交互作用的正交试验设计与数据分析

有交互作用的正交试验设计多因子试验问题为了减少试验次数，传统采用“简单比较法”，即逐个改变因子的水平，而将其它因子的水平固定，找出最好的水平并将其固定，这样反复进行。它把多因子试验问题化为若干个单因子试验问题。但在每个单因子试验中选出的最好水平其组合不一定是全局最好的水平组合。但是，在前面的讨论中我们都是基于一个假设展开的，即在所有被考虑的对试验结果有影响的各因素之间对试验结果的影响是相互独立的，但是工程实践告诉我们这种情况很少出现，因此正交试验设计过程中考虑各因素的相互作用将显得十分必要，首先让我们来看个有关交互作用的例子：例1在某化工生产中要考察反应温度（A）与反应时间（B）对产品收率的影响，这两个因子各取三个水平，希望找出使收率最高的条件。因子AA1：低温A2：中温A3：高温因子BB1：4小时B2：6小时B3：8小时若在试验中采用一次一个因子的单因子轮换试验方法，先把因子B固定在B1水平上，分别对条件A1B1、A2B1、A3B1做试验，结果是A3B1好。（见表4.1.1）然后再把因子A固定在A3水平上，改变B的水平，分别对A3B1、A3B2、A3B3做试验，发现仍然是A3B1好。于是得出结论：“A3B1为最好水平组合”。实际上，这是不正确的。这是因为还有四个条件的试验没有进行，如果我们补做另外四个试验，其结果在表4.1.1中的括号内，那么实际上最好的条件是A2B2。表4.1.1单因子轮换法的试验结果A1A2A3B1505662B2（56）（70）60B3（54）（60）58从这个例子可以看出，多因子试验问题远比单因子试验问题复杂，它不仅要考察每个因子的作用，还要考察因子间的交互作用。一个因子的水平好坏或好坏的程度受另一因子水平制约的情况，称为因子A与B的交互作用，记为A×B或AB。因子A与B的交互作用可以用图形直观地表示。交互作用•因素间的联合搭配对试验指标产生的影响作用称为交互作用，通常将A因素与B因素的交互作用记作：A×B，称为1级交互，通常的称在一次试验中同时与A因素发生交互作用的因素的个数为交互级数。交互作用图1因子A与B的交互作用示意图A1A2B1B2a.无交互作用图1因子A与B的交互作用示意图(续)A1A2B1B2b.有（正向）交互作用A1A2B1B2c.有（反向）交互作用因子间的交互作用随着因子个数的增加而增加。如四个因子A，B，C，D间的交互作用有以下几类：二级交互作用有6个：AB，AC，AD，BC，BD，CD三级交互作用有4个：ABC，ABD，ACD，BCD四级交互作用有1个：ABCD共有11个，比因子个数还多。实际经验表明，多数交互作用是不存在的或很小以至可以忽略不计，实际中主要考虑部分二级交互作用，具体考察哪些二级交互作用还要依赖专业知识来决定。•样本中能独立变化的数据数目。只要有n-1个数确定，第n个值就确定了，它不能自由变化。所以自由度就是n-1。自由度表示的是一组数据可以自由变化的数量的多少。自由度通俗点说，一个班上有50个人，我们知道他们语文成绩平均分为80，现在只需要知道49个人的成绩就能推断出剩下那个人的成绩。你可以随便报出49个人的成绩，但是最后一个人的你不能瞎说，因为平均分已经固定下来了，自由度少一个了。2、关于自由度和正交表的选用原则选正交表必须遵循的原则：正交表各列的水平数必须等于研究因素的水平数要考察的因素及交互作用的自由度综合必须不大于所选用正交表的总自由度dfT≥fA+fB+fC+…+fAxB+fBxC+fAxC+…自由度的两条规定：（1）正交表的总自由度f总＝试验次数－1；正交表每列的自由度f列＝此列水平数－1（2）因素A的自由度fA＝因素A的水平数－1；因素A、B间交互作用的自由度fAxB＝fA×fB如三因素四水平43的正交试验应安排3(4-1)+1=10次以上的试验.如三因素四水平43并包括第一、二个因素的交互作用的正交试验至少应安排的试验次数为3(4-1)+(4-1)(4-1)+1=19.又如安排43×23的混合水平的正交试验至少应安排3(4-1)+3(2-1)+1=13次以上的试验.若再加上包括第一、五个因素的交互作用的正交试验则至少应安排的试验次数为3(4-1)+3(2-1)+(4-1)(2-1)+1=16.交互作用的处理原则试验设计中，交互作用一律当作因素看待，这是处理交互作用问题的总原则。作为因素，各级交互作用都可以安排在能考察交互作用的正交表的相应列上，它们对试验指标的影响情况都可以分析清楚，而且计算非常简单。但交互作用又与因素不同，表现在：①用于考察交互作用的列不影响试验方案及其实施；②一个交互作用并不一定只占正交表的一列，而是占有（m-1）p列。表头设计时，交互作用所占列数与因素的水平m有关，与交互作用级数p有关。2水平因素的各级交互作用均占1列；对于3水平因素，一级交互作用占两列，二级交互作用占四列，……，可见，m和p越大，交互作用所占列数越多。例如，对一个25因素试验，表头设计时，如果考虑所有各级交互作用，那么连同因素本身，总计应占列数为：C51+C52+C53+C54+C55＝5+10+10+5+1＝31，那么此试验必选L32（231）正交表进行设计。一般对于多因素试验，在满足试验要求的条件下，有选择地、合理地考察某些交互作用。综合考虑试验目的、专业知识、以往的经验及现有试验条件等多方面情况进行交互作用选择。一般原则是：①忽略高级交互作用②有选择地考察一级交互作用。通常只考察那些作用效果较明显的，或试验要求必须考察的。③试验允许的条件下，试验因素尽量取2水平。有交互作用的试验表头设计表头设计时，各因素及其交互作用不能任意安排，必须严格按交互作用列表进行安排。这是有交互作用正交试验设计的一个重要特点，也是关键的一步。在表头设计中，为了避免混杂，那些主要因素，重点要考察的因素，涉及交互作用较多的因素，应该优先安排，次要因素，不涉及交互作用的因素后安排。所谓混杂，就是指在正交表的同列中，安排了两个或两个以上的因素或交互作用，这样，就无法区分同一列中这些不同因素或交互作用对试验指标的影响效果。交互作用表下面介绍交互作用表和它的用法，下表就是正交表L8（27）所对应的交互作用表。1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1(7)列号（）列号例如，从左向右看，第3列与第5列的交互作用在第6列例如，第4列与第7列的交互作用在第3列第5列与第6列的交互作用在第3列正交表自由度的确定：（1）每列的自由度f列＝水平数－1（2）两因素交互作用的自由度fA×B＝fA×fB（两因素自由度的乘积）对2因素2水平的正交表，因为：fA＝fB＝2－1＝１，每列只有一个自由度；而fA×B＝fA×fB＝1×1＝1，所以也占一列。对于2因素3水平，fA＝fB＝3－1＝2，每列有2个自由度；而fA×B＝fA×fB＝2×2＝4，由于交互作用列有4个自由度，而每列是2个自由度，因此2个3水平因素的交互作用列占2列。对于2因素n水平，fA＝fB＝n－1，每列有n个自由度；而两因素交互作用的自由度为：fA×B＝fA×fB＝（n－1）（n－1），所以交互作用列要占（n－1）列。①表头设计如果将A因素放在第1列，B因素放在第2列，查表可知，第1列与第2列的交互作用列是第3列，于是将A与B的交互作用A×B放在第3列。这样第3列不能再安排其它因素，以免出现“混杂”。然后将C放在第4列，查表可知，B×C应放在第6列，余下列为空列，如此可得表头设计。②列出试验方案根据表头设计，将A、B、C各列对应的数字“1”、“2”换成各因素的具体水平，得出试验方案列于表。③结果分析按表所列的试验方案进行试验，其结果分析与前面并无本质区别，只是：应把互作当成因素处理进行分析；应根据互作效应，选择优化组合。5.3.1试验的设计例5.3.1为提高某种农药的收率，需要进行试验，具体考虑如下。1．明确试验目的：提高农药的收率。2．明确试验指标：收率。3．确定试验中所考虑的因子与水平，并确定可能存在并要考察的交互作用。经分析，影响农药收率的因子有四个：反应温度A、反应时间B、两种原料配比C、与真空度D以及反应温度与反应时间的交互作用A×B对收率也有较大的影响。表5.3.1因子水平表因子一水平二水平A：反应温度（℃）6080B：反应时间（小时）2.53.5C：两种原料配比1.1/11.2/1D：真空度（kPa）50604．选用合适的正交表，进行表头设计正交表的选用与表头设计要注意以下几点：（1）正交表的自由度：表的自由度：为试验次数减1，即1nf表。列的自由度：为水平数减1，即1qf列，其中q是该列的水平数。（2）因子与交互作用的自由度因子的自由度：fA为水平数减1；交互作用的自由度：为对应的两个因子自由度的乘积，即交互作用A×B的自由度为BABAfff。（3）在表头设计时要注意：因子的自由度应该等于所在列的自由度；交互作用的自由度应该等于所在列的自由度，或其之和；所有因子与交互作用自由度的和不能超过所选正交表的自由度。本例：所考察的因子都是二水平的，故可从二水平正交表中选一张。如，L4(23)，L8(27)，L16(215)等。因有四个二水平因子与一个交互作用，故它们的自由度之和为5，所选正交表为L8(27)。（4）表头设计：在进行表头设计时要利用交互作用表。L8（27）的交互作用表见表5.3.2，例如第一列与第二列的交互作用位于第三列。表5.3.2L8（27）的交互作用表列号1234567(1)325476(2)16745(3)7654(4)123(5)32(6)1•先把存在交互作用的两个因子放到表头上。这时可以放在任意两列上，譬如现在将因子A与B分别放在第一与第二列上。•然后从交互作用表上查出这两列的交互作用列。现查得L8（27）的第一、二列的交互列为第三列，则在第三列上标以A×B。•再将余下的因子分别放在其它的空白列上。譬如把因子C与D放在第四、七列上，这便给出了如下表头设计：表头设计ABA×BCD列号1234567（5）列出试验计划按照表头设计，将正交表中放置因子的列中的1，2改为该因子的真实水平。本例的试验计划见下表：表5.3.3试验计划试验号反应温度(℃)反应时间(小时)两种原料配比真空度(kPa)收率y1（1）60（1）2.5（1）1.1/1（1）50862（1）60（1）2.5（2）1.2/1（2）60953（1）60（2）3.5（1）1.1/1（2）60914（1）60（2）3.5（2）1.2/1（1）50945（2）80（1）2.5（1）1.1/1（2）60916（2）80（1）2.5（2）1.2/1（1）50967（2）80（2）3.5（1）1.1/1（1）50838（2）80（2）3.5（2）1.2/1（2）6088试验计划列出后，按随机化后的次序进行试验，并记录试验结果y。本例的试验结果见表的最后一列。一、统计模型记在水平组合AiBjCkDl下的试验结果为ijkly，它有如下的结构式：(),1,2ijklijklijijkyμabcdabε,i,j,kl其中•是一般平均值•lkjidcba、、、分别是各因子相应水平的主效应•ijab)(是因子A的第i个水平与因子B的第j个水平的交互效应5.3.2数据的方差分析统计模型二、平方和分解•正交表)2(78L上8个数据的总平方和为812)(iiTyyS，718Tf其中第j列的平方和为18)()(4)(42212221jjjjjjfTTyTyTS，这里jiT与jiT分别是第j列第i水平对应的数据之和及平均值。•各因子与交互作用的平方和分别为：12471;11;1AABBCCDDSSfSSfSSfSSf，，，，13BABAfSS，，2,65eefSSS表5.3.4例5.3.1的计算表表头设计ABA×BCD列号试验号1234567Y111111118621112222953122112291412