2014高考系统复习数学(文)精品课件(人教A版) 5-6 函数y=Asin(ωx φ)的图象及三角

考纲要求考情分析1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义，能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A、ω、φ对图象变化的影响．2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题.函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的变换以及根据图象确定A，ω，φ的问题是高考的热点，主要考查识图、用图能力，同时也考查三角变换问题．从题型来看，选择题、填空题主要考查“五点法作图”及图象变换的问题，如2012年浙江卷6、天津卷7，在解答题中考查了图象变换；解答题主要结合三角恒等变换，考查y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用，试题难度不大，属于中低档题，如2012年陕西卷17、湖南卷18等．预测：2013年高考小题仍以考查y＝Asin(ωx＋φ)的图象变换及根据图象确定A、ω、φ为主，解答题以三角变换为基础，研究其图象性质，化简的目标函数是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的形式.1．y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念振幅周期频率相位初相y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)，x∈[0，＋∞)AT＝.f＝1T＝ωx＋φφ2πωω2π2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期内的简图用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示.xωx＋φy＝Asin(ωx＋φ)0A0－A0－φω－φω＋π2ωπ－φω3π2ω－φω2π－φω0π2π3π22π问题探究1：用五点法作图找五个点时，如上表应首先确定哪一行的数据？提示：第二行，即先使ωx＋φ＝0，π2，π，3π2，2π，然后求出x的值．3．函数y＝sinx的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的步骤问题探究2：在图象变换的两种方法中，左右平移的单位长度一样吗？为什么？提示：不一样．因为左右平移和伸缩变换都是对自变量x而言的．法二中，由步骤2到步骤3变换时，左右平移变换必须是只针对x，求三角函数的解析式须注意φ的值φ是由函数图象的位置确定，但φ的值是不确定的，它有无数个，事实上，如果φ0是满足条件的一个φ值，那么2kπ＋φ0，k∈Z都是满足条件的φ值，故这类题目一般都会限制φ的取值范围，若没限制φ的取值范围，也能根据所给的图象去判断．适时关注题设条件中φ的取值范围或数形结合，避开此类问题的陷阱．1．(2013年山东滨州联考)要得到函数y＝3sin(2x－π4)的图象，可以将函数y＝3sin2x的图象()A．沿x轴向左平移π8个单位B．沿x向右平移π8个单位C．沿x轴向左平移π4个单位D．沿x向右平移π4个单位解析：由y＝3sin2x－π4得y＝3sin2x－π8只需将y＝3sin2x向右移π8个单位，选B.答案：B2．已知简谐运动f(x)＝2sinπ3x＋φ|φ|π2的图象经过点(0,1)，则该简谐运动的最小正周期T和初相φ分别为()A．T＝6，φ＝π6B．T＝6，φ＝π3C．T＝6π，φ＝π6D．T＝6π，φ＝π3解析：依题意，周期T＝2ππ3＝6.又其图象经过点(0,1)，∴1＝2sinπ3×0＋φ，即sinφ＝12，又|φ|π2，∴φ＝π6，故选A.答案：A3．(2012年浙江)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()解析：y＝cos2x＋1图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得y1＝cosx＋1，再向左平移1个单位长度得y2＝cos(x＋1)＋1，再向下平移1个单位长度得y3＝cos(x＋1)，故相应的图象为A.答案：A4．(2012年河北唐山一模)函数y＝sin3x的图象可以由函数y＝cos3x的图象()A．向右平移π6个单位得到B．向左平移π6个单位得到C．向右平移π3个单位得到D．向左平移π3个单位得到解析：因为y＝sin3x＝cosπ2－3x＝cos3x－π2＝cos3x－π6，所以只需将y＝cos3x的图象向右平移π6个单位得到y＝sin3x的图象，故选A.答案：A5．(2012年山东德州一模)已知函数y＝Asin(ωx＋φ)＋m的最大值为4，最小值为0.两个对称轴间最短距离为π2，直线x＝π6是其图象的一条对称轴，则符合条件的解析式为()A．y＝4sin2x＋π6B．y＝－2sin2x＋π6＋2C．y＝－2sinx＋π3D．y＝2sin2x＋π3＋2解析：由题意知T2＝π2，所以T＝π.则ω＝2，否定C.又x＝π6是其一条对称轴，因为2×π6＋π3＝2π3，故否定D.又函数的最大值为4，最小值为0，故选B.答案：B6．(2012年北京房山区一模)已知函数y＝sin(ωx＋φ)的图象如图所示，则ω＝________，φ＝________.解析：由函数图象可得T4＝7π12－π3，所以T＝π，则ω＝2.又由2×π3＋φ＝π，所以φ＝π3.答案：2π3利用五点作图法画三角函数图象的关键是准确找出五个关键点，在找五个关键点的过程中用到了“整体思想”，即把ωx＋φ看作一个整体．这样得到的函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象在一个周期内的“五点”横向间距必相等，均为T4，于是“五点”横坐标依次为x1＝－φω，x2＝x1＋T4，x3＝x2＋T4…这样可以快速地求出“五点”坐标．在进行三角函数图象的左右平移时应注意以下几点：一要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象；二要注意平移前后两个函数的名称一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数；三是由y＝Asinωx的图象得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象时，需平移的单位数应为|φω|而不是|φ|.已知函数f(x)＝3sin12x－π4(1)求此函数的振幅、周期和初相；(2)用五点法作出函数的图象；(3)说明函数f(x)的图象由y＝sinx的图象经过怎样的变换得到；(4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心．【解】(1)周期T＝2πω＝2π12＝4π，振幅A＝3，初相是－π4.(2)列表：xπ232π52π72π92π12x－π40π2π32π2πy＝3sin12x－π4030－30描点、连线，如图所示：(3)把y＝sinx图象上所有点向右平移π4个单位得到y＝sinx－π4的图象，再把y＝sinx－π4的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)得到y＝sinx2－π4的图象，然后把y＝sinx2－π4的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)即可得到f(x)＝3sinx2－π4的图象．(4)令12x－π4＝π2＋kπ(k∈Z)，得x＝2kπ＋32π(k∈Z)，此为对称轴方程．令12x－π4＝kπ(k∈Z)得x＝π2＋2kπ(k∈Z)．对称中心为2kπ＋π2，0(k∈Z)．(1)用“五点法”作图应抓住四条：①将原函数化为y＝Asin(ωx＋φ)(A0，ω0)或y＝Acos(ωx＋φ)(A0，ω0)的形式；②求出周期T＝2πω；③求出振幅A；④列出一个周期内的五个特殊点，当画出某指定区间上的图象时，应列出该区间内的特殊点．(2)图象变换法①平移变换．沿x轴平移，按“左加右减”法则；沿y轴平移，按“上加下减”法则．②伸缩变换．ⅰ.沿x轴伸缩时，横坐标x伸长(0ω1)或缩短(ω1)为原来的1ω倍(纵坐标y不变)；ⅱ.沿y轴伸缩时，纵坐标y伸长(A1)或缩短(0A1)为原来的A倍(横坐标x不变)．(1)已知函数y＝2sin2x＋π3，①求它的振幅、周期、初相；②用“五点法”作出它在一个周期内的图象．(2)(2012年浙江)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()解析：(1)①y＝2sin2x＋π3的振幅A＝2，周期T＝2π2＝π，初相φ＝π3.②令X＝2x＋π3，则y＝2sin2x＋π3＝2sinX.列表，并描点画出图象：x－π6π12π37π125π6X0π2π3π22πy＝sinX010－10y＝2sin2x＋π3020－20(2)把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cosx＋1的图象，然后把所得函数图象向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数y＝cos(x＋1)的图象，故选A.答案：(1)见解析(2)A确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b的解析式的步骤(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝M－m2，b＝M＋m2.(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝2πT.(3)求φ，常用方法有：①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一零点(－φω，0)作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝3π2；“第五点”为ωx＋φ＝2π.(2012年湖南)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(x∈R，ω0,0φπ2)的部分图象如图所示．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝f(x－π12)－f(x＋π12)的单调递增区间．【思路启迪】第(1)问，由已知图象求出函数的周期，利用周期公式求得ω的值，然后代入图中特殊点的坐标求A和φ的值；第(2)问，利用两角和与差的三角函数和辅助角公式将其化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再将ωx＋φ看做一个整体，利用y＝sinx的单调区间，通过解不等式求得结果．【解】(1)由题设图象，知周期T＝2(11π12－5π12)＝π，所以ω＝2πT＝2.因为点(5π12，0)在函数图象上，所以Asin(2×5π12＋φ)＝0，即sin(5π6＋φ)＝0.又因为0φπ2，所以5π65π6＋φ4π3，从而5π6＋φ＝π，即φ＝π6.又点(0,1)在函数图象上，所以Asinπ6＝1，即A＝2.故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)g(x)＝2sin[2(x－π12)＋π6]－2sin[2(x＋π12)＋π6]＝2sin2x－2sin(2x＋π3)＝2sin2x－2(12sin2x＋32cos2x)＝sin2x－3cos2x＝2sin(2x－π3)．由2kπ－π2≤2x－π3≤2kπ＋π2，k∈Z，得kπ－π12≤x≤kπ＋5π12，k∈Z.所以函数g(x)的单调递增区间是[kπ－π12，kπ＋5π12]，k∈Z.求三角函数的解析式的技巧求三角函数y＝Asin(ωx＋φ)＋h的解析式的关键是解决四个数值A，ω，φ，h，其求解技巧是：A和h由函数图象的最高点、最低点确定，一般由函数的图象或是已知给出的图象与纵轴交点坐标可得；ω是由三角函数的周期确定，先由图象求出函数的周期T的值，再利用公式ω＝2πT，求出ω的值；对于φ的求解，利用图象过特殊点，数形结合即可求得．本例就是一道标准的利用以上方法求解三角函数解析式的题目．(2012年陕西)函数f(x)＝Asin(ωx－π6)＋1(A0，ω0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为π2.(1)求函数f(x)的解析式；(2)设α∈(0，π2)，f(α2)＝2，求α的值．解：(1)∵函数f(x)的最大值为3，∴A＋1＝3，即A＝2.∵函数图像的相邻两条对称轴之间的距离为π2，∴最小正周期T＝π.∴ω＝2.故函数f(x)的解析式为y＝2sin(2x－π6)＋1.(2)∵f(α2)＝2sin(α－π6)＋1＝2，即sin(α－π6