简化解析几何运算技巧专题

专题：简化解析几何运算的5个技巧中学解析几何是将几何图形置于直角坐标系中，用方程的观点来研究曲线，体现了用代数的方法解决几何问题的优越性，但有时运算量过大，或需繁杂的讨论，这些都会影响解题的速度，甚至会中止解题的过程，达到“望题兴叹”的地步．特别是高考过程中，在规定的时间内，保质保量完成解题的任务，计算能力是一个重要的方面．为此，从以下几个方面探索减轻运算量的方法和技巧，合理简化解题过程，优化思维过程．技法一巧用定义，揭示本质定义是导出其性质的“发源地”，解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上．[典例]如图，F1，F2是椭圆C1：x24＋y2＝1与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是C1，C2在第二、四象限的公共点．若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是()A．2B．3C．32D．62[解析]由已知，得F1(－3，0)，F2(3，0)，设双曲线C2的实半轴长为a，由椭圆及双曲线的定义和已知，可得|AF1|＋|AF2|＝4，|AF2|－|AF1|＝2a，|AF1|2＋|AF2|2＝12，解得a2＝2，故a＝2．所以双曲线C2的离心率e＝32＝62．[答案]D[方法点拨]本题可巧妙运用椭圆和双曲线的定义建立|AF1|，|AF2|的等量关系，从而快速求出双曲线实半轴长a的值，进而求出双曲线的离心率，大大降低了运算量．[对点演练]抛物线y2＝4mx(m＞0)的焦点为F，点P为该抛物线上的动点，若点A(－m,0)，则|PF||PA|的最小值为________．解析：设点P的坐标为(xP，yP)，由抛物线的定义，知|PF|＝xP＋m，又|PA|2＝(xP＋m)2＋y2P＝(xP＋m)2＋4mxP，则|PF||PA|2＝xP＋m2xP＋m2＋4mxP＝11＋4mxPxP＋m2≥11＋4mxP2xP·m2＝12(当且仅当xP＝m时取等号)，所以|PF||PA|≥22，所以|PF||PA|的最小值为22．答案：22技法二设而不求，整体代换对于直线与圆锥曲线相交所产生的中点弦问题，涉及求中点弦所在直线的方程，或弦的中点的轨迹方程的问题时，常常可以用代点法求解．[典例]已知椭圆E：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F(3，0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的标准方程为()A．x245＋y236＝1B．x236＋y227＝1C．x227＋y218＝1D．x218＋y29＝1[解析]设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，①②①－②得x1＋x2x1－x2a2＋y1＋y2y1－y2b2＝0，所以kAB＝y1－y2x1－x2＝－b2x1＋x2a2y1＋y2＝b2a2．又kAB＝0＋13－1＝12，所以b2a2＝12．又9＝c2＝a2－b2，解得b2＝9，a2＝18，所以椭圆E的方程为x218＋y29＝1．[答案]D[方法点拨]本题设出A，B两点的坐标，却不需求出A，B两点的坐标，巧妙地表达出直线AB的斜率，通过将直线AB的斜率“算两次”建立几何量之间的关系，从而快速解决问题．[对点演练]过点M(1,1)作斜率为－12的直线与椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率等于________．解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x21a2＋y21b2＝1，x22a2＋y22b2＝1，∴x1－x2x1＋x2a2＋y1－y2y1＋y2b2＝0，∴y1－y2x1－x2＝－b2a2·x1＋x2y1＋y2．∵y1－y2x1－x2＝－12，x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴－b2a2＝－12，∴a2＝2b2．又∵b2＝a2－c2，∴a2＝2(a2－c2)，∴a2＝2c2，∴ca＝22．即椭圆C的离心率e＝22．答案：22技法三巧用“根与系数的关系”，化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由根与系数的关系求出两根间的关系或有关线段长度间的关系．后者往往计算量小，解题过程简捷．[典例](2016·全国甲卷)已知椭圆E：x2t＋y23＝1的焦点在x轴上，A是E的左顶点，斜率为k(k0)的直线交E于A，M两点，点N在E上，MA⊥NA．(1)当t＝4，|AM|＝|AN|时，求△AMN的面积；(2)当2|AM|＝|AN|时，求k的取值范围．[解]设M(x1，y1)，则由题意知y10．(1)当t＝4时，E的方程为x24＋y23＝1，A(－2,0)．由已知及椭圆的对称性知，直线AM的倾斜角为π4．因此直线AM的方程为y＝x＋2．将x＝y－2代入x24＋y23＝1，得7y2－12y＝0．解得y＝0或y＝127，所以y1＝127．因此△AMN的面积S△AMN＝2×12×127×127＝14449．(2)由题意知t3，k0，A(－t，0)．将直线AM的方程y＝k(x＋t)代入x2t＋y23＝1，得(3＋tk2)x2＋2t·tk2x＋t2k2－3t＝0．由x1·(－t)＝t2k2－3t3＋tk2，得x1＝t3－tk23＋tk2，故|AM|＝|x1＋t|1＋k2＝6t1＋k23＋tk2．由题设，直线AN的方程为y＝－1k(x＋t)，故同理可得|AN|＝6kt1＋k23k2＋t．由2|AM|＝|AN|，得23＋tk2＝k3k2＋t，即(k3－2)t＝3k(2k－1)．当k＝32时上式不成立，因此t＝3k2k－1k3－2．t3等价于k3－2k2＋k－2k3－2＝k－2k2＋1k3－20，即k－2k3－20．因此得k－20，k3－20或k－20，k3－20，解得32k2．故k的取值范围是(32，2)．[方法点拨]本例在第(2)问中可应用根与系数的关系求出x1＝t3－tk23＋tk2，这体现了整体思路．这是解决解析几何问题时常用的方法，简单易懂，通过设而不求，大大降低了运算量．[对点演练](2016·兰州实战考试)已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的离心率为12，且经过点P1，32，左、右焦点分别为F1，F2．(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，若△AF2B的内切圆半径为327，求以F2为圆心且与直线l相切的圆的方程．解：(1)由ca＝12，得a＝2c，所以a2＝4c2，b2＝3c2，将点P1，32的坐标代入椭圆方程得c2＝1，故所求椭圆方程为x24＋y23＝1．(2)由(1)可知F1(－1,0)，设直线l的方程为x＝ty－1，代入椭圆方程，整理得(4＋3t2)y2－6ty－9＝0，显然判别式大于0恒成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，△AF2B的内切圆半径为r0，则有y1＋y2＝6t4＋3t2，y1y2＝－94＋3t2，r0＝327，所以S△AF2B＝S△AF1F2＋S△BF1F2＝12|F1F2|·|y1－y2|＝12|F1F2|·y1＋y22－4y1y2＝12t2＋14＋3t2．而S△AF2B＝12|AB|r0＋12|BF2|r0＋12|AF2|r0＝12r0(|AB|＋|BF2|＋|AF2|)＝12r0(|AF1|＋|BF1|＋|BF2|＋|AF2|)＝12r0·4a＝12×8×327＝1227，所以12t2＋14＋3t2＝1227，解得t2＝1，因为所求圆与直线l相切，所以半径r＝2t2＋1＝2，所以所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝2．技法四借“曲线系”，理清规律利用曲线系解题，往往简捷明快，事半功倍，所以灵活运用曲线是解析几何中重要的解题方法和技巧之一．[典例]已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为()A．x236－y2108＝1B．x29－y227＝1C．x2108－y236＝1D．x227－y29＝1[解析]由双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，可设双曲线的方程为x2－y23＝λ(λ＞0)．因为双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，所以F(－6,0)是双曲线的左焦点，即λ＋3λ＝36，λ＝9，所以双曲线的方程为x29－y227＝1．[答案]B[方法点拨]本题利用共渐近线系双曲线方程，可使问题马上得到解决．避免了复杂的判断、可能的分类讨论、繁杂的解方程组，事半功倍．[对点演练]圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2＋6x－4＝0和x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为()A．x2＋y2－x＋7y－32＝0B．x2＋y2－x＋7y－16＝0C．x2＋y2－4x＋4y＋9＝0D．x2＋y2－4x＋4y－8＝0解析：选A设经过两圆的交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ(x2＋y2＋6y－28)＝0，即x2＋y2＋61＋λx＋6λ1＋λy－4＋28λ1＋λ＝0，其圆心坐标为－31＋λ，－3λ1＋λ，又圆心在直线x－y－4＝0上，所以－31＋λ＋3λ1＋λ－4＝0，解得λ＝－7，故所求圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0．技法五巧引参数，方便运算换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等，利用换元引参使一些关系能够相互联系起来，激活了解题的方法，往往能化难为易，达到事半功倍．常见的参数可以选择点的坐标、直线的斜率、直线的倾斜角等．在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或改变原题条件．[典例]设椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|＞3．[解]法一：依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为(x0，y0)．由条件，得y0＝kx0，x20a2＋y20b2＝1.消去y0并整理，得x20＝a2b2k2a2＋b2．①由|AP|＝|OA|，A(－a,0)及y0＝kx0，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0．而x0≠0，于是x0＝－2a1＋k2，代入①，整理得(1＋k2)2＝4k2ab2＋4．又a＞b＞0，故(1＋k2)2＞4k2＋4，即k2＋1＞4，因此k2＞3，所以|k|＞3．法二：依题意，直线OP的方程为y＝kx，可设点P的坐标为(x0，kx0)．由点P在椭圆上，得x20a2＋k2x20b2＝1．因为a＞b＞0，kx0≠0，所以x20a2＋k2x20a2＜1，即(1＋k2)x20＜a2．②由|AP|＝|OA|及A(－a,0)，得(x0＋a)2＋k2x20＝a2，整理得(1＋k2)x20＋2ax0＝0，于是x0＝－2a1＋k2，代入②，得(1＋k2)·4a21＋k22＜a2，解得k2＞3，所以|k|＞3．法三：设P(acosθ，bsinθ)(0≤θ＜2π)，则线段OP的中点Q的坐标为a2cosθ，b2sinθ．|AP|＝|OA|⇔AQ⊥OP⇔kAQ×k＝－1．又A(－a,0)，所以kAQ＝bsinθ2a＋acosθ，即bsinθ－akAQcosθ＝2akAQ．从而可得|2akAQ|≤b2＋a2k2AQ＜a1＋k2AQ，解得|kAQ|＜33．故|k|＝1|kAQ|＞3．[方法点拨]求解本题利用椭圆的参数方程，可快速建立各点之间的联系，降低运算量．[对点演练](2016·长春市质量检测)椭圆x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且离心率为12，点P为椭圆上一动点，△F1P