第六章 杨辉三角问题

浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆1第六章杨辉三角问题浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆2(2004年上海市普通高校春季高考数学试卷第11题)如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为2:3.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………………………一.引入高考问题杨辉是谁?什么叫杨辉三角形?浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆3解读:杨辉是中国南宋末年的一位杰出的数学家、数学教育家。字谦光，钱塘（今杭州）人。杨辉的数学著作甚多,有《日用算法》《杨辉算法》等.杨辉杨辉三角是杨辉的一大重要研究成果，它的许多性质与组合的性质有关，杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。古今中外，许多数学家如贾宪、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于实践。二.杨辉简介浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆411112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………这个表就称为杨辉三角三.什么叫杨辉三角?浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆5四.这个表出自何处？这样的表，最早出现在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算术》一书中。在这本书里，记载着类似下面的表：浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆6浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆7历史证明，“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算术》一书中，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪．然而，在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的,他们把这个表叫做帕斯卡三角．其实，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右.浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆8五.杨辉三角基本性质1.三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加2.杨辉三角具有对称性（对称美），与首末两端“等距离”的两个数相等3.所有行的第二个数构成等差数列11112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………讨论浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆911112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………所有行的第二个数构成等差数列浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆1011112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………2)1(nnan三角形数4.第三斜行的规律浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆1111112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………5.与数字11的幂的关系111ny011111211311浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆1211112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………6.与数字2的幂的关系12ny02122232++++++杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂。浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆13（a+b)1=（a+b)2=（a+b)3=（a+b)4=（a+b)5=（a+b)6=1a+1b1a2+2ab+1b21a3+3a2b+3ab2+1b31a4+4a3b+6a2b2+4ab3+1b41a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+1b51a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+1b6111211331146411510105116152015617.与二项式展开式系数的关系（a+b)n展开式的系数就是杨辉三角的第n+1行写一写浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆14右边的多项式叫做(a+b)n的二项展开式Cnkan-kbk：二项展开式的通项,记作Tk+1Cnk：二项式系数(k∈{0,1,2,‥·n})(a+b)n＝Cn0an＋Cn1an-1b＋Cn2an-2b2＋‥·＋Cnkan-kbk＋‥·＋Cnnbn(n∈N*)Tk+1=Cnkan-kbk(k∈{0,1,2,‥·n})二项式系数为Cn0，Cn1，Cn2，…Cnk,…,Cnn.就是杨辉三角的第n+1行的数字.重要性质：（每年必考）浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆15第1行1第6行15101051第2行11第3行121第4行1331第5行14641第7行1615201561第8行172135352171第9行18285670562881……11121nnrnnncccc第n+1行浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆1611112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………8.斜行和水平行之间的关系n行中的第i个数是斜行i-1中前n-1个数之和第1行第6行第2行第3行第4行第5行第7行浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆171111211331146411510105116152015619.斐波那契数列112358换一角度“斜”向看：斜线的和依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，．．．a1=1,a2=1,a3＝2，……有：an=an-1+an-2(n≥3)浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆18斐波那契数与植物花瓣3……百合和蝴蝶花5…蓝花、耧[lóu]斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛[gèn]花8………………………翠雀花13………………………金盏和玫瑰21……………紫宛34、55、89……………雏菊浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆19同学们，杨辉三角中还有很多奥秘等待你们去探索、发现！浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆20(2004年上海市普通高校春季高考数学试卷第11题)如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角形中，第_____行中从左至右第14与第15个数的比为2:3.第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641第5行15101051………………………………n=34解决高考问题浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆21高考模拟题浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆22高考模拟题浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆232007年高考浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆24多浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆25高考模拟题浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆26浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆27【2010年高考浙江卷理科数学试题】（19）如图，一个小球从M处投入，通过管道自上面下落到A或B或C，已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖.（I）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%，记随机变量为获得k(k=1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量的分布列及数学期望（II）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求.(2)PE浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆28（Ⅰ）解：由题意得的分布列为则（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，获得1等奖或2等奖的概率为由题意得则337350%70%90%.168164EP90%70%50%31638716339.168169(3,)16B221991701(2)()(1).16164096PC33浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆2911112113311464115101051161520156117213535217118285670562881193684126126843691………………………………1.在弹球游戏中的应用六.杨辉三角的实际应用浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆30弹球游戏，小球向容器内跌落，碰到第一层挡物后向两侧跌落碰到第二层阻挡物，再向两侧跌落第三层阻挡物，如此一直下跌最终小球落入底层。根据具体地区获的相应的奖品（AG区奖品最好，BF区奖品次之，CE区奖品第三，D区奖品最差）。ABCDEFG在弹球游戏中的应用浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆31华罗庚是这样解释：钢珠从每一通道通过的可能情况是：任何一层的左右两边的通道都只有一个可能情形，而其他任一个通道的可能情形，等于它左右肩上两个通道的可能情形相加。于是，钢珠通过每一层每个通道的可能情形是：第五层14641第一层1第二层11第三层121第四层1331………浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆321第五层14641第一层1第二层11第三层121第四层1331………212141424181838381321324326324325321641646641564206415646641ABCDEFG?????浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆332.纵横路线图的实际应用“纵横路线图”是数学中的一类有趣的问题．图1是某城市的部分街道图，纵横各有三条路，如果从A处走到B处(只能由北到南，由西向东)，那么有多少种不同的走法？A图1B提示:我们把图顺时针转45度，使A在正上方，B在正下方，然后在交叉点标上相应的杨辉三角数．B处的杨辉三角数与A到B的走法有什么关系?．浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆34结论：有趣的是，B处所对应的数6，正好是答案(6)．一般地,每个交点上的杨辉三角数，就是从A到达该点的方法数．由此看来，杨辉三角与纵横路线图问题有天然的联系AB111112336AB追问：纵横各有五条路呢？ABDC浙江省丽水中学李勇伟☆数学文化与数学高考☆35启示:杨辉三角是数学文化的重要内容,上述问题都以此为背景，同学们，你们说：要重视吗？早在上世纪80年代初，陈省身就响亮地提出“陈省身猜想”:在21世纪中国将成为数学大国！希望同学们为实现中国的数学大国梦而不断努力.