【创新方案】2015高考数学一轮复习(知识回扣+热点突破+能力提升)导数的应用一 理 北师大版

-1-第十一节导数的应用(一)【考纲下载】1．了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次)．2．了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次)．1．函数的单调性与导数2．函数的极值(1)极大值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都小于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．(2)极小值：在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都大于x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．(3)极值：极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点．3．函数的最值与导数(1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件：一般地，如果在区间[a，b]上，函数y＝f(x)的图像是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值．(2)求函数y＝f(x)在[a，b]上的最大值与最小值的步骤为①求函数y＝f(x)在(a，b)内的极值；②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．1．若函数f(x)在(a，b)内单调递增，那么一定有f′(x)0吗？f′(x)0是否是f(x)-2-在(a，b)内单调递增的充要条件？提示：函数f(x)在(a，b)内单调递增，则f′(x)≥0，f′(x)0是f(x)在(a，b)内单调递增的充分不必要条件．2．导数值为0的点一定是函数的极值点吗？“导数为0”是函数在该点取得极值的什么条件？提示：不一定．可导函数的极值点导数为零，但导数为零的点未必是极值点；如函数f(x)＝x3，在x＝0处，有f′(0)＝0，但x＝0不是函数f(x)＝x3的极值点；其为函数在该点取得极值的必要而不充分条件．3．函数的极值和函数的最值有什么联系和区别？提示：极值是局部概念，指某一点附近函数值的比较，因此，函数的极大(小)值，可以比极小(大)值小(大)；最值是整体概念，最大、最小值是指闭区间[a，b]上所有函数值的比较．因而在一般情况下，两者是有区别的，极大(小)值不一定是最大(小)值，最大(小)值也不一定是极大(小)值，但如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最小值．1．如图所示是函数f(x)的导函数f′(x)的图象，则下列判断中正确的是()A．函数f(x)在区间(－3,0)上是减函数B．函数f(x)在区间(－3,2)上是减函数C．函数f(x)在区间(0,2)上是减函数D．函数f(x)在区间(－3,2)上是单调函数解析：选A当x∈(－3,0)时，f′(x)0，则f(x)在(－3,0)上是减函数．其他判断均不正确．2．函数f(x)＝ex－x的单调递增区间是()A．(－∞，1]B．[1，＋∞)C．(－∞，0]D．(0，＋∞)解析：选D∵f(x)＝ex－x，∴f′(x)＝ex－1，由f′(x)0，得ex－10，即x0.3．设函数f(x)＝2x＋lnx，则()A．x＝12为f(x)的极大值点-3-B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点解析：选Df(x)＝2x＋lnx，f′(x)＝－2x2＋1x＝x－2x2，当x2时，f′(x)0，此时f(x)为增函数；当x2时，f′(x)0，此时f(x)为减函数，据此知x＝2为f(x)的极小值点．4．已知f(x)＝x3－ax在[1，＋∞)上是增函数，则a的最大值是________．解析：f′(x)＝3x2－a≥0，即a≤3x2，又∵x∈[1，＋∞)，∴a≤3，即a的最大值是3.答案：35．函数f(x)＝x33＋x2－3x－4在[0,2]上的最小值是________．解析：f′(x)＝x2＋2x－3，令f′(x)＝0得x＝1(x＝－3舍去)，又f(0)＝－4，f(1)＝－173，f(2)＝－103，故f(x)在[0,2]上的最小值是f(1)＝－173.答案：－173考点一利用导数研究函数的单调性[例1](2013·重庆高考改编)设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．(1)确定a的值；(2)求函数f(x)的单调区间．[自主解答](1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，故f′(x)＝2a(x－5)＋6x.令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－16a＝(6－8a)(x－1)，由点(0,6)在切线上可得6－16a＝8a－6，故a＝12.(2)由(1)知，f(x)＝12(x－5)2＋6lnx(x0)，f′(x)＝x－5＋6x＝x－x－x.令f′(x)＝0，解得x1＝2，x2＝3.当0x2或x3时，f′(x)0，故f(x)在(0,2)，(3，＋∞)上为增函数；当2x3时，f′(x)0，故f(x)在(2,3)上为减函数．故函数f(x)的单调递增区间为(0,2)和(3，＋∞)，单调递减区间为(2,3)．-4-【互动探究】若函数f(x)＝2x－kx＋k3在(1，＋∞)上是增函数，求k的取值范围．解：由题意知f′(x)＝2＋kx2≥0在(1，＋∞)上恒成立，即k≥－2x2在(1，＋∞)上恒成立，所以k≥(－2x2)max，又y＝－2x2在(1，＋∞)上单调递减，所以(－2x2)max＝－2，所以k≥－2，即k的取值范围是[－2，＋∞)．【方法规律】利用导数研究函数的单调性应注意三点(1)在区间内f′(x)0(f′(x)0)是函数f(x)在此区间上为增(减)函数的充分不必要条件．(2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是：∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)，且f′(x)在(a，b)的任何子区间内都不恒为零．(3)由函数f(x)在(a，b)上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立问题，要注意“＝”是否可以取到．已知函数f(x)＝3xa－2x2＋lnx，其中a为常数．(1)若a＝1，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，求a的取值范围．解：(1)若a＝1，则f(x)＝3x－2x2＋lnx的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－4x＋3＝－4x2＋3x＋1x＝－x＋x－x(x0)．当x∈(0,1)，f′(x)0时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递增．当x∈(1，＋∞)，f′(x)0时，函数f(x)＝3x－2x2＋lnx单调递减．故函数f(x)的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)．(2)f′(x)＝3a－4x＋1x，若函数f(x)在区间[1,2]上为单调函数，即在[1,2]上，f′(x)＝3a－4x＋1x≥0或f′(x)＝3a－4x＋1x≤0，即3a－4x＋1x≥0或3a－4x＋1x≤0在[1,2]上恒成立．即3a≥4x－1x或3a≤4x－1x.令h(x)＝4x－1x，因为函数h(x)在[1,2]上单调递增，所以3a≥h(2)或3a≤h(1)，即3a≥152或3a≤3，解得a0或0a≤25或a≥1.-5-高频考点考点二利用导数研究函数的极值问题1．函数的极值是每年高考的必考内容，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度适中，为中高档题．2．高考对函数极值的考查主要有以下几个命题角度：(1)知图判断函数极值的情况；(2)已知函数求极值；(3)已知极值求参数．[例2](1)(2012·重庆高考)设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2)D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)(2)(2014·鹰潭模拟)若a0，b0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，则ab的最大值等于()A．2B．3C．6D．9(3)(2013·福建高考)已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)．①当a＝2时，求曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程；②求函数f(x)的极值．[自主解答](1)①当x－2时，1－x0.∵(1－x)f′(x)0，∴f′(x)0，即f(x)在(－∞，－2)上是增函数．②当－2x1时，1－x0.∵(1－x)f′(x)0，∴f′(x)0，即f(x)在(－2,1)上是减函数．③当1x2时，1－x0.∵(1－x)f′(x)0，∴f′(x)0，即f(x)在(1,2)上是减函数．④当x2时，1－x0.∵(1－x)f′(x)0，∴f′(x)0，即f(x)在(2，＋∞)上是增函数．综上：f(－2)为极大值，f(2)为极小值．(2)∵f′(x)＝12x2－2ax－2b，f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0，即a-6-＋b＝6，又a0，b0，∴a＋b≥2ab，∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立，∴ab的最大值为9.(3)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1－ax.①当a＝2时，f(x)＝x－2lnx，f′(x)＝1－2x(x0)，因而f(1)＝1，f′(1)＝－1，所以曲线y＝f(x)在点A(1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.②由f′(x)＝1－ax＝x－ax，x0知：当a≤0时，f′(x)0，函数f(x)为(0，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；当a0时，由f′(x)＝0，解得x＝a.又当x∈(0，a)时，f′(x)0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)0，从而函数f(x)在x＝a处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－alna，无极大值．综上，当a≤0时，函数f(x)无极值；当a0时，函数f(x)在x＝a处取得极小值a－alna，无极大值．[答案](1)D(2)D函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况．先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号．(2)已知函数求极值．求f′(x)―→求方程f′(x)＝0的根―→列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根的附近两侧的符号―→下结论．(3)已知极值求参数．若函数f(x)在点(x0，y0)处取得极值，则f′(x0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反．1．(2013·浙江高考)已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值解析：选C当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当0x1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)0，当x1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)0,1不会是极值点．当k＝2时，-7-f(x)＝(ex－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当0x1，x1时，f(x)0，由极值的概念，知选C.2．已知函数f(x)＝ax－1－lnx(a∈R)．(1)讨论函数f(x)在定义域内的极值点的个数；(2)若函数f(x)在x＝1处取得极值，且对任意的x∈(0，＋∞)，f(x)≥bx－2恒成立，求实数b的取值范围．解：(1)f′(x)＝a－1x＝ax－1x，x0，①当a≤0时，f′(x)0在(0，＋∞)上恒成立，∴函数f(x)在(0，＋∞)单调递减，∴f(x)在(0，＋∞)上