二重积分的变量变换公式 用极坐标计算二重积分

二重积分的变量变换公式用极坐标计算二重积分§4二重积分的变量变换),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(满足上在Dvuyvux),(,),()1(一阶偏导数连续;雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3)变换DDT:定理21.13,),(上连续在闭域设Dyxf变换:是一一对应的,ovuDoyxDT一、二重积分的变量变换公式则Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((vuvuJdd),(oyxDovuD证:根据定理条件可知变换T可逆.用平行于坐标轴的,坐标面上在vou直线分割区域,D任取其中一个小矩T形,其顶点为),,(,),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhuvkv通过变换T,在xoy面上得到一个四边形,其对应顶点为)4,3,2,1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh令则12xx),(),(vuxvhux).,(,),(43kvuMkvhuM)(),(ohvuux14xx),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy)(),(ohvuuy同理得14yy)(),(okvuvy当h,k充分小时,曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四边形,故其面积近似为4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(vuvuJdd),(d因此面积元素的关系为从而得二重积分的换元公式:Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf)),(),,((vuvuJdd),(例如,直角坐标转化为极坐标时,sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(例1.计算其中D是x=0,y=0,x+y=1所围区域.解则令Dyxyxyxdde,yxu,yxv),(21vux),(21uvy),(vuJxyO11vuO11121212121,21DyxyxyxddeDvuvudd21evvvuuvded211010d|)e(21vvvvvu101d)e-e(21vv4e-e1例2.求抛物线y2=mx,y2=nx和直线所围区域D的面积.xyxy,)0,0(nm解令,2xyuxyvvuOmnxyOxyxynxy2mxy2DD当积分区域是圆域或圆域的一部分,或者被积函数含有x2+y2时，采用极坐标变换往往能简化二重积分的计算.此时,sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(二、用极坐标计算二重积分)(1rrD)(2rrOx)()(21d)sin,cos(rrrrrrf,),()(:21rrrD则Drrrrfdd)sin,cos(d(ii)若原点在D内，则OxD)(rr)(0d)sin,cos(rrrrrfDrrrrfdd)sin,cos(20d(i)若原点在D外，(iii)若原点在D的边界上，)(0d)sin,cos(rrrrrfDrrrrfdd)sin,cos(dOxD)(rr(iv)若区域D可表示为,),()(:2121rrrrrDDOx)()(21d)sin,cos(rrrrfDrrrrfdd)sin,cos(11drrrr则)(1r)(2r2r2rr1r1rr例3.计算DyxI221d其中.:222RyxD例4.求球体被圆柱面xRyx22所截得的(含在柱面内的)立体的体积.解由对称性可知DyxRVd4222cos022dRrrrR)322(343RoxyzRyxDDrrrRdd422cosRr例5.计算其中.:222RyxD解DreI2rerRrd02)1(2Re2xe的原函数不是初等函数,故本题无法用直角ddrr20d由于坐标计算.作极坐标系变换，有Rr例6.求椭球体解:yxcDbyaxdd122222由对称性,1:2222byaxD取令,sin,cosrbyrax则),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的体积V.