谈考场如何审题―高考数学审题“8环节”

高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书谈考场如何审题—高考数学审题“8环节”高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书审题即弄清题意，是解题的基础，也是正确、迅速解题的前提，要想有效解决问题，关键要过审题关．著名数学教育家波利亚说过：“最糟糕的情况是学生没有弄清问题就进行演算和作图．”事实上，考生常常对此掉以轻心，致使解题失误或陷入繁冗之中．据统计，高考试卷通常控制在2000个左右的印刷符号，若以每分钟300～400个符号的速度读题审题，约需5～7分钟，考虑到有的题要读两遍以上，仅审题就要约15分钟．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书能否迅速准确地理解问题，在很大程度上影响和决定了高考成绩的好坏．从这个意义上讲，高考数学谋试在“审”，成试在“审”，一点都不过分．下面从实例出发，就高考数学解题中审题要注意的几个环节综述如下：高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书逐字逐句，仔细分析是审题的重要策略之一．在数学解题中，经常会出现一些容易看错的或易被忽视的或容易误解的字词，如果麻痹大意，就会导致失误．因此，要善于“斟字酌句”，认真思考，弄清含义，为正确解题创造条件．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例1](2015·郑州模拟)已知锐角△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若b是12和2的等比中项，c是1和5的等差中项，则a的取值范围是________．[审题](1)要求a的取值范围，应建立关于a的不等式；(2)由条件“b是12和2的等比中项”和“c是1和5的等差中项”可分别求出b和c的值；(3)根据△ABC为锐角三角形，利用余弦定理即可建立关于a的不等式．但是，题目条件并没有明确a是否为最大边，故应分类讨论．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[提醒]本题易误认为a为最大边，由b2＋c2－a20得出结论，从而忽视c为最大边的情形，掉入漏解陷阱．题目中没有明确a是否为最大边，由此找到分类的依据．[解析]因为b是12和2的等比中项，所以b＝12×2＝1；因为c是1和5的等差中项，所以c＝1＋52＝3.又因为△ABC为锐角三角形，高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书由①②得22a10，所以a的取值范围是(22，10)．答案：(22，10)高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1．直线l过点P(5，2)，并且在x轴和y轴上的截距相等，则直线l的方程为________．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[解析](1)当直线过原点时，方程为2x－5y＝0；(2)当直线不过原点时，用直线方程的截距式，设所求方程为xa＋ya＝1，把已知点P(5,2)的坐标代入方程，得a＝7.此时所求方程为x7＋y7＝1，即x＋y－7＝0.故所求直线方程为2x－5y＝0和x＋y－7＝0.答案：2x－5y＝0和x＋y－7＝0高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2．已知曲线y＝13x3＋43，则过点P(2，4)的切线方程为________．[解析]设曲线y＝13x3＋43与过点P(2，4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20，∴切线方程为y－y0＝x20(x－x0)，即y－13x30－43＝x20(x－x0)．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书把P(2，4)的坐标代入，即4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0，∴x30＋x20－4x20＋4＝0，∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0.解得x0＝2或x0＝－1.故所求切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.答案：4x－y－4＝0或x－y＋2＝0高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书许多题目都存在关键性的词语，抓住它们就会把握事物的本质属性，找到解题的突破口．因此，审题时，除了熟悉问题的整体背景，注意各个部分之间的区别和联系外，还要特别注意根据“关键词”展开思维．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例2](2015·兰州模拟)李老师从油条的制作受到启发，设计了一个数学问题，如图所示，在数轴上截取从原点到1的对应点的线段AB，对折后(点A与B重合)再均匀地拉成1个单位长度的线段，这一过程称为一次操作(如在第一次操作后，原线段AB上的14、34均变成12，12变成1等)．那么在线段AB上(除A，B)的点中，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点所对应的数之和是________．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[审题]本题的关键词是新定义中的“一次操作”，要解决此题，首先要读懂“一次操作”的真正含义：先对折再拉长到与原线段长度相等的线段即为1个单位长度，第一次操作后，在12处为对折点，均匀拉长后12变成1，原线段AB上的14、34均变成12，这在题目中已有提示．第二次操作后，在线段12处有两个数14和34为对折点，均匀拉长后这两个数都变为1，根据题意，在第二次操作后，恰好被拉到与1重合的点对应的数为14和34，这样马上可以得出结论．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[解析]∵在第一次操作后，原线段AB上的14、34均变成12，12变成1，∴在第二次操作后，原线段AB上的14、34均变成1，∴所求点所对应的数之和是14＋34＝1.答案：1高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1.已知双曲线C：x2－y24＝1，过点P(1,1)作直线l，使l与C有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线l共有________条．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[解析]当直线l斜率存在时，令l：y－1＝k(x－1)，代入x2－y24＝1中整理有(4－k2)x2＋2k(k－1)x－k2＋2k－5＝0.当4－k2＝0，即k＝±2时，l和双曲线的渐近线平行，有一个公共点．当k≠±2时，由Δ＝0，解得k＝52，即k＝52时，有一个切点．直线l斜率不存在时，x＝1也和曲线C有一个切点．综上，共有4条满足条件的直线．答案：4高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2．在等腰直角三角形ABC中，直角顶点为C，在∠ACB的内部，以C为端点任作一条射线CM，与线段AB交于M，则AMAC的概率为________．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[解析]由于在∠ACB内任作射线CM，所以CM在∠ACB内等可能分布，如图所示，基本事件的区域应是∠ACB，在线段AB上取一点C′，使得AC′＝AC，连接CC′，故P(AMAC)＝∠ACC′∠ACB＝π－π42π2＝34.答案：34高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书有许多数学题，给出的已知条件或结论的形式比较复杂、繁琐．审题时，只要善于对已知或未知进行简化，就会化繁为简找到有效解决问题的方法和途径．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例3](2015·太原模拟)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中ba，且对任意x∈R都有f(x)≥0，则M＝a＋2b＋3cb－a的最小值为()A.5－232B.5＋232C.7－352D.7＋352高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[审题]本题是多元问题，解多元问题的思路是将多元问题转化为二元或一元问题．由条件f(x)≥0恒成立可知a0，b2－4ac≤0，即c≥b24a.从而M＝a＋2b＋3cb－a≥a＋2b＋3b24ab－a，故问题转化为求a＋2b＋3b24ab－a的最小值，可考虑令t＝ba，从而化简并求得a＋2b＋3b24ab－a的最小值，即求得问题的答案．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[解析]选D由题意得a0，b2－4ac≤0，即c≥b24a，则M＝a＋2b＋3cb－a≥a＋2b＋3b24ab－a＝1＋2·ba＋34·ba2ba－1.令ba＝t，则t1，于是M≥1＋2t＋34t2t－1＝34t－12＋72t－1＋154t－1＝34(t－1)＋154·1t－1＋72≥352＋72，当且仅当t－1＝5，即b＝(1＋5)a，c＝b24a＝3＋52a时等号成立．所以M＝a＋2b＋3cb－a的最小值为7＋352.高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若ba＋ab＝6cosC，则tanCtanA＋tanCtanB的值是________．[解析]由ba＋ab＝6cosC，得b2＋a2＝6abcosC.根据余弦定理，化简整理得2(a2＋b2)＝3c2，高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书将tanCtanA＋tanCtanB通过切化弦化简，得sinCcosC·cosAsinA＋cosBsinB＝sinCcosC·sinA＋BsinAsinB＝sinCcosC·sinCsinAsinB＝sin2CcosCsinAsinB.根据正、余弦定理得sin2CcosCsinAsinB＝c2ab·a2＋b2－c22ab＝2c2a2＋b2－c2＝2c232c2－c2＝4.答案：4高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2．设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，则它的通项公式an＝________.[解析]由(n＋1)a2n＋1－na2n＋an＋1an＝0，得[(n＋1)·an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.又∵an0，∴an＋1＋an0，(n＋1)an＋1－nan＝0，即(n＋1)an＋1＝nan.故数列{nan}为常数列．∴nan＝a1＝1，即an＝1n.答案：1n高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书审题时，思路不能只停留在原题上，而应积极地将其转换成熟悉和易解的问题．其方法有：把实际问题转换成数学问题，把几何问题转换成代数问题，把代数问题转换成三角问题等，不一而足．因此，我们在审题时，要注意分析题意，善于转换．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[例4](2015·绍兴模拟)水管的外部需要包扎，包扎时用带子缠绕在管道外部．若要使带子全部包住管道且不重叠(不考虑管道两端的情况)，需计算带子的缠绕角度α(α指缠绕中将部分带子拉成如图所示的平面ABCD时的∠ABC，其中AB为管道侧面母线的一部分)．若带子宽度为1，水管直径为2，则α的余弦值为________．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[审题]解决本题的关键是如何将空间图形转化为平面图形，而将空间图形中的点和量与平面图形中的点和量对应起来是解决本题的难点，如果以AB所在的母线把它剪断，拿出其中的一段并压平，画出其平面图形(如下图)，点A与点C是重合点，所以AC的长就是水管的周长，AH的长是带子宽度，通过互余关系，角α转换到△AHC中，使这些已知量都集中在同一个三角形内，再以三角函数来求解问题．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[解析]如图，沿一条母线剪开，侧面是一个矩形，带子ABCD是一个平行四边形，过点A作AH⊥BC于H，∵∠ABC＝∠CAH＝α，AC＝2π，∴在Rt△AHC中，cosα＝12π.答案：12π高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书1．函数y＝x2－2x＋2＋x2－6x＋13的最小值为________．[解析]原函数等价于y＝x－12＋0－12＋x－32＋0－22，即求x轴上一点到A(1,1)，B(3,2)两点距离之和的最小值．将点A(1,1)关于x轴对称，得A′(1，－1)，连接A′B交x轴于点P，则线段A′B的值就是所求的最小值，即|A′B|＝1－32＋－1－22＝13.答案：13高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书2．(2015·长春模拟)已知函数f(x)＝ax2＋bx－1(a，b∈R且a0)有两个零点，其中一个零点在区间(1,2)内，则ba＋1的取值范围为________．高考专题辅导与测试·数学创新方案系列丛书[解析]因为a0，所以二次函数f(x)的图象开口向上，又因为f(0)＝－1，所以要使函数f(x)的一个零点在区间(1