40节点电压法经典例题

知识的回顾支路电流法（以支路电流为变量求解方程）n个节点，b条支路的电路图.（1）假设各支路电流的参考方向和网孔的巡回方向。（2）对（n-1）个节点列KCL方程。对（b-n+1）个网孔列写以支路电流为变量表示的KVL方程，并加入元件VCR约束条件。（3）求解b个支路方程，从而求解各支路电流。缺点：这种方法比较解方程比较繁琐。网孔分析法：(1)选定一组网孔，标明网孔电流及其参考方向；(2)以网孔电流的方向为网孔的巡行方向，列写实质是KVL方程；（自电阻，互电阻，电压源）(3)求解上述方程，得各网孔电流；(4)原电路非公共支路的电流就等于网孔电流。原电路公共支路的电流等于网孔电流的代数和。习题类型1、网孔公共支路中含有电流源（增加一组电压变量）2、网孔非公共支路中含有电流源（少列一组网孔电流方程）3、网孔中含有受控电压源，受控电流源（当独立电源处理，控制量用网孔电流表示）知识回顾（引入以网孔电流为独立变量，列写KVL方程）（b-n+1）个网孔方程3.4节点电压法（教材p78）以独立的节点电压为未知量的节点方程。当从方程求得节点电压后，再回到原图利用欧姆定律就可以求出各支路电流。这种分析方法就是所谓的节点分析法，或节点电压法。注意：节点电压法是以基尔霍夫电流定律为基础的。节点电压法选取某一个节点为参考节点(电位为0)，则其余的每一个节点到参考节点的压降称为该节点的节点电压。节点电压：adaUVbdbUVcdcUViSR2R5R4+-USR1R3VaVcVbdabc节点电压的参考极性：是以参考节点为负，其余独立节点为正。推导节点电压方程步骤：（1）标出所有支路电流的参考方向（4）列出n-1个KCL方程（2）选择参考点，标出节点电压（5）将各支路电流代入，得结点方程VaVcVbiSR2R5R4+-USR1R3i1i3i4i5i2（3）用节点电压表示各支路电流i1=(Va-Vb)/R1=(Va-Vb)G1i2=(Vb-0)/R2=VbG2i3=(Vb-Vc)/R3=(Vb-Vc)G3i4=(Vc-0)/R4=VcG4i5=(Va-Vc-US)/R5=(Va-Vc-US)G5（6）解方程组节点电压法的推导is=i1+i5----（1）VaVcVbiSR2R5R4+-USR1R3i1i3i4i5i2i1=i2+i3----（2）i3=i4-i5-----（3）ScUGiVGVGVG5S5b1a51)G(0)GG(3321a1cbVGVGVGScbaUGVGGGVGVG554335)(-----（1）-----（2）-----（3）自电导自电导自电导自电导互电导推导节点电压法i1=(Va-Vb)/R1=(Va-Vb)G1=VbG2i3=(Vb-Vc)/R3=(Vb-Vc)G3i4=(Vc-0)/R4=VcG4i5=(Va-Vc-US)/R5=(Va-Vc-US)G5i5=(Va-Vc-US)/R5=(Va-Vc-US)G5ScUGiVGVGVG5S5b1a51)G(0)GG(3321a1cbVGVGVG0)GG(3321a1cbVGVGVG其中Gjk:互电导(为负），j≠kGkk:自电导(为正)，k=1,2,…m一般情况，对于具有m个节点的电路，有1111212111GUiVGVGVGssmm2222222121GUiVGVGVGssmmmsmsmmmmmmGUiVGVGVG2211ski:k=1,2,…m，流进结点k的全部电流源电流的代数和kskGU:k=1,2,…m，与结点k相联的电压源串联电阻支路转换成等效电流源后流入结点k的源电流的代数和节点电压法方程式从上式可以看出节点方程有以下的规律性：（1）G11=G1＋G5，是连于节点1的所有电导之和。（2）G22=G1＋G2＋G3，是连于节点2的所有电导之和。（3）G33=G3＋G4＋G5，是连于节点3的所有电导之和。（4）G11、G22和G33称为自电导，恒取正。其余元素是独立节点间的公共电导，称互电导。只要两节点间（除参考点外）有公共电导，则互电导恒取负。方程右端iS1、iS2和iS3分别为流入节点1、2和3的电流源代数和，流入取正，流出取负。VaVcVbiSR2R5R4+-USR1R3i1i3i4i5i2ScbaUGVGGGVGVG554335)(ScUGiVGVGVG5S5b1a51)G(0)GG(3321a1cbVGVGVG节点分析法的步骤：(1)首先将电路中所有电压型电源转换为电流型电源。（不转换也可以，注意电流源的方向）(2)在电路中选择一合适的参考点，以其余独立节点电压为待求量（有的可能已知，如支路只有纯理想电压源的情况）。(3)列出所有未知节点电压的节点方程，其中自电导恒为正，互电导恒为负。(4)联立求解节点电压，继而求出其余量。用节点法求各支路电流。（类型1：支路含有电压源与电阻串联）例1.(1)列节点电压方程：VA=21.8V，VB=-21.82VI1=(120-VA)/20k=4.91mAI2=(VA-VB)/10k=4.36mAI3=VB-U=(VB+240)/40k=5.45mAI4=VB/40=0.546mAI5=VB/20=-1.09mA(0.05+0.025+0.1)VA-0.1VB=120/20-0.1VA+(0.1+0.05+0.025)VB=-240/40(2)解方程，得：(3)各支路电流：解：+-20k10k40k20k40k+120V-240VVAVBI4I2I1I3I5节点电压法的习题参考节点+-U用节点法求图所示的电流i，已知R1=3Ω，R2=R3=2Ω，R4=4Ω，us=2V，is=1A。例2.bs12323211111()+SauVViRRRRRR（）解：ab23234211111++()SuVVRRRRRR（）ab3-=VViR节点电压法的习题（类型1：支路含有电压源与电阻串联）类型2：仅含纯理想电压源支路的节点电压法：（1）对只含一条纯理想电压源支路的电路，可取纯理想电压源支路的一端为参考结点。VaVbVc则Vb=Us4为已知。只需对节点1、3列节点电压方程1165151)111(11RUVRRRVRVRScba3322111232111)111(RURURUVRVRVRRRSSScbaR6-US1++US3-R3+US4-R5-US2+R2R1.节点电压法的习题类型3：对含两条或两条以上纯理想电压源支路，但它们汇集于一结点的电路，可取该汇集点为参考结点。VaVbVc则Va=Us3,Vb=Us4为已知。故只需对节点3列结点电压方程1165151)111(11RUVRRRVRVRScbaR6-US1++US3-+US4-R5-US2+R2R1.节点电压法的习题类型4：如果电路中含有一个以上的纯理想电压源支路，且它们不汇集于同一点（考虑增加电流变量）VaVbVcXcbSSXbaIVRRVRRURUIVRVRR)11(11)11(6553322232则Vb=US4成为已知值,需对节点1、3列写方程。再补充约束方程：Vc-Va=Us1如图选择参考结点，IXR6-US1++US3-R3+US4-R5-US2+R2.节点电压法的习题（同类型教材P80例3-5）电路分析中国计量学院吴霞R1R2R3R4R5R6+-u1u2u3usis列出如下节点方程（如图）解：电路中含有与is（或受控电流源）串联的电阻R2，节点电压法的习题（类型5：支路电流源与电阻串联）R2所在支路电流唯一由电流源is确定，对外电路而言，与电流源串联的电阻R2无关，不起作用，应该去掉。所以其电导1/R2不应出现在节点方程中，则节点电压方程如下所示：s131441111+-=suuuiRRRR23s565111+-=iuuRRR15345345111110uuuRRRRRR1R2R3R4R5R6+-u1u2u3usis续上题电路分析中国计量学院吴霞SAIRURRU1121)11(小结：对于含电流源支路的电路，列节点电位方程时应按以下规则：方程左边：按原方法编写，但不考虑电流源支路的电阻。方程右边：写上电流源的电流。其符号为：电流朝向未知节点时取正号，反之取负号。R1I2I1U1IsR2ARS+_例2应用节点电压法求U和I。90V＋＋＋－－－2121100V20A110V＋－UI解：3121100VV2100110210VV2(90)/1120IVA解得：节点电压法的习题（类型5）202121)2121(123VVV195203VU1753V1902IV求得1203UV(a)(b)图3-20例列如下图(a)所示的节点方程。图中u是b、d两端的电压。节点电压法的习题（类型6：含受控电流源支路）d解(1)先把受控源当作独立源看列方程；(2)用节点电压表示控制量。弥尔曼定理----适用于只含有两个结点的电路RIRUVSSa1例42144111113RRRSRURUaIVSSR1+US1R2IS3R3R4US4+Va·节点电压法设：0BU节点电压法应用举例（2）电路中含电流源的情况则：BSSRRRIREU1112111A?2111A11RRIREUSR1I2I1E1IsR2ARS+_试列写下图含理想电压源电路的节点电压方程。方法1:增设一个理想电压源支路电流变量I，再增加一个补充方程：方法2：选择合适的参考点G3G1G4G5G2+_Us231(G1+G2)U1-G1U2=-I-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G4U3=0-G4U2+(G4+G5)U3=I补充方程：U1-U3=USU1=US-G1U1+(G1+G3+G4)U2-G3U3=0-G2U1-G3U2+(G2+G3+G5)U3=0G3G1G4G5G2+_Us231I例3.节点电压法应用举例（3）节点电压法小结1、任意选定一个参考节点，确定电路中其余（n-1）个独立节点。2、对各独立节点列写节点电压方程（自导为正，互导为负；方程右边是流入节点的电流源为正，流出为负；对电压源与电阻串联组合，应将其等效变换为电流源与电阻并联的组合）3、如果电路存在无电阻串联的电压源或受控电压源，如何处理。4、如果电路存在与电流源或受控电流源串联的电阻，则该电阻不起作用，在列写节点方程时，该电阻不应写在方程中。5、列方程后，求出节点电压，依照支路电路与节点关系，求出各支路电流。网孔分析法与节点分析法的比较常用网孔分析法与节点分析法来分析复杂电路，这些方法的优点是联立求解的方程数目少。当电路只含有独立电压源而没有独立电流源时，用网孔分析法容易。当电路只含有独立电流源时而没有电压源时，用节点分析法更容易些。网孔分析法只适用平面结构电路。节点分析法适用连通电路（都是电流源用节点分析法好）电路分析中国计量学院吴霞R1+-usisR2R3ab（a）例1.确定较好的方法来求解图示电路。如果求解的是图(a)所示电路中的电压。电路（ａ）更适合用结点分析法。因为独立电源确定了结点ａ的电压，我们只需要写出结点ｂ的KCL方程。sabiVRVRR2321)11(sauV电路分析中国计量学院吴霞例2.确定较好的方法来求解图示电路。如果求解的是图(ｂ)所示电路中的流过电阻中的电流。（ｂ）R1+-usisR2R3电路（ｂ）更适合用网孔分析法。因为独立电流源确定了右边的网孔电流，我们只需要写出左边的网孔的KVL方程。i1i2suiRiRR22121)(sii2解得i=i1+i2i2ＡR2R1R3（ｃ）5Ａ3Ａi例3.确定较好的方法来求解图示电流i电路。电路（c）需要写两个结点方程。该电路有四个网孔，但是有三个网孔电流可以由三个电