工科概率统计1-3

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念第三节条件概率独立性一、条件概率与乘法公式二、全概率公式与Bayes公式三、事件的独立性概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念引例袋中有7只白球,3只红球,白球中有4只木球,3只塑料球;红球中有2只木球,1只塑料球.现从袋中任取1球,假设每个球被取到的可能性相同.若已知取到的球是白球,问它是木球的概率是多少？设A表示任取一球，取得白球；B表示任取一球，取得木球.一、条件概率与乘法公式古典概型概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念所求的概率称为在事件A发生的条件下事件B发生的条件概率。记为ABP解列表白球红球小计木球426塑球314小计731074ABPABABkk4AAkn7)()(APABP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念)()(APABP从而有AABkkABP7410/710/4nknkAAB)(/)(APABP1、定义设A、B为两事件,P(A)0,则称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率，记为ABP)()(APABP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念（1）古典概型可用缩减样本空间法（2）其他概型用定义与有关公式条件概率的计算方法概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念条件概率也是概率,故具有概率的性质：0)(ABP1)(AP11iiiiABPABP非负性归一性可列可加性)()()()(212121ABBPABPABPABBP)(1)(ABPABP)()()(21121ABBPABPABBP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念利用条件概率求积事件的概率即乘法公式)0)(()()(APABPAPABP)0)(()()(BPBAPBPABP推广)0)(()()(12112112121nnnnAAAPAAAAPAAPAPAAAP2、乘法公式概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8,能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率解令A灯泡能用到1000小时B灯泡能用到1500小时所求概率为)()(APABPABPAB218.04.0)()(APBP例1.例1概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念例2.盒中装有5个产品,其中3个一等品，2个二等品,从中不放回地取产品,每次1个,求（1）取两次，两次都取得一等品的概率;（2）取两次，第二次取得一等品的概率;（3）取三次，第三次才取得一等品的概率;（4）取两次，已知第二次取得一等品，求第一次取得的是二等品的概率.解令Ai为第i次取到一等品（1）1034253)()()(12121AAPAPAAP例3概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念(3)213121321)(AAAPAAPAPAAAP101334152提问：第三次才取得一等品的概率,是?)()(321213AAAPAAAP还是（2）直接解更简单5/3)(2AP)()()()(212121212AAPAAPAAAAPAP（2）5342534352概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念(4))()()()()(221222121APAAPAPAPAAPAAP5.0153103例3为了防止意外,矿井内同时装有A与B两两种报警设备,已知设备A单独使用时有效的概率为0.92,设备B单独使用时有效的概率为0.93,在设备A失效的条件下,设备B有效的概率为0.85,求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念设事件A,B分别表示设备A,B有效85.0ABP92.0AP93.0BP已知求BAP解例4由)(1)()(APABPBPABP08.0)(93.085.0ABP即862.0)(ABP故988.0862.093.092.0)()()()(ABPBPAPBAP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念解法二BAP988.0)(BAP)()()(ABPAPBAP012.085.0108.0)(1)(ABPAP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念1.完备事件组(样本空间的划分)niiA1nAAA,,,21nAAA,,,21若两两互斥，且则称为完备事件组1AnA1nA2A3A二、全概率公式与Bayes公式概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念B1BnAB1AB2ABnjiniiBBB1))((1jiniiABABABAniiABPAP1)()()()(1iniiBAPBP全概率公式ABayes公式)(ABPk)()(APABPkniiikkBAPBPBAPBP1)()()()(2、全概率公式与Bayes公式B2概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念每100件产品为一批,已知每批产品中次品数不超过4件,每批产品中有i件次品的概率为i01234P0.10.20.40.20.1从每批产品中不放回地取10件进行检验,若发现有不合格产品,则认为这批产品不合格，否则就认为这批产品合格.求(1)一批产品通过检验的概率(2)通过检验的产品中恰有i件次品的概率例4例5概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念解设一批产品中有i件次品为事件Bi,i=0,1,…,4A为一批产品通过检验4,3,2,1,0,,,,1jijiBBBAjinii则已知P(Bi)如表中所示，且4,3,2,1,0,)(1010010100iCCBAPii由全概率公式与Bayes公式可计算P(A)与4,3,2,1,0),(iABPi概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念结果如下表所示)(iBAP)(ABPi)()()(40iiiBAPBPAP814.04,3,2,1,0,)()()()(iAPBAPBPABPiiii01234P(Bi)0.10.20.40.20.11.00.90.8090.7270.6520.1230.2210.3970.1790.080概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念称4,3,2,1,0)(iABPi为后验概率，它是得到了信息—A发生,再对导致A发生的原因发生的可能性大小重新加以修正)()(iiBPABPi较大时，称P(Bi)为先验概率，它是由以往的经验得到的，它是事件A的原因本例中，i较小时，)()(iiBPABP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念例5由于随机干扰,在无线电通讯中发出信号“•”,收到信号“•”,“不清”,“—”的概率分别为0.7,0.2,0.1;发出信号“—”,收到信号“•”,“不清”,“—”的概率分别为0.0,0.1,0.9.已知在发出的信号中,“•”和“—”出现的概率分别为0.6和0.4,试分析,当收到信号“不清”时,原发信号为“•”还是“—”的概率哪个大？解设原发信号为“•”为事件B1原发信号为“—”为事件B2收到信号“不清”为事件A概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念已知：4.0)(,6.0)(21BPBP2121,BBBBA1.0)(,2.0)(21BAPBAP16.0)()()()()(2211BAPBPBAPBPAP41)()()()(,43)()()()(222111APBAPBPABPAPBAPBPABP可见,当收到信号“不清”时,原发信号为“•”的可能性大概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念三、事件的独立性解,8/3)(12AAP,8/3)(12AAP,)(8/3)(21APAP)()()(12212AAPAPAAP§1.4独立性引例已知袋中有5只红球,3只白球.从袋中有放回地取球两次,每次取1球.设第i次求事件Ai(i=1,2).,)(12AAP,)(12AAP,)(,)(21APAP取得白球为概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念事件A1发生与否对A2发生的概率没有影响可视为事件A1与A2相互独立)()()8/3()(121221AAPAPAAP定义:设A,B为两事件，若)()()(BPAPABP则称事件A与事件B相互独立)()(21APAP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念两事件相互独立的性质两事件A与B相互独立是相互对称的若)()(,0)(ABPBPAP则若)()(,0)(BAPAPBP则若,0)(,0)(BPAP则“事件A与事件B相互独立”和“事件A与事件B互斥”不能同时成立(自行证明)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念四对事件BABABABA,;,;,;,任何一对相互独立,则其它三对也相互独立试证其一独立独立BABA,,事实上)()()()(BAPAPBAAPABP)()()(1)(BPAPBPAP)()()(BPAPAP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念三事件A,B,C相互独立是指下面的关系式同时成立：注：1)关系式(1)(2)不能互相推出2)仅满足(1)式时,称A,B,C两两独立)()()()()()()()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP(1))()()()(CPBPAPABCP(2)A,B,C相互独立A,B,C两两独立定义概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念n个事件A1,A2,…,An相互独立是指下面的关系式同时成立)()()()(2121nnAPAPAPAAAPnjiAPAPAAPjiji1),()()(nkjiAPAPAPAAAPkjikji1),()()()(定义:常由实际问题的意义判断事件的独立性概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念例6已知事件A,B,C相互独立,证明事件A与CB也相互独立证)()()(CBAPCBPCBAP)()()()()()(ABCPACPABPBCPCPBP)()()()(BCPCPBPAP)()(CBPAP例4概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念若n个事件A1,A2,…,An相互独立,将这n个事件任意分成k组,同一个事件不能同时属于两个不同的组,则对每组的事件进行求和、积、差、对立等运算所得到的k个事件也相互独立.命题概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第一章、概率论的基本概念)()(211nniiAAAPAPniiAP1))(1(1)(121nAAAPniiAP1)(1)(121nAAAP若A1,A2,…,An相互独立,则利用独立事件的性质计算其并事件的概率)(1niiAPniiAP1))(1(1pAPi)(当，则