2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义

2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义一般地，实数λ与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：(1)|λa|=|λ||a|(2)当λ0时,的方向与方向相同；当λ0时,的方向与方向相反；特别地，当λ=0或a=0时,λa=0复习旧知：数乘定义aaaaaa设为任意向量，λ,μ为任意实数，则有：①λ(μ)=(λμ)②(λ+μ)=λ+μ③λ()=λ+λ运算律,abaaaaaabab向量的夹角OABOABab0,当OABbaab记作已知两个非零向量和，作，，则叫做向量和的夹角．OAaOBbAOB)1800(abababab与同向OABab180,当ab与反向ab与垂直90,当,ab记作问题θsF为此，我们引入向量“数量积”的概念。功是一个标量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成是这两个向量的一种运算的结果呢？一个物体在力F的作用下产生的位移，那么力F所做的功应当怎样计算？其中θ是F与s的夹角.W=|F||s|cosθS问题：如果我们将公式中的力与位移类比推广到两个一般向量，其结果又该如何表述？两个向量的大小及其夹角余弦的乘积。功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；..cosWFS.ababcos平面向量的数量积的定义规定：零向量与任意向量的数量积为0，即00a（1）两向量的数量积是一个数量，而不是向量，符号由夹角决定.（3）在运用数量积公式解题时，一定要注意两向量夹角的范围是[0°，180°]．说明：已知非零向量与，我们把数量叫作与的数量积（或内积），记作，即规定||||cosabababab||||cosabab（2）a·b中间的“·”在向量的运算中不能省略，也不能写成a×b，a×b表示向量的另一种运算（外积）．1)0abab222,||||,||||ababababababaaaaa）当同向时；当反向时；特别的或3||||||abab）4||||ababab）co求两向量夹s=为，角方法：的夹角ab设,都是非零向量,则实数同向量积的线性运算的结果是向量两向量的数量积是一个实数，是一个数量特别提示：||||cosabab.ab：的乘积什么情况为正，思考为零，为负？例1：已知|a|=5，|b|=4，求a·b①a与b的夹角θ=120°②ａ∥ｂ③ａ⊥ｂ解析：（1）-10c||os||提示：aabb(2)考虑同向还是反向(3):0,,000ABCABaACbbabABCb已知中，当a或时，试判断的形状变式训。练当、a呢？平面向量数量积的几何意义|b|cosθ叫向量b在a方向上的投影．OABab1B1cBBBOABOBo=bsOAaOBb11作，，过点作垂直于，垂足为，则说明：（2）投影也是一个数量，不是向量。OABab1BBOAab1BOABab)(1Bθ为锐角时，|b|cosθ＞0θ为钝角时，|b|cosθ＜0θ为直角时，|b|cosθ=0当=0时投影为|b|当=180时投影为-|b|.数量积a·b等于a的模与b在a方向上的投影︱b︱cosθ的乘积，或等于b的模与a在b方向上的投影︱a︱cosθ的乘积.ba在的投影呢？abba()()()ababab()abcacbc⑴交换律：（3）对数乘的结合律：（2）分配律：abc已知向量、、和实数，则数量积的运算律想一想：∴向量数量积不满足结合律.向量的数量积满足结合律吗？()abcc表示一个与共分析线的向量，()abca而表示一个与共线的向量ca但与不一定共线，()()abcabc()()abcabc即：成立吗？向量运算常用公式222(1)()2abaabb22(2)()()ababab222||6,||4,b60,,(2)(3),(),||abaabababababab已知与的夹角为，求，例3：||3||4()abab、已知，，且例4与不共线，当且仅当kakbakb为何值时，向量与互相垂直？2222().()00916034akbakbakbkk分析：练习：已知a、b都是非零向量，且a+3b与7a5b垂直，a4b与7a2b垂直，求a与b的夹角2220(1)73080(2)b=2(3)32aaaabbabaababab222227+16b-15b分析：已知得由（1）-（2）得将代入（1）得22.1cos.2260obababb快速反应110020=030=4=50,06=007aaBABAababababababa例、判断正误，并简要说明理由若则对任一非零向量有若，则，中至少有一个为对任意向量228bcabcabcabab，，都有若，是两个单位向量，则××××××√√221234,00567abcacbcababababababababababababbcacabc例、写出下列正确命题的序号：已知，，为非零不共线向量，则若=0,则∥若=0则或若⊥,则若,则-不与垂直⑶、⑸、⑺1．下列命题：(1)若a≠0，a·b＝a·c，则b＝c；(2)(a·b)c＝a(b·c)对任意向量a，b，c都成立；(3)对任一向量a，有a2＝|a|2.其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个课堂练习B解析：选(1)(2)不正确，(3)正确．2．已知|b|＝3，a在b方向上的投影是32，则a·b为()A.92B．3C．2D.12解析：选∵|a|cos〈a，b〉＝32，|b|＝3，∴a·b＝|a|·|b|cos〈a，b〉＝3×32＝92.AA3．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．解析：∵c⊥a，∴c·a＝0，∴(a＋b)·a＝0，即a2＋a·b＝0.∵|a|＝1，|b|＝2，∴1＋2cos〈a，b〉＝0，∴cos〈a，b〉＝－12.又∵0°≤〈a，b〉≤180°，∴〈a，b〉＝120°.1204．已知向量a，b的夹角为120°，|a|＝1，|b|＝3，则|5a－b|＝________.解析：|5a－b|＝|5a－b|2＝5a－b2＝25a2＋b2－10a·b＝25＋9－10×1×3×－12＝7.7课堂小结1．两向量a与b的数量积是一个实数，不是一个向量，其值可以为正(当a≠0，b≠0,0°≤θ90°时)，也可以为负(当a≠0，b≠0,90°θ≤180°时)，还可以为0(当a＝0或b＝0或θ＝90°时)．2．两个向量的数量积是两个向量之间的一种运算，与实数乘实数、实数乘向量的乘法运算是有区别的，在书写时一定要把它们严格区分开来，绝不可混淆．3．a·b＝|a||b|cosθ中，|b|cosθ和|a|cosθ分别叫做b在a方向上的投影和a在b方向上的投影，要结合图形严格区分．