二重积分的计算1

第二节二重积分的计算[Ⅰ]二重积分化为两次定积分来计算①(,)Dfxyd(,)Dfxydxdy二重积分存在则与分法无关。在直角坐标系中，采用平行于ox轴和oy轴的分割网时，d=dxdy一．在直角坐标系下计算二重积分②图：(,)Dfxydxdy（设f(x,y)≥0）几何意义：二重积分等于立体体积()baAxdx用横截面来计算立体体积﹡﹡应用“平行截面面积为已知的立体的体积”的计算方法，来计算曲顶柱体的体积oxxabA(x)③以底面为一矩形[a,b;c,d]的立体为例，求其体积（应用上列公式）如图所示，若能求出截面面积，则立体体积问题就归结为运用上述公式。oax0bxABCDA(x0)cdABCDyz设以平面x=x0[垂直于x轴、平行于yoz平面的平面]截立体，得一曲边梯形截口ABCD。要求截口的面积A(x0)我们将截口ABCD投影到yoz坐标平面上，得到与之完全相同的曲边梯形ABCD，从而A(x0)=SABCD=SABCD然而曲边梯形ABCD的曲边DC的方程为z=f(x0,y)(c≤y≤d)由于定积分几何意义，因而A(x0)=SABCD=考虑到x0的任意性，对于x∈[a，b]均有A(x)=0(,)dcfxydy(,)dcfxydy代入上列②中立体体积公式，得到最后，有由此说明，以底面是一矩形的立体体积的计算为例，可导出结论：直角坐标系中，二重积分的计算可化为两个单重积分（二次积分）来计算。()(,)(,)bbdbdaacacVAxdxfxydydxdxfxydy(,)(,)bdacDfxydxdydxfxydy例1求解：():01,12DxydDxy21120111200()()13222Dxyddxxydydxxyyxdx另解：12110222011()()11222Dxyddyxydxdyxyxydy④当底面（在xoy平面上）区域不是矩形，而是由两条曲线：y=1(x),y=2(x)两条直线：x=a,x=b所围成的曲边梯形时，也可得类似的结果。只是在矩形的情形下，对任何固定的x=x0，y的变化是在同一区间[c,d]上，而现在这一区间[1(x0),2(x0)]本身也与x0有关（切口面积随x而变化！）。12(,)()()axbDxyxyx——x型区域oax0bx1(x0)2(x0)yy=1(x)y=2(x)D故有：对于x[a,b]，有这时，二重积分有2010()00()()(,)xxAxfxydy21()()()(,)xxAxfxydy21()()(,)(,)bxaxDVfxydxdydxfxydy⑤当底面（在xoy平面上）区域不是矩形，而是由两条曲线：x=y1(y),x=y2(y)两条直线：y=c,x=d12(,)()()cydDxyyxyyy——y型区域Dxycdx=y1(y)x=y2(y)21()()(,)(,)dycyDVfxydxdydyfxydxyy类似有几种底面区域：⑴⑵⑶⑷ooooxxxxyyyyaby=1(x)y=2(x)caby=kxxy=cabdcx=y1(y)x=y2(y)d⑸⑹badcxyDD1D3D22121()()()()(,)(,)(,)dycyDbxaxfxydxdydyfxydxdxfxydyyy123(,)(,)(,)(,)DDDDfxydxdyfxydxdyfxydxdyfxydxdy例2计算积分D：⑴由y=x，y=5x，x=1所围成区域；⑵由y=x2和y2=x所围成区域Dxyd解⑴：①绘出区域D的图形：②确定积分限：x:[0,1]y:[x,5x]③计算积分：15122001301[(5)]2123xxDxydxdxydyxdxxxxdxo1xyy=xy=5x解⑵：①绘出区域D的图形：②求出两曲线的交点：解方程组得实数解故交点为（0，0）、（1，1）③确定积分限：由于x由0变到1时，y由下方曲线y=x2变到上方曲线y=，所以第一次积分的积分限为：下限x2，上限；第二次积分的积分限为：下限0，上限122yxyx0101xxyyxxyxxyy=x2y2=x（解⑵续）④计算积分：221120012501211()212xxxxDxydxdyxdxydyxdxyxxdx【作业】习题9—21