工科概率统计3-1

概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布在实际问题中,试验结果有时需要同时用两个或两个以上的r.v.来描述.例如用温度和风力来描述天气情况.通过对含碳、含硫、含磷量的测定来研究需考虑多维r.v.及其取值规律—多维分布.钢的成分.要研究这些r.v.之间的联系,就第三章多维随机变量及其分布概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布第一节二维随机变量及其分布§3.1一、二维随机变量的联合分布函数二、二维随机变量的边缘分布函数三、二维离散型r.v.及其概率特性四、二维连续r.v.及其概率特性概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布定义设为随机试验的样本空间，2)(),(RYX一定法则则称(X,Y)为二维r.v.或二维随机向量讨论：二维r.v.作为一个整体的概率特性其中每一个r.v.的概率特性与整体的概率特性之间的关系§3.1概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布一、二维随机变量的联合分布函数1、定义设(X,Y)为二维r.v.对任何一对)()(yYxX定义了一个二元实函数F(x,y)，称为二维r.v.(X,Y)的联合分布函数，即yYxXPyxF,),((记为)yYxX,的概率yYxXP,实数(x,y),事件概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布2、分布函数的几何意义如果用平面上的点(x,y)表示二维r.v.(X,Y)的一组可能的取值，则F(x,y)表示(X,Y)的取值落入图所示角形区域的概率.(x,y)xy(,)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布3、联合分布函数的性质(,)0F),(xy(x,y)xy),(1),(0yxF(,)1F①概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布(,)0Fxxyxy(,)0Fy概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布固定x,对任意的y1y2,固定y,对任意的x1x2,F(x0,y0)=F(x0+0,y0)F(x0,y0)=F(x0,y0+0)对每个变量单调不减②对每个变量右连续③F(x,y1)F(x,y2)F(x1,y)F(x2,y)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布F(b,d)–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c)0事实上对于任意ab,cd④–F(b,c)–F(a,d)+F(a,c),0PaXbcYdF(b,d)abcd概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布例11,11,0),(yxyxyxF设讨论F(x,y)能否成为二维r.v.的分布函数？解xy•(0,0)•(2,0)•(2,2)•(0,2))0,0()0,2()2,0()2,2(FFFF10故F(x,y)不能作为某二维r.v.的分布函数.1110概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布注意：对于二维r.v.),(1,caFcYaXPxyac(a,c)),(,YcXaPcYaXP),(),(),(1caFaFcF(a,+)(+,+)(+,c)概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布二、二维随机变量的边缘分布函数xXPxFX)(YxXP,),(xFyYPyFY)(yYXP,),(yFxyxxyy由联合分布函数边缘分布函数,逆不真.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布例2设随机变量(X,Y)的联合分布函数为yxyCxBAyxF,2arctan2arctan),(其中A,B,C为常数.(1)确定A,B,C；(2)求X和Y的边缘分布函数；(3)求P(X2)例2概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布解(1)122),(CBAF022),(CBAF022),(CBAF21,2,2ACB(2)),()(xFxFX.,2arctan121xx概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布),()(yFyFY.,2arctan121yy(3))2(1)2(XPXP22arctan1211.4/1可以将二维r.v.及其边缘分布函数的概念推广到n维r.v.及其联合分布函数与边缘分布函数.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布定义若二维r.v.(X,Y)所有可能的取值为有限多个或无穷可列多个,则称(X,Y)为二维离散型r.v.要描述二维离散型r.v.的概率特性及其与每个r.v.之间的关系常用其联合概率分布和边缘概率分布三、二维离散型r.v.及其概率特性离散概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布1、联合分布律设(X,Y)的所有可能的取值为则称为二维r.v.(X,Y)的联合概率分布也简称概率分布或分布律显然，,2,1,,),(jipyYxXPijji,2,1,),,(jiyxji,2,1,,0jipij111ijijp概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布2、二维离散r.v.的联合分布函数,.xy已知联合分布律可以求出其联合分布函数反之,由分布函数也可求出其联合分布律,2,1,ji,),(xxyyijijpyxF)0,0(),0(jijiyxFyxF)0,(),(),(jijijiyxFyxFyYxXP概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布3、二维离散r.v.的边缘分布律,2,1,)(1ippxXPijiji记作,2,1,)(1jppyYPjiijj记作由联合分布可确定边缘分布,其逆不真.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布x1xi11pjp11ipijpXY(X,Y)的联合分布律y1yj概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布1x1xi11pjp11ipijppi•p1•pi•p•jp•1p•jyjy1XY联合分布律及边缘分布律概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布),(jiijyYxXPp的求法⑴利用古典概型直接求；⑵利用乘法公式.)()(ijiijxXyYPxXPp概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布例3某校新选出的学生会6名女委员,文、理、工科各占1/6、1/3、1/2，现从中随机指定2人为学生会主席候选人.令X,Y分别为候选人中来自文、理科的人数.解X与Y的可能取值分别为0,1与0,1,2.求(X,Y)的联合分布律和边缘分布律.例3,15/325232625CCCC)00()0()0,0(XYPxPYXP由乘法公式概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布,15/3/)0,1(261311CCCYXP,15/2/)1,1(261211CCCYXP.0)2,1(YXP,15/6/)1,0(261312CCCYXP;15/1/)2,0(2622CCYXP,15/3/)0,0(2623CCYXP或由古典概型相仿有概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布故联合分布律与边缘分布律为010123/156/151/153/152/150XYpi•p•j1/32/316/158/151/15概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布例4二元两点分布XYpijp•jpi•1010p00qpqpq1p+q=1，0p1概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布四、二维连续r.v.及其概率特性定义设二维r.v.(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在非负可积函数f(x,y),使得对于任意实数x,y有xydvduvufyxF),(),(则称(X,Y)为二维连续型r.v.f(x,y)为(X,Y)的联合概率密度函数简称概率密度函数简记p.d.f.连续概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布1、联合密度函数的性质除d.f.的一般性质外还有下述性质),(),(2yxfyxyxFyxyxf),(),(yyYyxxXxP从而有f性质0),(yxf11),(dydxyxf2对每个变元连续,在的连续点处),(yxf3概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布P(X=a,-Y+)=0P(-X+,Y=a)=0GdxdyyxfGYXP),(),(若G是平面上的区域，则P(X=a,Y=b)=04概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布在几何上z=f(x,y)表示空间的一个曲面，上式即表示P{(X,Y)G}的值等于以G为底，以曲面z=f(x,y)为顶的柱体体积xyz概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布xXdvduvufxF),()(2、边缘分布函数与边缘d.f.yYdudvvufyF),()(dvvxfxfX),()(duyufyfY),()(与离散型相同,已知联合分布可以求得边缘分布；反之则不能唯一确定.概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布例5、的密度函数为，设二维随机变量YX；常数求⑴c其它，，00043yxceyxfyx的联合分布函数；，求⑵YX．，求⑶2010YXP解：由密度函数的性质，得⑴dxdyyxf，10043dxdyecyx。、求)()()4(yfxfYX概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布dyedxecyx040312c．所以，12cxy0,0yx；，0yxF时，或当00yxyxF，)2(yYxXP，时，且当00yxxydudvvuf，yYxXPyxF，),(xyvududve004312概率统计(浙大三版)机动目录上页下页返回结束第三章、多维随机变量及其分布dvedueyvxu040312xydudvvuf，yxee4311其它，，所以，0001143yxeeyxFyx2010yxdxdyyxf，，．，⑶2010YXP10204312dxdyeyxdyedxeyx204103