4. 第三章 几种常见的概率分布律

概率的定义统计定义古典定义概率的运算加法法则条件概率乘法法则随机变量/分布离散型连续型总体特征数数学期望（理论平均数）方差1第三章几种常见的概率分布律23.1二项分布二项分布的概率函数满足二项分布的条件在一随机试验中，每次试验都有两种不同的结果。两种结果是互不相容的。每一种结果在每次试验中都有恒定的概率。试验间应是独立的。（放回式抽样）问题：独立地将此试验重复n次，求在n次试验中，一种结果出现x次的概率是多少？3例3-1：从雌雄各半的100只动物中进行放回式抽样实验，抽样共进行10次，问其中出现3只雄性动物的概率是多少？出现3只及3只以下的概率是多少？即求P（X＝3）和P（X≤3）4•抛10次硬币，其中3次国徽朝上的概率是多少？出现3次及3次以下的概率是多少？•抛3次硬币，3次国徽都朝上的概率是多少？规定以下一组符号n＝试验次数（或样本含量）抽样进行了10次x＝在n次试验中事件A出现的次数3只雄性φ＝事件A发生的概率（每次试验都是恒定的）50/100=0.51－φ＝事件发生的概率1-0.5=0.5p(x)=X的概率＝P（X＝x）出现3只雄性的概率函数x=3F(x)=P(X≤x)出现3只及3只一下的概率5A从雌雄各半的100只动物中进行放回式抽样实验，抽样共进行10次，问其中出现3只雄性动物的概率是多少？出现3只及3只以下的概率是多少？即求P（X＝3）和P（X≤3）上例中：n=10x=3φ=0.5求p(3)和F(3)若某次抽样中抽到的结果为：mmmfffffff，它的概率为P（mmmfffffff）=φ3(1-φ)7那么抽到3雄7雌的数目相当于从10个元素中抽出3个元素的组合数67331013Cp组合数从m个不同元素中，任取n(n≤m)个元素并成一组7对于任意n和x有以下通式上式称为二项分布的概率函数。该式正是二项展开式的第x+1项,因而产生“二项分布”这一名称。因为φ＋（1－φ）＝1，所以nxCxpxnxxn,...,2,1,0,)1()(8110nnxxp将x＝0，1，2，3代入二项分布概率函数，可得出出现0，1，2，3只雄性动物的概率。P（0）＝0.0009766P（1）＝0.0097656P（2）＝0.0439453P（3）＝0.1171876抽到3只和3只以下雄性动物的概率为：F（3）＝P（0）＋P（1）＋P（2）＋P（3）＝0.17187519服从二项分布的随机变量的特征数平均数：μ＝nφ或μ＝φ(以比率表示）方差：σ2＝nφ(1-φ)或(以比率表示）10n12二项分布应用实例例3-2以杂合基因型Wvwv的小鼠为父本，隐性纯合子小鼠wvwv为母本杂交（wv波浪毛，Wv直毛），后代两种基因型的数目应各占一半（φ＝1/2）。实际观察32窝小鼠，只选每窝8只的，多于8只和少于8只的都淘汰（n=8)。试比较样本平均数与总体参数。11表3-2调查结果直毛后代数观测频数（x）（f）fxfx2p(x)Np(x)00000.0039060.12499211110.0312501.00000022480.1093753.5000003412360.2187507.000000412481920.2734378.74998456301500.2187507.00000065301800.1093753.5000007214980.0312501.00000080000.0039060.124992总数N＝321396650.99999931.9996812样本平均数、总体平均数；样本方差、总体方差如下21974798.131321396651000000.4218343750.43213922222nNNfxfxsnNfxx13例3-4用棕色正常毛（bbRR）的家兔和黑色短毛（BBrr）兔杂交，F1代为黑色正常毛长的家兔（BbRr）,F1代自交，F2代表型比为：9/16B_R_:3/16B_rr:3/16bbR_:1/16bbrr。问最少需要多少F2代家兔，才能以99％的概率得到一个棕色短毛兔？14解：由题意可知棕色短毛兔的概率为1/16,非棕色短毛兔的概率为15/16。设φ=15/16,则1－φ＝1/16。在两项分布展开式（p41)中前面n项中每项都包含至少一只棕色短毛兔，因此前n项之和应为99%。最后一项不包含(1－φ),即没有棕色短毛兔，因此该项应等于1%。15于是：n（lg15－lg16）＝lg0.01-0.02803n＝－2.00000n＝71.4即需要72代1601.0)1615()1(0nnnnnC01.0)1615()161(1)1(000nnnC若设φ=1/16，则：3.2泊松分布泊松分布的概率函数在二项分布中，当某事件出现的概率特别小（φ→0），而样本含量又很大（n→∞）时，二项分布就变成泊松分布泊松分布是描述在一定空间、长度、面积、体积或一定时间间隔内，点子散布状况的理想化模型17泊松分布的概率函数为服从泊松分布的随机变量的特征数μ＝μ，σ2＝μ即：概率函数中的μ不但是它的平均数，而且是它的方差18,2,1,0,!xexxpx例3.5在麦田中，平均每10m2有一株杂草，问每100m2麦田中，有0株、1株、2株、…杂草的概率是多少？19解：先求出每100m2麦田中，平均杂草数μμ＝100/10＝10株将μ代入泊松分布的概率分布函数中，p(x)=10x/x!e10,即可求出x＝0，1，2，…时所相应的概率。20结果如下：21xp(x)≦x≧x10.00050.00051.000020.00230.00270.999530.00760.01030.997340.01890.02920.989750.03780.06700.970860.06310.13010.933070.09010.22020.869980.11260.33280.779890.12510.45790.6672100.12510.58300.5421110.11370.69670.4170120.09480.79150.3033130.07290.86440.2085140.05210.91650.1356150.03470.95120.0835有x颗杂草的概率p(x)=10x/x!e10有小于等于x颗杂草的概率（累加）有多于于等于x颗杂草的概率（1-上一个数值的累计）3.4正态分布两头少，中间多，两侧对称正态分布曲线22μ正态分布的密度函数和分布函数对于平均数是μ，标准差是σ的正态分布，其密度函数为以符号N（μ，σ2）表示平均数为μ，标准差为σ的正态分布0,,21222xexfx23随机变量的值落在任意区间（a，b）内的概率累积分布函数24dxedxedxxfbXaPbaxbaxba222222)(2121dzedzzfxXPxFxzx22221标准正态分布μ＝0，σ＝1时的正态分布称为标准正态分布，记为N(0,1)标准正态分布的密度函数为累积分布函数25ueuu,2122dueuUPuuu2221－标准正态分布的分布曲线26ueuu,2122－标准正态分布的特性在u＝0时φ(u)达到最大值。当u不论向哪个方向远离0时，φ(u)的值都减小。曲线两侧对称，即φ(u)=φ(-u)。曲线在u＝－1和u＝1处有两个拐点。曲线与横轴所夹面积等于1。27－标准正态分布的累积分布曲线28累积分布曲线围绕点（0，0.5）对称dueuUPuuu2221•标准正态分布表的查法简化计算随机变量（U）的值（u）落在区间（a,b）内的概率正态分布表（附表2）：不同u值的Ф(u)值列成表根据以下关系式可以扩展正态分布表的使用范围2912212125.00uuuUuPuuUPuuUPuuUPuuUP例1查u＝－0.82及u＝1.15时的Ф(u)值30解：由附表2：Ф(-0.82)＝0.20611Ф(1.15)＝0.87493例2随机变量U服从正态分布N（0，1），问随机变量的值落在0，1.21间的概率是多少？落在－1.96，1.96间的概率是多少？31解：1)P(0Uu)=Ф(1.21)-0.5=0.88686-0.5000=0.386862)P(|U|u)=1-2Ф(-u)=1-2Ф(-1.96)=1-0.05000=0.9500000对于服从N（μ，σ2）的随机变量X，首先要进行标准化变换，使之变为标准正态分布，再按上述方法查表。变换的方法：对于随机变量X32xuxxUPxXP把曲线挪到u=0处例已知高粱品种“三尺三”的株高X服从正态分布N（156.2，4.822），求：1)X161厘米的概率；2)X164厘米的概率；3)X在156－162厘米间的概率。解：由题可知μ和σ分别为156.2cm和4.82cm，3369278.019215.088493.087.02.182.42.15615282.42.156162162152)305262.094738.0162.1182.42.1561641164)284134.0182.42.156161161)1XPXPXP•正态分布的单侧临界值附表2列出的是Uu时标准正态曲线下的面积很多情况下需要求：曲线右侧尾区一定面积(α)下，所对应的u值uαuα称为α的上侧临界值，由附表3查出满足：P(Uuα)=α对于左侧尾区，－uα称为α的下侧临界值满足：P(U－uα)=α34将α平分到两个尾区，每一尾区的曲线下面积只有α/2，记为uα/2，称为α的双侧临界数满足：P(|U|uα/2)=α注意符号的使用：uα——上侧临界值-uα——下侧临界值uα/2——双侧临界值3536正态分布的单侧（上侧）和双侧临界点(α=0.05)u0.05＝1.645u0.025=1.9603.6中心极限定理假设所研究的随机变量X可以被表示为许多相互独立的随机变量Xi的和，如果Xi的数量很大，而且每一个别的Xi对于X所起的作用很小，则可以认为X服从或近似地服从正态分布。推论：若已知总体平均数为μ，标准差为σ，那么，不论该总体是否正态分布，对于从该总体所抽取的含量为n的样本，当n充分大，其平均数渐近服从正态分布N(μ,σ2/n)。37作业3.3,3.4,3.12,3.133.15,3.1638