72中心极限定理

第五章随机变量序列的极限概率论的基本任务是研究随机现象的统计规律性.引进随机变量之后,我们集中研究了随机变量取值的统计规律性.在一个具体问题中,这种统计规律性往往通过大量的重复观测来体现,对大量的重复观测作数学处理的常用方法是研究极限.§5.1大数定律lawoflargenumbers在§1.3中,我们曾经提到频率的稳定性.设随机事件A的概率P(A)=p,在n重贝努利试验中事件A发生的频率为.当n很大时,将与p非常接近.由nfA验可能取不同的值,因而需要对随机变量序列引进新于本质上是一个随机变量，它随着不同的n次试nfA的收敛性定义.定义5.1依概率收敛设是一个随机变量序列.如果存在一个常数c12,,XX使得对任意一个正数,总有lim1nnPXc记作:则称随机变量序列依概率收敛于c12,,XXPnXc定理5.1,,PPnnXaYb如果且函数,gxy在,ab处连续,则,,PnngXYgab下面,考虑频率的稳定性定理5.4贝努里大数定律设是一个随机变量序列.且每一个随机变量12,,XX都服从0-1分布,则1,BpPXp证明关键步骤:1,1EXpDXppn定理5.3独立同分布情形下大数定律设是一个独立同分布的随机变量序列.且12,,XX证明关键步骤:21,EXDXn2,.EXDXPX则定理5.2切比雪夫大数定律设是两两不相关的随机变量序列.且12,,XX方差一致有界.则1111nnPiiiiXEXnn证明关键步骤:1111nniiiiEXEXnn2112121111cov,nniiiiniiijDXDXnnDXijncncnnXX§5.2中心极限定理在数理统计中经常要用到n个独立同分布的随机变量1niiX12n,,,XXX的和的分布,但要给出其精确分布有时很困难.正态分布具有可加性，若212,,iid,,niXXXXN则:21,niiXNnn标准化后得120,1niiXnNn因此:1niiXnPbbn定理5.5独立同分布的中心极限2,01,2,,iiEXpDXi则对任意的有,xx1lim.niinXnpPxxn12,,,,nXXX设是独立同分布的随机变量序列,且1niiPaXb应用当充分大时n12niiXnanbnPnnnbnannn例1某人要测量甲、乙两地的距离,限于测量工具,他解设第段的测量误差为所以累计误差为i,iX12001,iiX又为独立同分布的随机变量,由121200,,,XXX0.5,0.5iXR得分成1200段进行测量,每段测量误差（单位:厘米）服从0.5,0.5区间上的均匀分布,试求总距离测量误差的20绝对值超过厘米的概率.10,,1,2,,1200.12iiEXDXi由独立同分布情形下的中心极限定理:1120201120012niniiiXnPXPn112niiXnPn1222120.0456.定理5.5中限定条件得到如下定理5.6定理5.61,nniiYX则对任意的有,xx221lim,21txnnYnpPxedtnpp即当充分大时,近似服从标准正态分布.n1nYnpnpp1,,iXBp随机变量序列,且令12n,,,XXX设是一个独立同分布的例2.在次品率为1/6的一大批产品中,任意取出300件产品,利用中心极限定理,计算抽取的产品中次品数在40到60之间的概率.解以表示300件产品中次品的总数,由题意得nY1300,,6nYB此时,25050,1,6npnpp由中心极限定理得405060504060250/6250/61nYnpPXPnpp1.551.5521.5510.8788.例3.有一批钢材,其中80%的长度不小于3m,现从钢材中随机取出100根,试利用中心极限定理求小于3m的钢不超过30根的概率.解以为100根钢材中小于3m的钢材根数,由题意知:nY100,0.2,nYB20,116,npnpp则0203020030441nnYnpPYPnpp2.550.9938.例4.设一个车间有400台同类型的机床,每台机床需用解令表示在时刻时正在开动的机器数,则可以表nYtnY示在400次相互独立的重复实验试验中事件“”发生的次A0.75,pQ电瓦,由于工艺关系,每台机器并不连续开动,开动的3/4,时候只占工作总时间的问应该供应多少瓦电力能99%的概率保证该车间的车床能正常工作.（假定在工作期内每台机器是否处于工作状态是相互独立的）.数,由前面所讨论的知:及因由中心极限定理知,对400,0.75,nYB400,n,1npYnpPxxnp由条件所设,所求的概率为0.99.x而为标准正态分布的分布函数,查表得x2.326.x,x任意的有即:2.3260.99.1pXnpPnp从而33002.326204X30020320.即:只要供应瓦的电力,就能以99%的把握保证该320Q车间的机器能正常工作.例5.为了测定一台机床的质量,将其分解成若干个部件1,1.iXR解以表示第个部件的称量误差,设分成n个部件iXi从而210,,3kg来称量.假定每个部件的称量误差（单位:）服从区1,1间上的均匀分布,且每个部件的称量是独立的,试问至多分成多少个部件才能以不低于99%的概率保证机床的称量总误差的绝对值不超过10.11100103niniiiXnPXPnn100210.993n0.9951002.5763un2103452.576n所以例6.某单位有200台分机,每台使用外线通话的概率为15%,若每台分机是否使用外线是相互独立的,问该单位至少需要装多少多少条外线,才能以95%的概率保保证每台分机能随时接通外线电话.解以表示在时刻使用的外线数,则nYt200,0.15.nYB此时有30,125.5.npnpp若以表示安装的外N线数,则分机能使用外线意味着此时有.nYN由中心极限定理得:300.95,25.51nnYnpNPYNPnpp查表得:301.645,25.5N即:38.3068,N所以可取39N方能以95%的把握保证在该时刻分机可以使用外线.作业:习题五6,8,10