为线性插值基函数

1第2章插值法22.1引言设函数在区间上有定义，且已知在点)(xfy],[ba上的值，bxxxan10nyyy,,,10函数，)(xP),,,1,0()(niyxPii（1.1）成立，就称为的插值函数，点称为插)(xP)(xfnxxx,,,10值节点，包含节点的区间称为插值区间，求插值函数],[ba若存在一简单使)(xP的方法称为插值法.3nnxaxaaxP10)(（1.2）若是次数不超过的代数多项式，)(xPn其中为实数，就称为插值多项式，ia)(xP本章只讨论多项式插值与分段插值.若为分段的多项式，就称为分段插值.)(xP若为三角多项式，就称为三角插值.)(xP即相应的插值法称为多项式插值.4从几何上看，插值法就是就曲线，使其通过给定的个点，并用它近似已知曲线.)(xPy1nniyxii,,1,0),,()(xfy图2-1见图2-1.5本章主要研究如何求出插值多项式，分段插值函数，样条插值函数；讨论插值多项式的存在惟一性、收敛性及误差估计等.)(xP62.2.1线性插值与抛物插值对给定的插值点，可以用多种不同的方法求得形如(1.2)的插值多项式.先讨论的简单情形.1n问题：给定区间及端点函数值，],[1kkxx)(),(11kkkkxfyxfy要求线性插值多项式，)(1xL.)(,)(1111kkkkyxLyxL2.2拉格朗日插值使它满足7其几何意义就是通过两点的直线.),(),,(11kkkkyxyx图2-2如图2-2.8由的几何意义可得到表达式)(1xL)()(111kkkkkkxxxxyyyxL（点斜式），11111)(kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL（两点式），（2.1）由两点式看出，是由两个线性函数)(1xL,)(11kkkkxxxxxl,)(11kkkkxxxxxl（2.2）的线性组合得到，其系数分别为及，即ky1ky)()()(111xlyxlyxLkkkk（2.3）9显然，及也是线性插值多项式，在节点及)(xlk)(1xlkkx1kx称及为线性插值基函数，)(xlk)(1xlk,1)(kkxl;0)(1kkxl,0)(1kkxl,1)(11kkxl上满足条件图形见图2-3.10图2-311下面讨论的情形.2n假定插值节点为，，，要求二次插值多项式1kxkx1kx),(2xL)1,,1()(2kkkjyxLjj几何上是通过三点的抛物线.)(2xL),(),,(),,(1111kkkkkkyxyxyx可以用基函数的方法求的表达式，此时基函数)(2xL);1,(,0)(,1)(111kkjxlxljkkk);1,1(,0)(,1)(kkjxlxljkkk（2.4）).,1(,0)(,1)(111kkjxlxljkkk使它满足),(1xlk),(xlk)(1xlk是二次函数，且在节点上满足条件12接下来讨论满足（2.4）的插值基函数的求法，以求为例，)(1xlk由插值条件，它应有两个零点及，kx1kx),)(()(11kkkxxxxAxl可由插值条件定出1)(11kkxl其中为待定系数，A))((1111kkkkxxxxA于是.))(())(()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl可表示为13同理.))(())(()(1111kkkkkkkxxxxxxxxxl.))(())(()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl二次插值基函数，，在区间上的图形见图2-4.)(1xlk)(xlk)(1xlk],[11kkxx14图2-415利用，，，)(1xlk)(xlk)(1xlk)()()()(11112xlyxlyxlyxLkkkkkk（2.5）显然，将,，代入(2.5),)(1xlk)(xlk)(1xlk))(())(()(111112kkkkkkkxxxxxxxxyxL))(())((1111kkkkkkkxxxxxxxxy.))(())((11111kkkkkkkxxxxxxxxy立即得到二次插值多项式).1,,1(,)(2kkkjyxLjj它满足条件得162.2.2拉格朗日插值多项式将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过个节点的次插值多项式.1nnxxx10n)(xLn).,,1,0()(njyxLjjn（2.6）根据插值的定义应满足)(xLn先定义次插值基函数.n为构造，)(xLn17定义1若次多项式在个节点n),,1,0()(njxLj1n),,1,0,(.,0;,1)(nkjjkjkxlkj（2.7）就称这个次多项式为节点1nn)(,),(),(10xlxlxln上的次插值基函数.nxxx,,,10nnxxx10上满足条件18显然它满足条件（2.7）.于是，满足条件（2.6）的插值多项式可表示为)(xLn.)()(0nkkknxlyxL（2.9）)())(()()())(()()(110110nkkkkkknkkkxxxxxxxxxxxxxxxxxl).,,1,0(nk（2.8）与前面的推导类似，次插值基函数为n19由的定义，知)(xlk).,,1,0()()(0njyxlyxLjnkjkkjn形如（2.9）的插值多项式称为拉格朗日插值多项式，)(xLn而(2.3)与(2.5)是和的特殊情形.1n2n容易求得),())(()()(1101nkkkkkkknxxxxxxxxx),())(()(101nnxxxxxxx（2.10）若引入记号20于是公式（2.9）可改写成.)()()()(011nkknknknxxxxyxL（2.11）注意:次插值多项式通常是次数为的多项式，n)(xLnn特殊情况下次数可能小于.n关于插值多项式存在唯一性有以下定理.21它可用来检验函数组的正确性.},,1,0),({nkxlk故只能.)()(xLxPn有个零点.1nnxxx,,,10nnHxPxL)()(假定还有使成立.nHxP)(nixfxPii,,1,0),()(于是有对成立，0)()(iinxPxLni,,1,0在次数不超过的多项式集合中，满足条件(2.6)的插值多项式是存在唯一的.nHnnnHxL)(公式(2.11)所表示的已证明了插值多项式的存在性，)(xLn这与次多项式只有个零点的代数基本定理矛盾，nn定理1证明下面用反证法证明唯一性.它表明多项式22若取，则0m.1)(0nkkxl（2.13）根据存在唯一性定理，.,,1,0.)(0nmxxlxnkmkmk（2.12）可得nmxxfm,,1,0,)(若令232.2.3插值余项与误差估计若在上用近似，],[ba)(xLn)(xf),()()(xLxfxRnn设在上连续，在内)()(xfn],[ba)()1(xfn),(ba存在，节点是满足条件(2.6)的插值多项式，)(,10xLbxxxann则对任何，插值余项],[bax)()!1()()()()(11(xnfxLxfxRnnnn（2.14）这里且依赖于，是（2.10）所定义的.),(bax)(1xn则其截断误差为也称为插值多项式的余项.定理224由给定条件知在节点上为零，即，)(xRn),,1,0(nkxk),,1,0(0)(nkxRkn其中是与有关的待定函数.)(xKx)()()())()(()(110xxKxxxxxxxKxRnnn（2.15）现把看成上的一个固定点，作函数x],[ba),())()(()()()(10nnxtxtxtxKtLtft根据插值条件及余项定义，可知在点及)(tnxxx,,,10处均为零，故在上有个零点，)(t],[ba2nx证明于是25根据罗尔定理，在的两个零点间至少有一个零点，)(t)(t故在内至少有个零点.)(t],[ba1n对再应用罗尔定理，可知在内至少有个零点.)(t)(t],[ban依此类推，在内至少有一个零点，记为，)()1(tn),(ba),(ba,0)()!1()()()1()1(xKnfnn使26于是将它代入（2.15），就得到余项表达式（2.14）.余项表达式只有在的高阶导数存在时才能应用.)(xf但在内的具体位置通常不可能给出，),(ba如果可以求出那么插值多项式逼近的截断误差限是,)(max1)1(nnbxaMxf)(xLn)(xf.)()!1()(11xnMxRnnn（2.16）),,(,)!1()()()1(banfxKnx且依赖于27当时，线性插值余项为1n),)()((21)()(21)(1021xxxxfxfxR],[10xx（2.17）当时，抛物插值余项为2n),)()()((61)(2102xxxxxxfxR],[20xx（2.18）28由题意,取,314567.0,32.000yx.352274.0,36.022yx用线性插值计算，的值并估计截断误差.,333487.034.0sin,314567.032.0sin,352274.036.0sin,333487.0,34.011yx例1已知3367.0sin用线性插值及抛物插值计算解,34.0,32.010xx取由公式（2.1）29)3367.0(3367.0sin1L0167.002.001892.0314567.0)3367.0(00101xxxyyy.330365.030由（2.17）,其截断误差,))((2)(1021xxxxMxR其中)(max102xfMxxx于是)3367.0(3367.0sin)3367.0(11LR0033.00167.03335.021xxxxsinmax10,3335.0sin1x.1092.0531用抛物插值计算，由公式（2.5）得))(())(())(())((3367.0sin21012012010210xxxxxxxxyxxxxxxxxy))(())((1202102xxxxxxxxy)3367.0(2L333487.00008.0107689.0314567.040008.0105511.0352274.00004.01089.344330374.032由（2.18）,截断误差限,))()((6)(21032xxxxxxMxR其中)(max203xfMxxx于是这个结果与6位有效数字的正弦函数表完全一样，0cosx,828.0这说明查表时用二次插值精度已相当高了.33)3367.0(3367.0sin)3367.0(22LR0233.0033.00167.0828.061.10178.06342.3均差与牛顿插值公式2.3.1均差及其性质利用插值基函数很容易得到拉格朗日插值多项式，公式结构紧凑，在理论分析中甚为方便，但当插值节点增减时全部插值基函数均要随之变化，整个公式也将发生变化.),,1,0)((nkxlk35))(()()(102010xxxxaxxaaxPn)()(10nnxxxxa（3.1）其中为待定系数，naaa,,10),,1,0