44根轨迹分析法

4.4.1增加开环零、极点对根轨迹的影响4.4.2条件稳定系统分析4.4.3利用根轨迹估算系统的性能4.4.4利用根轨迹计算系统的参数4.4基于根轨迹法的系统性能分析利用根轨迹，可以对闭环系统的性能进行分析和校正由给定参数确定闭环系统极点的位置；分析参数变化对系统稳定性的影响；分析系统的瞬态和稳态性能；根据性能要求确定系统的参数；对系统进行校正。本节首先讨论增加开环零、极点对根轨迹的影响，其次讨论条件稳定系统，最后利用根轨迹法估算系统的性能指标。4.4.1增加开环零、极点对根轨迹的影响增加开环零、极点对根轨迹的影响根轨迹是由系统的开环零、极点确定的，因此在系统中增加开环零、极点或改变开环零、极点在s平面上的位置，都可以改变根轨迹的形状。增加开环零点就是在系统中加入超前环节，它产生微分作用，改变开环零点在s平面上的位置就是改变微分强度。增加开环极点就是在系统中加入滞后环节，它产生积分作用或滞后作用，改变开环极点在s平面上的位置，就可以改变积分强弱或滞后程度。在系统开环传递函数中引入适当的零、极点，可以改善系统的性能。增加开环零点对根轨迹的影响)8.0()(ssksGgk以开环传递函数为的单位负反馈二阶系统为例进行讨论。根轨迹为：-0.40-0.8-0.8-0.40.40.8ImRe)8.0()42)(42()(ssjsjsksGgk)8.0()4()(sssksGgk分别加入零点-2±j4和-4后系统的开环传递函数如下：对应的根轨迹分别为：-5-4-3-2-1-2-10123-3ImRe-7-6-5-4-3-2-10-3-2-11234-4ImRe加开环零点-4后系统的根轨迹图加开环零点-2±j4后系统的根轨迹图加入开环零点后可以改变渐近线的倾角，减少渐近线的条数；随着的增加，根轨迹的两个分支向左半平面弯曲或移动，这相当于减小了系统阻尼，使系统的过渡过程有出现超调的趋势，并且这种作用将随闭环零点接近坐标原点的程度而加强。三个系统的单位阶跃响应曲线:24680.40.60.81.01.21.41.60.20yt123)8.0()42)(42()(ssjsjsksGgk)8.0()4()(sssksGgk)8.0()(ssksGgk增加开环极点对根轨迹的影响在原系统上分别增加一对复数开环极点-2±j4和一个实数开环极点-4，则系统的开环传递函数分别为)42)(42)(8.0()(jsjsssksGgk)4)(8.0()(sssksGgk-4-224-4-2024ImRe-4-2024-4-224ImRe加开环极点-2±j4后系统的根轨迹图加开环极点-4后系统的根轨迹图加入开环极点后增加了系统的阶数，改变了渐近线的倾角，增加了渐近线的条数。随着kg的增加，根轨迹的两个分支向s右半平面弯曲或移动。由于加入的开环极点和kg的不同，系统的闭环主导极点也将不同，系统的性能也会有所不同。通过选择合适的kg值，配置出合理的闭环主导极点，就可以获得满意的性能指标。闭环系统若存在离虚轴最近的一对共轭极点或一个实极点；极点附近无零点；其他极点距虚轴的距离是离虚轴最近的极点距虚轴的距离的6倍以上。[主导极点]：满足下列条件的极点称为主导极点。主导极点在y(t)中的对应项衰减最慢，系数最大，系统的瞬态性能指标主要由它决定。具有主导极点的高阶系统可近似为二阶或一阶系统。[例如]：为某高阶系统的主导极点，则单位阶跃响应近似为：dnnjjp211112,11)sincos()(110tteatyddt两个闭环系统的单位阶跃响应曲线510150.40.60.81.01.21.41.60.20yt123)42)(42)(8.0()(jsjsssksGgk)4)(8.0()(sssksGgk)8.0()(ssksGgk如果根轨迹全部处于s左半平面，则对于所有的根轨迹增益，闭环系统都是稳定的。但是很多系统的根轨迹通常一部分处于s左半平面，而另外部分处于s右半平面，这意味着对于某些根轨迹增益，闭环系统是稳定的，而对于另外的根轨迹增益，闭环系统是不稳定的。参数只在一定范围内取值时才使闭环系统稳定，这样的系统称为条件稳定系统。条件稳定系统可由根轨迹法确定使系统稳定的参数的取值范围。条件稳定系统的例子：开环非最小相位系统，其闭环系统的根轨迹必然有一部分在s的右半平面；4.4.2条件稳定系统分析[例]：设开环系统传递函数为：)14.1)(6)(4()42()(22sssssssksGgk试绘制根轨迹并讨论使闭环系统稳定时的取值范围。gk开环极点：0，-4，-6，，零点：714.07.0j732.11j实轴上根轨迹区间：]0,4[),6,(渐进线：与实轴的交点：13.3324.164mnzpii,3)12(mnk倾角：[解]根据绘制根轨迹的步骤，可得：04622424分离会合点：22)(,42)('2ssNsssNssssssD246.43394.11)(2345242.871176.455)(234'sssssD03.9497.4579.3758.805.97131.6280-4-3.5-3-2.5-2.0-1.5-1-0.50sgdk的最大值为9.375，这时s=-2.5，是近似分离点。gdk由：dsgdsNsDksDsNsDsN|)()(0)()()()(''''可以求得分离点s=－2.3557。近似求法：分离点在[-4，0]之间。由图可知：当和时，系统是稳定的；6.150gK6.1685.67gK画出根轨迹如图所示，该图是用Matlab工具绘制的。与虚轴的交点和对应的增益值：6.1685.676.15gpk755.3151.2213.1-8-7-6-5-4-3-2-1012-8-7-6-5-4-3-2-10123456785.676.156.168ggKK和当时，系统是不稳定的。这种情况为条件稳定系统6.15213.1gK5.67151.2gK6.168755.3gK6.155.676.168出射角：，入射角：55c103r适当调整系统的参数或在系统中增加合适的校正网络，可以消除条件稳定性问题。比如在系统的开环传递函数中增加一个零点，即增加一个比例微分环节，通常可使根轨迹向左方弯曲。在上例中，如果增加一个零点－2，则开环传递函数成为)14.1)(6)(4()2)(42()(22ssssssssksGgk-8-6-4-20-4-224mIeR根轨迹为：从稳定的角度看，开环系统增加了零点后，不论根轨迹增益取何值，闭环系统都是稳定的。至于增加零点后闭环系统其它性能指标的变化情况，要视具体情况而定。[例]非最小相位系统：，试确定使系统稳定时的增益值。)2)(1()(ssksGgk[解]：根轨迹如右：有闭环极点在右半平面，系统是不稳定的。显然稳定临界点在原点。该点的增益临界值为。gpk闭环特征方程为：，当s=0时，。系统稳定的条件是：022gkss2gpk2gk利用根轨迹可以清楚的看出开环根轨迹增益或其他开环系统参数变化时，闭环系统极点位置及其瞬态性能的改变情况。以二阶系统为例：开环传递函数为)2()(2sssGnk闭环传递函数为2222)(nnnsss共轭极点为：nnjs22,11在s平面上的分布如右图：nnj21闭环极点的张角为：1222cos,)()1(cosnnn所以称为阻尼角。斜线称为等阻尼线。4.4.3利用根轨迹估算系统的性能闭环二阶系统的主要的性能指标是超调量和调整时间。这些性能指标和闭环极点的关系如下：%100%100%21ctgee)(33为极点实部nstnnj21的关系如下图和%0306090020406080100δ%β二阶系统闭环极点的阻尼角越大，系统的阻尼系数越小，系统的超调量越大，闭环极点离开虚轴的距离越小，系统的调整时间越大。在具有主导极点的高阶系统中，可以使用上述方法估算系统的瞬态性能指标。在进行高阶系统的性能指标估算时，应先确定系统的闭环主导极点（可能是复数或实数形式），将系统简化为以主导极点为极点的二阶系统（或一阶系统），然后再根据二阶系统（或一阶系统）的性能指标来估算。若闭环极点落在下图中红线包围的区域中，则有：3%sctgte和[解]：首先画出根轨迹如右。-1.22.08-2.081s2s3s-7.6ImRe-6-40(1)判断闭环极点-1.20±j2.08是不是系统的主导极点：1230462.108.2ImRe1s180)2.1608.22.1408.22.108.2180()6()4()(1111113211tgtgtgssssGk可知是根轨迹上的点例4.4.1若导弹航向控制系统的开环传递函数为)6)(4()(sssksGgk判断闭环极点-1.20±j2.08是不是系统的主导极点。若是，试估算该闭环系统的超调量和调整时间。再判断是否主导极点。根据根轨迹绘制规则：“系统开环极点之和等于系统闭环极点之和”，令系统的另一个闭环极点为-s3.-2+j2.08-2-j2.08+s3=0-4-6。解得s3=-7.6。由于7.6/1.2=6.3335，可知是系统的复数主导极点。对应根轨迹增益的计算：1|)6)(4(|08.22.1jsgsssk44gk(2)估算系统的性能指标：系统的闭环传递函数为)6.7)(08.22.1)(08.22.1(44)(sjsjss化简为)08.22.1)(08.22.1(79.5)(jsjss-1.22.08-2.081s2s3s-7.6ImRe-6-40可知，kg=44时系统的阻尼角为=tg-1(2.08/1.2)=60o。则：系统的超调量为%3.16%100%100%60ctgctgee调整时间为)(5.22.133sts讨论如何根据系统的瞬态和稳态性能要求确定系统的参数。例4.4.2控制系统如下所示。(1)试确定使闭环系统稳定时的根轨迹增益kg的范围；(2)若要求闭环单位阶跃响应的最大超调量%=16.3%，试确定根轨迹增益kg的范围。)6)(4()(sssksGgkAB6055240gckImRe46[解]：首先画出根轨迹如右。由图可以看出：根轨迹与虚轴的交点为+j5,-j5，这时的临界增益当时，闭环系统不稳定。240gpk240gk4.4.4利用根轨迹计算系统的参数由于，当%≤16.3%时，解得阻尼角=60o。在根轨迹图上画两条与实轴夹角为60的直线，与根轨迹交于A、B两点。由上例知A、B两点是闭环共轭主导极点。这时系统的超调量等于16.3%。通过求A、B两点的坐标，可以确定这时的根轨迹增益kg。%100%ctgeAB6055240gckImRe46设A点坐标为：j360tg1806412011tgtg解上述两式得：08.22.1，即A点坐标为：08.22.1jsA由上例知这时的根轨迹增益kg=44，若要求超调量小于16.3%，则kg的范围是。440gk还有一个方法可以求A点的坐标和对应的根轨迹增益。先写出系统的闭环特征方程，将和的关系式代入其中，再令特征方程的实部和虚部为零，可求出、