9 拓扑优化方法

结构优化与材料优化第一节概述第二节结构优化设计的准则法第三节结构的拓扑优化方法第五节柔性机构优化设计第四节功能材料优化设计第六节结构多学科设计优化第一节概述结构轻量化，提高有效载荷是飞行器设计者追求的永恒主题。随着计算技术、材料科学、制造技术的飞速发展，传统的设计、制造方法及结构形式已无法满足先进结构性能与功能的要求，独特的服役力学环境对结构设计提出了前所未有的基础科学问题。事实表明，火箭或人造卫星的结构重量每减少一公斤，将获得整体重量减少一百公斤的增量系数；近年来，复合材料，蜂窝层板及泡沫材料等轻质结构由于其抗冲击、减震、吸能、隔音、散热等优越性能而受到普遍的关注，在先进飞行器设计中应用日益广泛,而这些优异特性的根本在于进行结构优化设计和材料优化设计。结构优化设计结构尺寸优化设计结构构型优化设计结构形状优化设计在结构构型和结构形状不变的条件下，对各处结构尺寸（大小）进行优化设计，采用准则法或规划法。在材料性质和设计区域给定的条件下，对用量和分布情况进行优化设计，采用拓扑优化方法。在结构构型和材料性质不变的条件下，对各结构形状进行优化设计，采用结构优化设计分类结构尺寸优化设计结构构型优化设计结构形状优化设计结构优化设计的数学描述具有有限维的结构，其结构优化设计的数学模型的一般形式为()()KXZFX()()KXYMXYmin(,,)fXZ结构优化的约束条件结构优化的目标函数静力平衡条件固有频率条件(,)0scXZ()0cZ应力约束条件位移约束条件()0dcX()0Wc几何边界条件屈服约束条件XZ设计变量位移变量频率变量第二节结构优化设计的准则法1.基于满应力的准则法对于由n个杆件组成的桁架结构，其满应力条件为不同于常规的数学规划，而是直接从结构力学的强度条件出发，认为构件中的应力达到许用应力时，结构的重量最轻，故不需要目标函数，只需构造一种迭代模式，使结构尺寸不断减小，而应力向许用应力靠近。由此可构造如下的迭代公式1,2,,iiiFinA()(1)()1,2,,kkkiiiiAAin对于结构优化设计问题：nfXXRmin()()01,2,,..ugXtpsu0puuuiigfi=1,2,,nxx极值点X*应满足的Kuhn－Tucker条件由此可构造如下的迭代公式(1)()()()kkkiipkuuuiixcxi=1,2,,ngc1fxx1－其中＝－为小于的因子2.基于K－T条件的准则法0puuuiigfi=1,2,,nxx(1)()()kkkiixcxi=1,2,,npuuuiigfi=1,2,,nxx(1)(1)puuuiigfi=1,2,,nxxpuuuiig1=c1fxx1－＝－为小于的因子对于结构优化设计问题：极值点X*应满足的Kuhn－Tucker条件3.基于能量的准则法220min()..0nrWfXXRstX20rriiWxx1niiiiWxlKYMY211,2,,rriixinWx结构频率关于设计变量的敏度分析KYMYiiiiiKYMYYKYMMYxxxxxTTTTTiiiiiYYKMYMYYMYMYYYYxxxxx22TTTrrirrrrriiiKMYMYYYYYxxx22TrrrriiiKMYYxxx对于杆系结构，若取杆件截面面积为设计变量，则目标函数关于设计变量的敏度分析1,2,,iiiWlinx21rriixWx1niiiiWxl21122TTrirrririiiYKYYMYxl常数上式左端分子第一项为单元I的应变能，第二项为单元I的动能，分母为单元I的质量，上式说明，具有频率约束的最小重量结构，其各单元的应变能密度（单位质量的应变能）与动能密度之差为同一常数21122TTrirrririiiYKYYMYxl常数ei＝单元i的应变能密度（单位质量的应变能）与动能密度之差则有，两边乘以，则有21iea2ix(1)()kkiiixaex拓扑优化方法，简单地说，就是在一个给定的空间区域内，依据已知的负载或支承等约束条件，解决材料的分布问题，从而使结构的刚度达到最大或使输出位移、应力等达到规定要求的一种结构设计方法，是有限元分析和优化方法有机结合的新方法。第三节结构的拓扑优化方法一、拓扑优化的历史拓扑优化的研究是从最具代表性的桁架开始的，拓扑优化理论的解析方法可追溯到由Michel提出的Michel桁架理论。直到1964年Dorn、Gomory、Greenberg等人提出了基结构法，将拓扑优化引入到数值计算领域，使其克服了Michel桁架理论的局限性，重新使拓扑优化的研究活跃起来。连续体结构拓扑优化方法由于其优化模型描述方法的困难以及数值优化算法的巨大计算量而发展缓慢,其蓬勃发展的起点以1988年kikuchi和bendsoe等人提出的均匀化算法(TheHomogenizationMethod)为标志。正是由于kikuchi和bendsoe的介绍后,拓扑优化方法在学术界得到了广泛地普及,并应用到材料设计、机构设计、ＭＥＭＳ器件设计、柔性微机构的设计和别的更复杂的结构设计中。二、拓扑优化方法求解问题拓扑优化方法既能够求解静态结构优化问题,也能够求解结构的动力学问题;既能够求解单目标优化问题,也能够求解多目标优化问题;既能够求解单约束问题,也能够求解多约束问题;既可以求解单一物理场的结构设计问题,也可以求解多物理场的结构设计问题;既可以求解单一材料的结构设计问题,也可以求解多种材料复合的结构设计问题。三、拓扑优化一般过程在给定的荷载和边界条件下，定义设计区域，称为初始设计域；采用某种物理模型，将设计区域离散成足够多的子设计区域，确定设计变量；对这若干个子设计区域进行结构分析和灵敏度分析，建立设计变量与结构位移、应力、频率等关系，从而形成目标函数和约束条件；按某种优化策略和准则从这若干个子设计区域中删除某些单元，用保留下来的单元描述结构的最优拓扑。四、拓扑优化方法分类从其物理模型的描述方法上一般分为基结构法(TheGroundStructuralMethod)均匀化方法(TheHomogenizationMethod)渐进结构优化方法(TheEvolutionaryStructuralOptimization)相对密度法(TheArtificialMaterialsMethod)从其优化问题的求解方法上一般分为优化准则法OptimalityCriteria(OC)methods序列线性规划法SequentialLinearProgramming(SLP)methods序列二次规划法SequentialQuadraticProgramming移动渐进法MethodofMovingAsymptotes(MMA)五、基结构法基结构法主要是依据桁架结构优化设计原理提出的，将设计域划分为许多子域，然后用杆单元连接各节点，将杆单元直径作为设计变量。六、均匀化方法均匀化方法的基本思想是在组成拓扑结构的材料中引入微结构，优化过程中以微结构的几何尺寸作为设计变量，以微结构的消长实现其增删，并产生介于由中间尺寸微结构组成的复合材料，从而实现了结构拓扑优化模型与尺寸优化模型的统一。图1所示为矩形孔微结构模型，实体占有的区域为:Ωｓ=∫Ω(1-ab)ｄΩ，0≤a≤1,0≤b≤1其中Ω是设计区域，Ωｓ是实体区域。每个微结构体有各自的坐标轴,所以必须考虑其旋转角θ，如果一个设计区域被分成Ｎ个有限单元,则将有3Ｎ个设计变量。qab11材料用量。基于均匀化方法的拓扑优化模型设计变量以微结构的几何尺寸a,b作为设计变量，每个微结构体有各自的坐标轴,所以须考虑其旋转角θ,如果一个设计区域被分成Ｎ个有限单元,则将有3Ｎ个设计变量。如果某个微结构的尺寸大到整个单胞边界，表示该单胞处无材料，如果某个微结构的尺寸小到一个点，表示该单胞处有材料。约束条件对于静态问题：目标函数可是极小化平均变形目标函数对于动态问题：目标函数可是极大化固有频率HDcV为单元应变,为由均匀化方法求得的应力－应变矩阵,为单元材料填充率,为材料体积约束量1min2..VTHcDdstd静态优化设计模型HTeeeeKDBBddd此时，单元的刚度灵敏度计算公式为eeBKd为单元应变－变形矩阵,为单元刚度矩阵,为单元的设计变量。max..Vmcstdmm11mimmiiiiii式中，为平均固有频率，设前阶固有频率为，引入权系数,即有/动态优化设计模型HTTeeeeeeeeKDKBBdNNddddd此时，单元的刚度和质量的灵敏度计算公式为eiN上式中为单元形状函数,为振型,为单元密度。2211lTmmiiiiiiliiiiwKMdddddw此时，平均频率的灵敏度计算公式为其中均匀化理论其基本思想是:将结构看成是含单一微结构的单胞在板平面内周期重复构造而成的，并且在宏观和细观两种尺度上描述总体结构的位移和应力。总体结构的位移和应力可展开成关于两种尺度之比ε(0ε1)的渐近展开式。建立两种尺度坐标x和y,其中y=x/ε，这样弹性问题的各物理量都可描述成两种尺度坐标的函数。φε(x)=φ(x,y)=φ(x,y+Y)式中:上标ε表示考虑了细观结构的影响，由于细观结构的周期性特征，φε是关于y的周期函数,且周期函数的周期为Y。σεij,j+fi=0σεij=Dεijkleεkleεij=(uεi,j+uεj,i)/2i,j=1,2,3;k,l=1,2,3结构物理量的描述平衡方程本构关系几何方程物理量可描述成两种尺度坐标的函数，即有这样弹性问题的基本方程可表示为注：下标“,j”表示对坐标j求导将位移uε(x)按渐近展开为小参数ε的渐近级数uε(x)=ε0u0(x,y)+ε1u1(x,y)+ε2u2(x,y)+⋯(3)代入式(2)，经过推导可得到结构的有效弹性常数的计算公式为式中:Ω2表示单胞的求解区域；χpkl是细观均匀化问题的周期解，即有当对均匀化理论问题的方程采用有限元求解时,式(4)可以写成相应地,式(5)可以写成式中:B为几何矩阵;D为弹性矩阵只与材料的性质相关。对初始设计域划分网格，加上周期性边界条件，利用式(7)即可求出χ，将求出的χ代入到式(6)中，即可求出材料的弹性矩阵DH,这样就可以算出结构的有效弹性常数，即有效弹性模量E*和有效泊松比υ*。基于均匀化方法的拓扑优化存在问题虽说连续体结构拓扑优化问题已经达到了一个相对成熟的程度，但不管其成熟程度如何，仍存在着一些数值计算上的不稳定问题，如棋盘格式问题(Checkerboards)中间密度材料网格依赖性问题(Meshdependencies)局部极值问题(Localminima)针对这些问题，虽然提出了一些解决方法，如松弛法、控制法、滤波器法等，但探寻可靠、有效的拓扑优化求解方法仍将是今后拓扑优化领域中亟待解决的问题。七、相对密度法相对密度法是结构拓扑优化中另一较为有效的物理描述方法,它是受均匀化方法的启发而产生的。其基本思想是不引入微结构,而是引入一种假想的相对密度在0～1之间可变的材料。它吸取了均匀化方法中的经验和成果,直接假定设计材料的宏观弹性常量与其密度的非线性关系。ｐ0和Ｅ0分别是均质实体的密度和弹性矩阵。设计变量为密度和弹性矩阵为此方法虽然解决了离散函数的求解困难问题，但是在优化过程中却产生了许多介于0和1之间的单元。这种结构制造困难,并且