正弦交流电有效值的证明

正弦交流电有效值的证明第1页共2页正弦交流电有效值的证明证法一：假设有两个交变电压其最大值与周期均相同，瞬时值表达式分别为u1=Mmsinωt、u2=Umcosωt,其中，ω=2π/T,把它们分别加在两个阻值相同的电阻上，设电阻的阻值为R，由于电流的热效应与电流的方向及先后作用的时间顺序无关，故在一个周期内两个交流电产生的热量相等，设都为Q，产生的总热量Q总=2Q。在任一时刻t，这两个电阻上的热功率分别为2211sinmUtuPRR，2222cosmUtuPRR.两个电阻上总的发热功率为222212sincosmmUttUPPPRR。可见两个电阻上总的发热功率是一个定值，与时刻t无关，所以在一个周期内两个电阻上总的发热量为2mUQPTTR.用一个恒定电压为U的电源，分别给两个相同的电阻R供电，在相同时间T内，每个电阻产生的热量是Q=2UTR，两个电阻产生的总热量为Q=22UTR.由热效应的等效可知222mUUTTRR。可得2mUU。而这个恒定电流的电压U就是正弦交变电流的电压的有效值。电流、电动势有效值可同法证得。证法二：设流过定值电阻R的电流按正弦规律变化，即i=Imsinωt,交流电的瞬时功率为p=i2R=Im2Rsin2ωt.因为21cos2sin2tt代入得2211cos222mmpIRIRt。上式中，后一项在一个周期内平均值为零，因此在一个周期内交流电平均功率为：212mPIR(为最大瞬时功率的一半)如果考虑一个恒定电流I与其等效，即P=I2R，就有P=P，即2212mIRIR，所以2mIIu2OUm-UmTttO-UmTt正弦交流电有效值的证明第2页共2页证法三：（积分法）设流过定值电阻R的电流按正弦规律变化，即i=Imsinωt.因为时刻t瞬时功率p=i2R=Im2Rsin2ωt，则一个周期内电阻R上产生的热量为Q=0Tpdt.因为21cos2sin2tt代入得2211cos222mmpIRIRt,代入上式有：220011cos222TTmmQIRdtIRtdt。由于第二项积分为零，所以Q=212mIRT。如果有一个恒定电流I与其等效，即2QIRT，就有QQ，即2212mIRTIRT所以有2mII