α＋β)sinβ－π4＝45×－513＋－35×1213＝－5665.答案：(1)A(2)－5665解决给角求值问题的关键是两种变换：一是角的变换，注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系，从而选择相应公式进行转化，把非特殊角的三角函数相约或相消，从而转化为特殊角的三角函数；二是结构变换，在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上，结合所求式子的特点合理地进行变形．给值求值问题：给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外某些函数式的值，以备应用．同时也要注意变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．已知α为锐角，且tanπ4＋α＝2.(1)求tanα的值；(2)求sin2αcosα－sinαcos2α的值．【解】(1)tanπ4＋α＝1＋tanα1－tanα，∴1＋tanα1－tanα＝2，即1＋tanα＝2－2tanα.∴tanα＝13.(2)sin2αcosα－sinαcos2α＝2sinαcos2α－sinαcos2α＝sinα2cos2α－1cos2α＝sinαcos2αcos2α＝sinα.∵tanα＝13，∴cosα＝3sinα，∵sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝110，又α为锐角，∴sinα＝1010.∴sin2αcosα－sinαcos2α＝1010.要将所有角化为单角求解．(2011年广东)已知函数f(x)＝2sin13x－π6，x∈R.(1)求f5π4的值；(2)设α，β∈[0，π2],f3α＋π2＝1013，f(3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解：(1)f5π4＝2sin13×5π4－π6＝2sin5π12－π6＝2sinπ4＝2；(2)∵f3α＋π2＝2sin133α＋π2－π6＝2sinα＝1013，∴sinα＝513，又α∈[0，π2]，