2012中考数学一轮复习课件 专题八一元二次方程

信心源自于努力结合近几年中考试题分析,一元二次方程的考查主要有以下特点：1.命题方式为对一元二次方程的概念和基础知识的考查，多以填空题、选择题的形式出现，解答题多数考查一元二次方程的解法和方程知识的综合应用.2.命题热点为配方法解决数学问题、一元二次方程的判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用.1.一元二次方程的有关概念及解法是基础,因此,在复习本部分知识时,应首先弄清概念,掌握解法.2.一元二次方程的判别式的应用、一元二次方程根与系数的关系的应用是中考的热点，应加强有关的题目训练，同时，要注重一元二次方程的判别式、根与系数的关系与其他知识综合考查的练习.3.在复习本讲时,应注意转化思想的运用,还应注意配方法在解题中的作用,它是利用配方法解方程和推导求根公式的基础.一元二次方程的有关概念1.一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程.2.要判断一个方程是否为一元二次方程,先看它是否为整式方程,若是,再对它进行整理,如果能整理为ax2+bx+c=0(a≠0)的形式，则这个方程就为一元二次方程.3.判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项,应首先把一元二次方程化成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0),但一元二次方程的一般形式不是唯一的.【例1】(2010·佛山中考)教材或资料中会出现这样的题目：把方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.现把上面的题目改编为下面的两个小题，请解答:(1)下列式子中，有哪几个是方程所化的一元二次方程的一般形式？(答案只写序号)_____.①②③x2-2x=4；④-x2+2x+4=0；⑤21xx2221xx2221xx202；21xx202；23x23x430.(2)方程化为一元二次方程的一般形式后，它的二次项系数、一次项系数、常数项之间具有什么关系？【思路点拨】(1)先把一元二次方程化成二次项系数为1的一般形式，再与给出的5个方程进行比较，从而得出结论.(2)比较(1)中几个方程的二次项系数、一次项系数、常数项，得出一般结论.21xx22【自主解答】(1)①②④⑤(2)若设它的二次项系数为a(a≠0)，则一次项系数为-2a、常数项为-4a.1.(2010·毕节中考)已知方程x2+bx+a=0有一个根是-a(a≠0)，则下列代数式的值恒为常数的是()(A)ab(B)(C)a+b(D)a-b【解析】选D.把x=-a代入方程x2+bx+a=0得a2-ab+a=0，即a(a-b+1)=0，又因为a≠0，所以a-b+1=0，即a-b=-1.ab2.(2011·滨州中考)若x=2是关于x的方程x2-x-a2+5=0的一个根，则a的值为_____.【解析】将x=2代入方程，得4-2-a2+5=0,解得答案：7a7.3.(2011·株洲中考)孔明同学在解一元二次方程x2-3x+c=0时，正确解得x1=1,x2=2,则c的值为_____.【解析】把x=1代入x2-3x+c=0中，得1-3+c=0,所以c＝2.答案：2一元二次方程的解法1.一元二次方程主要有四种解法，任何一个有解的一元二次方程都可以用配方法和公式法求解，其中配方法较为复杂，除指定外，一般不选用.2.选择适当的方法解一元二次方程可使运算简便.在四种解法中,选择顺序为:直接开平方法→因式分解法→公式法→配方法.【例2】(2011·南京中考)解方程：x2-4x+1=0.【思路点拨】此题可用配方法，也可用公式法，但不能用因式分解法，解题时要注意步骤.【自主解答】方法一：配方法，移项，得x2-4x=-1.配方，得x2-4x+4=-1+4,(x-2)2=3.由此可得x23.12x23,x23.方法二:公式法，a=1,b=-4,c=1.Δ＝b2-4ac=(-4)2-4×1×1=120，412x23,212x23,x23.4.(2011·南充中考)方程(x+1)(x-2)=x+1的解是()(A)2(B)3(C)-1，2(D)-1，3【解析】选D.(x+1)(x-2)=x+1,移项得，(x+1)(x-2)-(x+1)=0,∴(x+1)(x-2-1)=0,即(x+1)(x-3)=0,∴x+1=0或x-3=0.∴x1=-1,x2=3.5.(2010·烟台中考)方程x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2，则(x1-1)(x2-1)=_____.【解析】由求根公式可得方程x2-2x-1=0的两个实数根为所以答案：-212x12x12，，12x1x1121121222.6.(2011·无锡中考)解方程：x2+4x-2=0.【解析】∵a=1,b=4,c=-2,∴b2-4ac=16+8=240,∴∴2bb4ac424x26.2a212x26,x26.根的判别式及根与系数的关系1.运用根的判别式判断含有字母系数的一元二次方程根的情况的一般步骤是:(1)把方程化为一般形式,确定a、b、c的值,计算Δ;(2)用配方法等将Δ变形,使之符号明朗化后,判断Δ的符号;(3)写出结论.2.利用一元二次方程根与系数的关系可解决以下几类问题:(1)已知一元二次方程的一个根,可求另一个根.(2)已知两根，可写出这个一元二次方程.(3)与根的判别式结合起来，可求解方程、判断两根的性质和正负号.注意:在运用根与系数的关系时,应先简化为一元二次方程x2+px+q=0的形式,并牢记一元二次方程x2+px+q=0的两根之和是一次项系数的相反数而不是一次项系数本身.【例3】(2011·德州中考)若x1,x2是方程x2+x-1=0的两个根，则x12+x22=_____.【思路点拨】先由根与系数的关系求出x1+x2、x1·x2的值，再把x12+x22配方求出x12+x22的值.【自主解答】由一元二次方程根与系数的关系可得x1+x2=-1,x1x2=-1,x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(-1)2-2×(-1)=3.答案：37.(2011·泉州中考)已知一元二次方程x2-4x+3=0两根为x1、x2,则x1·x2=()(A)4(B)3(C)-4(D)-3【解析】选B.∵∴B正确.12c3xx3,a18.(2011·威海中考)关于x的一元二次方程x2+(m-2)x+m+1=0有两个相等的实数根，则m的值是()(A)0(B)8(C)(D)0或8【解析】选D.一元二次方程有两个相等的实数根，即Δ=0，∴(m-2)2-4(m+1)=0,解得：m1=0;m2=8.故选D.4229.(2010·兰州中考)已知关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+1=0有实数根.则m的取值范围是_____.【解析】根据题意得12-4×(m-1)×1≥0且m-1≠0，解得且m≠1.答案：且m≠15m45m410.(2011·广东中考)已知一元二次方程x2-2x+m=0.(1)若方程有两个实数根，求m的范围；(2)若方程的两个实数根为x1,x2,且x1+3x2=3,求m的值.【解析】(1)由题意得Δ=4-4m≥0,解得m≤1.(2)由题意得x1+x2=2,因为x1+3x2=3,所以,所以,解得21x2211()2m022－3m.4配方法1.配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法,它的应用十分广泛,在代数式求值、求最大(小)值、因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的解析式等方面都经常用到它.2.配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的一种重要手段,在配方时,要善于“拆”和“添”,将代数式重新组合得到完全平方式.【例】(2010·河北中考)已知x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,则m2+2mn+n2的值为_____.【思路点拨】把x=1代入一元二次方程x2+mx+n=0得到m+n的值，把m2+2mn+n2配方后得m2+2mn+n2的值.【自主解答】∵x=1是一元二次方程x2+mx+n=0的一个根,∴1+m+n=0,∴m+n=-1.当m+n=-1时，m2+2mn+n2=(m+n)2=(-1)2=1.答案：11.(2010·包头中考)关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两个实数根分别是x1、x2，且x12+x22=7，则(x1-x2)2的值是()(A)1(B)12(C)13(D)25【解析】选C.由根与系数的关系得x1+x2=m,x1·x2=2m-1,∵x12+x22=7,∴7=(x1+x2)2-2x1x2=m2-2(2m-1)=m2-4m+2,∴m1=-1,m2=5,又∵m=5时，Δ=25-36＜0,∴m=-1.∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=m2-4(2m-1)=m2-8m+4=1+8+4=13.2.(2010·綦江中考)用配方法解方程：x2－2x－1＝0.【解析】移项，得x2－2x＝1，配方，得x2-2x+1=2，即(x-1)2=2，∴12x12x12x12.，，1.(2010·河南中考)方程x2-3=0的根是()(A)x=3(B)x1=3,x2=-3(C)(D)【解析】选D.把选项中给出的数值代入原方程，使方程左右两边的值相等的数值，就是原方程的解或者解原方程得,所以,故选D.x312x3,x3x312x3,x32.(2010·日照中考)如果关于x的一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为x1=2，x2=1，那么p，q的值分别是()(A)-3，2(B)3，-2(C)2，-3(D)2，3【解析】选A.根据根与系数的关系得：12bxxp213,a－12cxxq2,p3,q2.a即－3.(2010·上海中考)已知一元二次方程x2+x-1=0，下列判断正确的是()(A)该方程有两个相等的实数根(B)该方程有两个不相等的实数根(C)该方程无实数根(D)该方程根的情况不确定【解析】选B.∵Δ=1+4=5＞0,∴该方程有两个不相等的实数根.4.(2010·厦门中考)已知关于x的方程x2-4x-p2+2p+2=0的一个根为p,则p=_____.【解析】把x=p代入方程x2-4x-p2+2p+2=0,得p2-4p-p2+2p+2=0,即-2p+2=0,解得p=1.答案:15.(2010·成都中考)设x1,x2是一元二次方程x2-3x-2=0的两个实数根，则x12+3x1x2+x22的值为_____.【解析】由一元二次方程根与系数的关系可得：x1+x2=3,x1x2=-2.所以x12+3x1x2+x22=(x1+x2)2+x1x2=9-2=7.答案：76.(2010·成都中考)若关于x的一元二次方程x2+4x+2k=0有两个实数根，求k的取值范围及k的非负整数值.【解析】由根的判别式可得b2-4ac≥0，即42-8k≥0，解得k≤2；k的非负整数值为：0，1，2.7.(2010·北京中考)已知关于x的一元二次方程x2-4x+m-1=0有两个相等实数根，求m的值及方程的根.【解析】由题意可知Δ=0.即(－4)2－4(m－1)=0，解得m=5.当m=5时，原方程化为x2－4x+4=0，解得x1=x2=2，所以原方程的根为x1=x2=2.诲人不倦•悟性的高低取决于有无悟“心”,其实,人与人的差别就在于你是否去思考,去发现，去总结。下课了!