2018-2019学年吉林省扶余市第一中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)

2018-2019学年吉林省扶余市第一中学高一上学期期末考试数学试题（解析版）一、选择题(每小题5分,满分60分)1.如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，则A.l⊂αB.lαC.l∩α＝MD.l∩α＝N【答案】A【解析】【分析】由已知得M∈平面α，N∈平面α，由M∈a，N∈b，M∈l，N∈l，利用公理二得l⊂α．【详解】：∵直线a⊂平面α，直线b⊂平面α，M∈a，N∈b，∴M∈平面α，N∈平面α，∵M∈l，N∈l，∴l⊂α．故选：A．【点睛】本题考查点、直线、平面间的位置关系的判断与应用，是基础题，解题时要注意公理二的合理运用．2.已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为A.若α⊥γ，β⊥γ，则α∥βB.若m∥α，m∥β，则α∥βC.若m∥α，n∥α，则m∥nD.若m⊥α，n⊥α，则m∥n【答案】D【解析】【分析】根据空间线面、面面的平行，垂直关系，结合线面、面面的平行，垂直的判定定理、性质定理解决．【详解】∵α⊥γ，β⊥γ，α与β的位置关系是相交或平行，故A不正确；∵m∥α，m∥β，α与β的位置关系是相交或平行，故B不正确；∵m∥α，n∥α，m与n的位置关系是相交、平行或异面∴故C不正确；∵垂直于同一平面的两条直线平行，∴D正确；故答案D。【点睛】本题考查线面平行关系的判定，要注意直线、平面的不确定情况．3.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为（）A.B.5C.2D.10【答案】B【解析】试题分析：把圆的方程化为标准方程得，所以圆心坐标为半径，因为直线始终平分圆的周长，所以直线过圆的圆心，把代入直线得；即，在直线上，是点与点的距离的平方，因为到直线的距离，所以的最小值为，故选B.考点：1、圆的方程及几何性质；2、点到直线的距离公式及最值问题的应用.【方法点晴】本题主要考查圆的方程及几何性质、点到直线的距离公式及最值问题的应用，属于难题.解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用几何意义，将的最小值转化为点到直线的距离解答的.4.已知M(-2,0),N,P(0,-1),Q,若MN⊥PQ，则A.0B.1C.2D.0或1【答案】D【解析】【分析】求出向量，利用数量积为0，化简求解即可．【详解】M（-2，0），N（1，3a），P（0，-1），Q（a，-2a），若MN⊥PQ，可得3a+3a（-2a+1）=0，解得a=0或a=1．故选：D．【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，考查计算能力．5.已知圆,圆,则圆、圆的公切线有A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】B【解析】【分析】把两圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，根据两圆的圆心距小于半径之和，可得两圆相交，由此可得两圆的公切线的条数．【详解】（1）圆C2的方程为x2+y2+6x-8y-11=0可化为（x+3）2+（y-4）2=36，∴圆心距为5，则圆、圆相交，则两圆的公切线的条数为2条.故选B.【点睛】本题主要考查圆的标准方程的特征，两圆的位置关系的确定方法，属于中档题．6.直线的倾斜角为A.0oB.45oC.90oD.不存在【答案】C【解析】【分析】由题直线，直线与轴垂直，倾斜角为90o【详解】由题直线，直线与轴垂直，倾斜角为90o.故选C.【点睛】本题考查直线斜率、倾斜角的概念．属于基础题．7.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.异面直线AD与CB1角为60°D.AC1⊥平面CB1D1【答案】C【解析】【分析】利用正方体的性质，利用线线平行的判定，线面平行、垂直的判定和性质，逐一分析研究各个选项的正确性．【详解】由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以，BD∥平面CB1D1；故A正确．由正方体的性质得AC⊥BD，而AC是AC1在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC1⊥BD，故B正确．异面直线AD与CB1所成角就是BC与CB1所成角，故∠BCB1为异面直线AD与CB1所成角，等腰直角三角形BCB1中，∠BCB1=45°，故C不正确．由正方体的性质得BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，所以，AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，故AC1垂直于平面CB1D1内的2条相交直线，所以，AC1⊥平面CB1D1，故D成立．故选C.．【点睛】本题考查线面平行的判定，利用三垂线定理证明2条直线垂直，线面垂直的判定，求异面直线成的角．8.直线与曲线有且仅有1个公共点，则b的取值范围是（）A.B.或C.D.或【答案】【解析】试题分析：曲线化简为,所以曲线表示单位圆在轴及其右侧的半圆.其上顶点为,下顶点,直线与直线平行,表示直线的纵截距，将直线上下平移,可知当直线①时，与曲线有一个交点；②与曲线在第四象限相切时，只有一个交点，即，此时；③经过时，即其纵截距时，与曲线有两个交点,所以与曲线有两个交点.考点：直线与半圆的位置关系;纵截距的应用.9.已知一圆的圆心为点(1,-1),一条直径的两个端点分别在轴和轴上,则此圆的方程是A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先根据已知条件求出直径两个端点的坐标，从而可得到圆的半径，进而求出圆的方程．【详解】设直径的两个端点分别为：A（a，0），B（0，b）．则∴圆的半径为．∴此圆的方程为（x-1）2+（y-2）2=5【点睛】本题考查中点坐标公式，圆的标准方程，属于基础题．10.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是棱BB1,B1C1的中点,若∠CMN=90°,则异面直线AD1和DM所成角为()A.30°B.45°C.60°D.90°【答案】D【解析】在正方体中可得，又，所以平面。因为平面所以。因为，所以,所以异面直线和所成角为90°。选D。11.已知一个多面体的内切球的半径为6，多面体的表面积为15，则此多面体的体积为A.30B.15C.3D.15【答案】A【解析】【分析】连接内切球和多面体的每一的顶点，把多面体分成若干棱锥，这些棱锥的高都等于内切球的半径，于是，多面体的体积为表面积×内切球的半径÷3，即可得出结论【详解】连接内切球和多面体的每一的顶点，把多面体分成若干棱锥，这些棱锥的高都等于内切球的半径，于是，多面体的体积为表面积×内切球的半径，所以多面体的体积为故选：A．【点睛】本题考查多面体的体积，考查多面体的内切球，考察计算能力，比较基础．12.如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角D－AC－B，在折起后形成的三棱锥D－ABC中，给出下列三个命题：①△DBC是等边三角形；②异面直线AC与BD成；③三棱锥C－ABD的体积是；④三棱锥D－ABC的表面积是1+;⑤AD与平面ABC所成角为45°其中正确命题的序号是A.①②B.②③④C.①②④⑤D.①②③④【答案】C【解析】【分析】由题意作出图形，①根据图可知，再由BC=DC=1，可知面DBC是等边三角形．②由AC⊥DO，AC⊥BO，可得AC⊥平面DOB，从而有AC⊥BD．③三棱锥D-ABC的体积．④三棱锥D-ABC的面ABC、ADC为等腰直角三角形，面ADB、CDB为正三角形，则表面积可求；⑤找出直线AD与直线BC所成角，求解三角形得答案．【详解】如图所示：，又BC=DC=1，∴面DBC是等边三角形，故①正确；∵AC⊥DO，AC⊥BO，∴AC⊥平面DOB，则AC⊥BD，故②正确；三棱锥D-ABC的体积，故③错误；三棱锥D-ABC的面ABC、ADC为等腰直角三角形，面ADB、CDB为正三角形，表面积，故④正确；取DC中点E，过E作EG⊥AC于G，取AB中点F，连接OF，GF，可得，利用余弦定理求得，，∴，则直线AD与直线BC所成角是60°，故⑤正确．故正确结论为：①②④⑤．故选C【点睛】本题主要考查折叠问题，要注意折叠前后的改变的量和位置，不变的量和位置，属中档题．二.填空题(每小题5分,满分20分)13.点P在直线3x＋4y＋35＝0上，O为原点，则OP的最小值是________．【答案】7【解析】【分析】OP的最小值，就是原点到已知直线的距离，根据距离公式，代入数值求值即可．【详解】O点的坐标（0，0），.故答案为7.．【点睛】本题考查直线方程的综合运用，关键是熟练掌握点到直线距离公式．14.已知△ABC中，A(0，3),B(2，1),P、Q分别为AC、BC的中点，则直线PQ的斜率为_________.【答案】【解析】【分析】先求出直线PQ是△ABC的中位线，从而得到PQ=AB，求出直线的斜率即可．【详解】：∵P、Q分别为AC、BC的中点，∴PQ是△ABC的中位线，∴PQ∥AB，∴故答案为：-1．【点睛】本题考察了求直线的斜率问题，考察三角形的中位线问题，是一道基础题．15.若点P(3,1)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__________.【答案】【解析】【分析】由条件利用直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质求出切线的斜率，再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程．【详解】由题意可得OP和切线垂直，∵，∴切线的斜率为=3，故切线的方程为y-1=-3（x-3），即，即答案为.【点睛】本题主要考查直线和圆相切的性质，两条直线垂直的性质，用点斜式求直线的方程，是基础题．16.已知圆C:与直线，则圆C上点距直线距离为1的点有___个.【答案】3【解析】【分析】设圆心O到直线的距离为d，结合图形可得：圆C上到直线l的距离为1的点的个数为3个．【详解】设圆心O到直线的距离为d，结合图形可得：圆C上点距直线距离为1的点有3个.即答案为3【点睛】本题考查点到直线的距离，关键是结合图形，属于基础题．三.解答题(写出必要的计算步骤、解答过程，只写最后结果的不得分，共70分)17.已知直线；．（1）若，求的值．（2）若，且他们的距离为，求的值．【答案】（1）；（2），或【解析】试题分析：（1）因为两条直线是相互垂直的，故，解得；（2）因为两条直线是相互平行的，故，解得．解析：设直线的斜率分别为，则、．（1）若，则，∴（2）若，则，∴．∴可以化简为，∴与的距离为，∴或18.已知直线l经过点P(－2,5)，且斜率为.(1)求直线l的方程；(2)若直线m与直线l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．【答案】(1)3x＋4y－14＝0；(2)3x＋4y＋1＝0或3x＋4y－29＝0.【解析】试题分析：（1）本问考查直线方程的点斜式，所以过点，且斜率为的直线方程为，整理成一般式即可；（2）与平行的直线方程可设为，然后根据点到直线距离公式，列方程可以求出的值，即得到直线的方程.试题解析：（1）由点斜式方程得，，∴.（2）设的方程为，则由平等线间的距离公式得，，解得：或.∴或考点：1.直线的方程；2.两直线位置关系；3.点到直线距离公式.19.已知圆，为坐标原点，动点在圆外，过点作圆的切线，设切点为.（1）若点运动到处，求此时切线的方程；（2）求满足的点的轨迹方程.【答案】（1）或；（2）.【解析】试题分析：（1）当过点P的切线斜率存在时，由点斜式设出切线方程，再利用圆心到切线的距离等于半径求得的值，可得切线方程．当切线斜率不存在时，要检验是否满足条件，从而得出结论．（2）设点，由圆的切线的性质知，为直角三角形，可得，；由，化简可得点P的轨迹方程为.试题解析：解:把圆C的方程化为标准方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝4，∴圆心为C（－1,2），半径r＝2.（1）当l的斜率不存在时，此时l的方程为x＝1，C到l的距离d＝2＝r，满足条件．当l的斜率存在时，设斜率为，得l的方程为y－3＝（x－1），即x－y＋3－＝0，则＝2，解得＝.∴l的方程为y－3＝（x－1），即3x＋4y－15＝0.综上，满足条件的切线l的方程为或.（2）设P（x，y），则PM2＝PC2－MC2＝（x＋1）2＋（y－2）2－4，P