2.1矩阵的概念及其运算解析

2.1矩阵的概念一、矩阵的引入二、矩阵的概念三、几种特殊的方阵一、矩阵的引入11121212221211212122nnnmmnnnmmbbxxxaaabxxaaaaxaaxxx1.线性方程组mn当时,上式称为元线性方程组mnn方程组的解取决于系数(1,2,;1,2,)ijaimjn常数项(1,2,)ibim将方程组的未知量系数与常数项按原来的位置可以排成一个矩形数表12111212122212nnmmmnmaaaaaaaaabbb对线性方程组的研究可转化为对这张矩形数表的研究11121212221211212122nnnmmnnnmmbbxxxaaabxxaaaaxaaxxx2.某航空公司在A,B,C,D四城市之间开辟了若干航线,如图所示表示了四城市间的航班图,如果从A到B有航班,则用带箭头的线从A指向BABCD发站到站ABCDABCD为了便于计算,把表中的改为1,而空白处填0,那就得到了如下的数表1111111000000000这个数表反映了四个城市之间的交通连接情况二、矩阵的概念定义111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA其中称为矩阵的第行列(1,2,;1,2,).imjnijaij元矩阵也记为mnAAmn或者.ijmna称为一个矩阵,mn由个数排成的一个m行n列的的数表mn111212122212nnnnnnaaaaaaaaaA当时,即矩阵的行数等于列数时,称为n阶方阵mnA其中称为方阵A的主对角线元.1122,,,nnaaa当矩阵中所有的元均为零时,称为mnAA零矩阵,记为.若不引起混淆,记为.mnOO注意不同阶数的零矩阵是不相等的.三、几种特殊的方阵一阶方阵视同普通的数.Aaa1122,,nndiagaaa通常对角矩阵记为对角矩阵：如果阶方阵中的元满足n0,ija(,1,2,),ijijn则称是对角矩阵AijAa1122000000nnaaAa数量矩阵：如果阶对角矩阵中元nA1122,nnaaaa很多书也记为或.特别的,当时,该数量矩阵称为单位矩阵,记为或1anEEnII000000aaAa上(下)三角矩阵：如果阶方阵中的元满足nijAa0,(,1,2,,),ijaijijn则称为上三角矩阵A如果阶方阵中的元满足nijAa0,ijaij则称为下三角矩阵.A(,1,2,,),ijn下11212212000nnnnaaaAaaa上11121222000nnnnaaaaaAa111211222212nnnnnnaaaaaaAaaa其实,引例中航班只有单程的情况比较少见,国内航班大多为双程,也就是说,其路线矩阵为对称矩阵.对称矩阵：如果阶方阵中的元满足nA(,1,2,)ijjiaaijn则称为对称矩阵ijAa反称矩阵：如果阶方阵中元满足nijAa(,1,2,,)ijjiaaijn则称为反称矩阵.A由定义可以推出,若为反称矩阵,则,即Aiiiiaa0(1,2,,)iiain因此反称矩阵的主对角线元全为零12112212000nnnnaaaaAaa2.2矩阵的运算一、矩阵的加法二、矩阵的数乘三、矩阵的乘积四、矩阵的转置定义(1,2,;1,2,)ijijabimjn且满足如果是两个矩阵,,ijijAaBbmn则称矩阵与矩阵相等,记为ABAB对比行列式相等的概念只要两个行列式值相等，就说这两个行列式相等行数列数对应相等的矩阵为同型矩阵ijijijijmnmnmnABabab两个矩阵的和,ijijAaBb定义指的是矩阵,即ABmnmn()ijijab只有同型矩阵才能相加，结果也是同型矩阵ABBA交换律()()ABCABC结合律AOA其中,是同类型矩阵OA负矩阵记,则称其为的负矩阵ijmnAaAAAOijijijijmnmnmnABabab定义减法()ABAB减法同样也要求同型矩阵加减法其实是两个矩阵的对应位置上的元分别相加相减111212122212nnmmmnkakakakakakakAkakaka设是矩阵,是常数,数与矩阵ijAa定义的乘积指的是矩阵,记为,即mn()ijkakkAkA数与矩阵的乘积就是把中的每个元都乘以.kkAA数乘后的矩阵与原矩阵为同型矩阵()kABkAkB1AA数乘法则若,则kAO0,kAO()klAkAlA()()()klAklAlkA0AO矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线性运算.矩阵完全由矩阵和矩阵决定,中第行第列元是由中第行的每一个元与中第列的对应元相乘然后再相加得到的ijcjiAACBCBij设是矩阵,是矩阵ijAa定义msijBbsn1122(1,2,,;1,2,,)ijijijissjcabababimjn则由元构成的矩阵mnijCcCAB称为矩阵与矩阵的乘积,记为ABS列S行与乘积的第行列元是由中的第行的每一个元与中的第列的对应元相乘然后得到BAAijcijijBi行j列乘积矩阵的行数等于的行数，列数等于的列数ABCAB位于左边的矩阵的列数与位于右边的矩阵的行数相同ABABC=ABmssnmn22227428?1233动动笔22222874?331222682418矩阵乘法不满足交换律,BAAB即：注意：22268414矩阵乘法的运算规则1ABCABC2ABCABACBCABACA3kABkABAkB（其中为常数）;k4;;mnnmmnmnnpmpqmmnqnAEEAAAOOOAO设A是阶矩阵，称为A的次幂，即5nkAkkkAAAA个.kmmkAA,mk为正整数,mkmkAAA并且不一样的乘法1AB存在不一定存在BA2,ABBA都存在也不一定相等3,,AOBOABO却可能等于4,ACBCCO并不能推出AB225;()()kkkABABABABAB222()2ABAABB并不能推出AOkAO并不能推出AE2AE方程组可用矩阵表示为用矩阵表示线性方程组11121212221211212122nnnmmnnnmmbbxxxaaabxxaaaaxaaxxx111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA12nxXxx12mbBbbAXB定义111212122212nnmmmnaaaaaaaaaA将矩阵的行取作列（或列取作行），ijmnAanm可得到一个矩阵，称此矩阵为的转置矩阵，A112111222212mmnnnmaaaaaaaaaA的转置，记为AA简称矩阵转置的性质1AA2ABAB3kAkA（其中为常数）;k4ABBA阶方阵是对称矩阵的充要条件是5nAAA阶方阵是反称矩阵的充要条件是nAAA对n阶方阵,将A中元按照原来顺序做定义一个n阶行列式,称之为方阵A的行列式,记为ijAadet,A或A性质1、AA2、nkAkA3、ABABBA不一样!ABAB设A是n阶方阵,若,则称A为非奇异矩阵定义0A(非退化矩阵).否则称A为奇异矩阵(退化矩阵).