曲线与曲面的生成与计算(1)

2020年2月6日西安工程大学数学系1第6章曲线与曲面的生成与计算6.1曲线的参数表示6.2Bezier、B样条曲线的生成6.3曲面的参数表示6.4Bezier、B样条曲面的生成6.5上机实验:绘制Bezier、B样条曲线、曲面主要内容：2020年2月6日西安工程大学数学系2曲线和曲面是计算机图形学中研究的重要内容之一，它们在实际工作中有着广泛的应用。例如：实验、统计数据如何用曲线表示。设计、分析、优化的结果如何用曲线、曲面表示。汽车、飞机等具有曲面外形的产品怎样进行设计，才能使之美观且物理性能最佳。由于实际问题不断对曲线、曲面有许多新的要求，近二十年来，有关曲线曲面的研究文章、专著层出不穷。在实际工作中，人们常用曲线有Bezier、B样条、非均匀有理B样条(Nurbs)、圆锥曲线、等距线、过度线等；常用的曲面有Bezier曲面、B样条曲面、Coons曲面等。2020年2月6日西安工程大学数学系3在本章中，我们将主要介绍曲线曲面的参数表示、Bezier、B样条曲线以及Bezier、B样条曲面的概念和特征。在具体讲述上面知识之前，有必要了解一下如下几个概念的区别和联系。1曲线绘制：这类问题归结为已知曲线方程，要求画出曲线；2曲线拟合：由实验或观测得到一批数据点，要求用一个函数近似地表明数据点坐标间的关系，并画出函数图象（曲线）。3曲线插值：由实验、观测或计算得到了若干个离散点组成的点列，要求用光滑的曲线把这些离散点连结起来。（注：曲线插值与曲线拟合的区别：拟合不要求曲线通过数据点）2020年2月6日西安工程大学数学系44曲线逼近：在曲线形状设计中，给定了折线轮廓，要求用一曲线逼近这个折线轮廓，这类问题称为曲线逼近。如下图－4.1所示:注：上述各类问题都要求画出曲线，不同的是，第1类问题中曲线的方程为已知，而第2、3、4类问题则需要首先找出或构造出曲线的方程，再根据曲线的方程画出曲线。图－4.12020年2月6日西安工程大学数学系56.1曲线的参数表示曲线、曲面可以有显式、隐式和参数表示，但从计算机图形学和计算几何的角度来看，还是使用参数表示较好，因为采用参数方法表示曲线和曲面，可以将其形状从特定坐标系的依附性中解脱出来，很容易借助计算机得以实现。一个动点的轨迹可以用位置向量P来描述，如下图所示：XYZ0u1u2u)1(up)2(up注：这里讨论的动点轨迹是在三维空间中所表示的曲线，平面轨迹曲线只是一种特殊情况。2020年2月6日西安工程大学数学系6向量P与时间t有关：P=P(t),就是说P是时间t的函数。用坐标表示为：)()()(tzztyytxx若把参数t换成一个普通意义的参数u，则曲线的参数形式为：])()()([uzuyuxP例如：是一条空间曲线的参数形式。31[0,1]23xuyuuzu注：这是一条以点(0,1,3)为起点，(3,2,5)为终点的线段2020年2月6日西安工程大学数学系7每个u值对应一组(x,y,z)值，即对应曲线上一点。故曲线的参数形式为：]1,0[)()()(uuZzuYyuXx从下图可以看出，曲线的端点在u=0,u=1处，参数曲线上的任一点可用矢量P(u)表示：XYZ0)(up0p0p1p1p)(up注：为该点的切矢量，其分量形式为)(uPduudPuP/)()(duudZzduudYyduudXx/)(/)(/)(2020年2月6日西安工程大学数学系8Bezier曲线和B样条曲线都是一种自由曲线。自由曲线是指一条无法用标准代数方程来描述的曲线。在实际中，自由曲线应用十分广泛，比如轮船身外形放样时的样条曲线，汽车、飞机及各种产品的外形曲线都可以看成是自由曲线。计算机产生这种曲线的方法通常有两类：（1）插值的方法：要求生成的曲线通过每个数据点，即型值点。曲线插值方法有多项式插值、分段多项式插值和样条函数插值等。（2）拟合的方法：要求生成曲线靠近每个数据点（型值点），但不一定要求通过每个点。拟合的方法一般有最小二乘法、Bezier方法和B样条方法等。下面主要介绍工程上流行应用的Bezier曲线和B样条曲线。6.2Bezier、B样条曲线的生成2020年2月6日西安工程大学数学系9Bezier曲线是由法国雷诺汽车公司的P.E.Bezier于20世纪70年代初为解决汽车外型设计而提出的一种新的参数表示法，这种方法的特点是：控制点的输入与曲线输出之间的关系明确，使设计人员比较直观地估计给定条件与设计出的曲线之间的关系。当设计人员（用户）使用交互手段改变输入控制点，就能很方便地在屏幕上改变拟合曲线的形状与代表它的多项式的次数以迎合设计要求。Bezier曲线是指用光滑参数曲线段逼近一折线多边形，它不要求给出导数，只要给出数据点就可以构造曲线，而且曲线次数严格依赖确定该段曲线的数据点个数。6.2.1贝塞尔（Bezier）曲线2020年2月6日西安工程大学数学系10曲线的形状依赖于该多边形的形状，即由一组多边折线（该多边折线称为特征多边形）的顶点唯一地定义出来，且只有该多边形第一个顶点和最后一个顶点在曲线上。Bezier曲线及其特征多边形如下图三次Bezier曲线和特征多边形注：上图是由四个控制点形成的三次Bezier曲线，曲线的形状依附于该特征多边形的形状。且特征多边形的第一条边线和最后一条边线分别表示曲线在第一个顶点和最后一个顶点的切线方向2020年2月6日西安工程大学数学系11Bezier曲线分为开放型和封闭型两类：首尾控制点不想同为开放型，首尾控制点想同为封闭型。如下图-4.5所示：1p2p3p4p5p6p7p封闭型Bezier曲线1p2p3p4p开放型Bezier曲线图-4.5Bezier曲线的类型2020年2月6日西安工程大学数学系12（1）Bezier曲线的定义Bezier曲线是由一组折线来定义的，且第一点和最后一点在曲线上，第一条和最后一条折线分别表示出曲线在起点和终点处的切线方向。Bezier曲线通常由特征多边形的n+1个顶点定义一个n次多项式，即给定空间n+1个点的位置矢量Pi（i=0，1，2，…，n），则Bezier参数曲线上各点坐标的参数方程式(插值公式)是：其中参数t的取值范围为[0,1],i是有序集0~n中的一个整数值，表示顶点顺序号。n是多项式次数，也是曲线次数。2020年2月6日西安工程大学数学系13通常由n+1个顶点确定的曲线为n次曲线。在上述（4－1）中，Pi是特征多边形第i个顶点的坐标（xi,yi）,是伯恩斯坦（Bernstein）多项式，称为n次Bernstein基函数，定义如下：14]1,0[)()(0,ttBPtPninii)(,tBni1!0,10)!(!!0ininCin其中：2020年2月6日西安工程大学数学系14性质1：正性（2）Betnstein基函数的性质性质2：端点性质iniinnittCtB)1()(,性质3：权性Pr:由二项式定理可知：1])1[()1()(00,ninininiinnittttCtB2020年2月6日西安工程大学数学系15性质4：对称性)()1()]1(1[)1()1(,)(,tBttCttCtBniiniininnininnnin因为性质5：递推性即高一次的Betnstein基函数可以由两个低一次的Betnstein调和函数线性组合而成。)()()1()1()1()1()1()()1()(1,11,)1()1(111)1(1111,ttBtBttttCttCtttCCttCtBniniiniininiininiinininiinni2020年2月6日西安工程大学数学系1611,1(1)(1)(1)1,1,1!()[(1)()(1)]!()!(1)!(1)(1)![(1)(1)]!(1)!(1)![(1)]![()()]iniiniininiiniininnBtitttnitininnttininnttininBtBt性质6：导函数nitBtBntBninini,,1,0)],()([)(1,1,1,因为将对参数t求导得：iniinnittCtB)1()(,11inC2020年2月6日西安工程大学数学系17性质7：最大值11,!()[(1)()(1)]0!()!iniiniinnBtitttnitiniiniinnittCtB)1()(,在处达到最大值nitnitintitntititintittintitiinini00)()1(0])1)(()1([11性质8：积分11)(10,ndttBni2020年2月6日西安工程大学数学系18（3）Bezier曲线的性质性质1：端点及端点切线1.Bezier曲线的起点和终点分别是特征多边形的第一个顶点和最后一个顶点。niniitBPtP0,)()(由式子可得出Bezier曲线两端点的值0,,110,001,)0()0()0()0()0(0PBPBPBPBPPtnnnnninii时，nnnnnniniiPBPBPBPBPPt)1()1()1()1()1(1,,110,001,时，这说明，Bezier曲线必须通过特征多边形的起点和终点其他)0(01)0(,iBni其他)(01)1(,niBni2020年2月6日西安工程大学数学系192.Bezier曲线在起点和终点处的切线分别是特征多边形的第一条边和最后一条边，且切矢的模长分别为相应边长的n倍。由Bezier基函数的导函数性质可知，对求导可得：niniitBPtP0,)()()()()]()()()()()[()]()([)()(1,1111,111,1121,00101,1,10,tBPPntBPPtBPPtBPPntBtBPntBPtPniniiinnnnnnnininiininii于是在起始点，其余项均为0，故有1)0(,01,0nBt0101)0(),()0(PPnPPPnP且2020年2月6日西安工程大学数学系20在终止点，其余项均为0，故有1)1(,11,1nnBt11)1(),()1(nnnnPPnPPPnP且例如：如下图所示，对于四次Bezier曲线，n=4有1.Bezier曲线的起点和终点分别是特征多边形的第一个顶点和最后一个顶点2.Bezier曲线在起点和终点处的切线分别是特征多边形的第一条边和最后一条边，且切矢的模长分别为相应边长的n倍。0P1P2P3P4P上述说明：Bezier曲线的起点和终点处的切线方向和特征多边形的第一条边及最后一条边的走向一致。2020年2月6日西安工程大学数学系21性质2：对称性假如保持n次Bezier曲线诸顶点的位置不变，而把次序颠倒过来，即下标为i的点改为下标为n-i的点，则此时曲线仍不变，只不过是曲线的走向相反而已如下图所示。0P1P2P3P4P*04PP*13PP*22PP*31PP*40PP2020年2月6日西安工程大学数学系22这一性质证明如下。由伯恩撕坦多项式可以导出：)1()1()!(!!)(,,tBttinintBnininini记次序颠倒以后的顶点为，则有niPPini,,2,1,0*iP*此时，由控制顶点，构造出新的Bezier曲线为，则iP*]1,0[)1()()1()1()()1()1()()()(0,0,,0,0,0,0**