立体几何典型例题精选(含答案)

FEDCBA立体几何专题复习热点一：直线与平面所成的角例1．（2014，广二模理18）如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，EF∥平面ABCD，1EF，,90FBFCBFC，3AE.（1）求证：AB平面BCF；（2）求直线AE与平面BDE所成角的正切值.变式1：（2013湖北8校联考）如左图，四边形ABCD中，E是BC的中点，2,1,5,DBDCBC2.ABAD将左图沿直线BD折起，使得二面角ABDC为60,如右图.（1）求证：AE平面;BDC（2）求直线AC与平面ABD所成角的余弦值.变式2：[2014·福建卷]在平面四边形ABCD中，AB＝BD＝CD＝1，AB⊥BD，CD⊥BD.将△ABD沿BD折起，使得平面ABD⊥平面BCD，如图1­5所示．(1)求证：AB⊥CD；(2)若M为AD中点，求直线AD与平面MBC所成角的正弦值．热点二：二面角例2．[2014·广东卷]如图1­4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.(1)证明：CF⊥平面ADF；(2)求二面角D­AF­E的余弦值．变式3：[2014·浙江卷]如图1­5，在四棱锥A­BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE＝∠BED＝90°，AB＝CD＝2，DE＝BE＝1，AC＝2.(1)证明：DE⊥平面ACD；(2)求二面角B­AD­E的大小．变式4：[2014·全国19]如图1­1所示，三棱柱ABC­A1B1C1中，点A1在平面ABC内的射影D在AC上，∠ACB＝90°，BC＝1，AC＝CC1＝2.(1)证明：AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3，求二面角A1-AB-C的大小．热点三：无棱二面角例3．如图三角形BCD与三角形MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，23AB.（1）求点A到平面MBC的距离；（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.变式5：在正方体1111ABCDABCD中，1KBB，1MCC，且114BKBB，134CMCC．求：平面AKM与ABCD所成角的余弦值．变式6：如图1111ABCDABCD是长方体，AB＝2，11AAAD，求二平面1ABC与1111ABCD所成二面角的正切值．高考试题精选1．[2014·四川，18]三棱锥A­BCD及其侧视图、俯视图如图1­4所示．设M，N分别为线段AD，AB的中点，P为线段BC上的点，且MN⊥NP.(1)证明：P是线段BC的中点；(2)求二面角A­NP­M的余弦值．2．[2014·湖南卷]如图所示，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形．(1)证明：O1O⊥底面ABCD；(2)若∠CBA＝60°，求二面角C1­OB1­D的余弦值．3．[2014·江西19]如图1­6，四棱锥P­ABCD中，ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD.(1)求证：AB⊥PD.(2)若∠BPC＝90°，PB＝2，PC＝2，问AB为何值时，四棱锥P­ABCD的体积最大？并求此时平面BPC与平面DPC夹角的余弦值．MOHFEDCBA立体几何专题复习答案例1.（2014，广二模）（1）证明：取AB的中点M，连接EM，则1AMMB，∵EF∥平面ABCD，EF平面ABFE，平面ABCD平面ABFEAB，∴EF∥AB，即EF∥MB.……………1分∵EFMB1∴四边形EMBF是平行四边形.……………2分∴EM∥FB，EMFB.在Rt△BFC中，2224FBFCBC，又FBFC，得2FB.∴2EM.……………3分在△AME中，3AE，1AM，2EM，∴2223AMEMAE，∴AMEM.……………4分∴AMFB，即ABFB.∵四边形ABCD是正方形，∴ABBC.……………5分∵FBBCB，FB平面BCF，BC平面BCF，∴AB平面BCF.……………6分（2）证法1：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接,OHEO，FH，则OH∥AB，112OHAB.由（1）知EF∥AB，且12EFAB，∴EF∥OH，且EFOH.∴四边形EOHF是平行四边形.∴EO∥FH，且1EOFH.……………7分由（1）知AB平面BCF，又FH平面BCF，∴FHAB.……………8分∵FHBC，,ABBCBAB平面ABCD，BC平面ABCD，∴FH平面ABCD.……………9分∴EO平面ABCD.∵AO平面ABCD，∴EOAO.……………10分∵AOBD，,EOBDOEO平面EBD，BD平面EBD，∴AO平面EBD.……………11分zyxMOHFEDCBA∴AEO是直线AE与平面BDE所成的角.……………12分在Rt△AOE中，tan2AOAEOEO.……………13分∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2.……………14分证法2：连接AC，AC与BD相交于点O，则点O是AC的中点，取BC的中点H，连接,OHEO，FH，则OH∥AB，112OHAB.由（1）知EF∥AB，且12EFAB，∴EF∥OH，且EFOH.∴四边形EOHF是平行四边形.∴EO∥FH，且1EOFH.……………7分由（1）知AB平面BCF，又FH平面BCF，∴FHAB.∵FHBC，,ABBCBAB平面ABCD，BC平面ABCD，∴FH平面ABCD.∴EO平面ABCD.……………8分以H为坐标原点，BC所在直线为x轴，OH所在直线为y轴，HF所在直线为z轴，建立空间直角坐标系Hxyz，则1,2,0A，1,0,0B，1,2,0D，0,1,1E.∴1,1,1AE，2,2,0BD，1,1,1BE.……………9分设平面BDE的法向量为n,,xyz，由n0BD，n0BE，得220xy，0xyz，得0,zxy.令1x，则平面BDE的一个法向量为n1,1,0.……………10分设直线AE与平面BDE所成角为，则sincos,nAEnAEnAE63.……………11分∴23cos1sin3，sintan2cos.……………13分∴直线AE与平面BDE所成角的正切值为2.……………14分变式1：（2013湖北8校联考）（1）取BD中点F，连结,EFAF,则11,,60,2AFEFAFE……………2分由余弦定理知22222113121cos60,,222AEAFEFAEAEEF………4分又BD平面AEF,,BDAEAE平面BDC………6分（2）以E为原点建立如图示的空间直角坐标系，则31(0,0,),(1,,0)22AC,11(1,,0),(1,,0)22BD………8分设平面ABD的法向量为n(,,)xyz,由00nDBnDA得2013022xxyz,取3z,则3,(0,3,3)yn.136(1,,),cos,224||||ACACACACnnn……11分故直线AC与平面ABD所成角的余弦值为104.…………12分变式2：（2014福建卷）解：(1)证明：∵平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AB⊂平面ABD，AB⊥BD，∴AB⊥平面BCD.…………3分又CD⊂平面BCD，∴AB⊥CD.…………4分(2)过点B在平面BCD内作BE⊥BD.由(1)知AB⊥平面BCD，BE⊂平面BCD，BD⊂平面BCD，∴AB⊥BE，AB⊥BD.……6分以B为坐标原点，分别以BE→，BD→，BA→的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图所示)．依题意，得B(0，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，A(0，0，1)，M0，12，12.则BC→＝(1，1，0)，BM→＝0，12，12，AD→＝(0，1，－1)．…………7分设平面MBC的法向量n＝(x0，y0，z0)，则n·BC→＝0，n·BM→＝0，即x0＋y0＝0，12y0＋12z0＝0，取z0＝1，得平面MBC的一个法向量n＝(1，－1，1)．…………9分设直线AD与平面MBC所成角为θ，则sinθ＝||cos〈n，AD→〉＝|n·AD→||n|·|AD→|＝63.…………11分即直线AD与平面MBC所成角的正弦值为63.…………12分例2.（2014，广东卷）:(1):,,,,A,,,,,,,,,,.(2):EEG//CFDFG,,,GGHAFH,EH,PDABCDPDPCDPCDABCDPCDABCDCDDABCDADCDADPCDCFPCDCFADAFPCCFAFADAFADFADAFACFADFCFDFEGDF解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A平面A过作于连则0022,CD2,30,130,==1,213324,,,=,,,3,2222333319322EG.,7,,42231933193193622,()()474747EHGDAFEDPCCDFCFCDDECFDECPEFDCDEDFDPCPDEEFAEAFEFDFAEEFEHHGAF为二面角的平面角设从而∥即还易求得EF=从而易得故3,476347257cos.1947319GHEHGEH12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),P(23,0,0),,(23,22,0),,,43331(,,0),(,0,0),ADFCP(3,1,0),2222AEF(xDPDCDAxyzDCACFCPFDFCFFEnn解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,43257(4,0,3),.19||||219nAEnAFnnnnn利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为变式3：（2014浙江卷）解：(1)证明：在直角梯形BCDE中，由DE＝BE＝1，CD＝2，得BD＝BC＝2，由AC＝2，AB＝2，得AB2＝AC2＋BC2，即AC⊥BC.…………2分又平面ABC⊥平面BCDE，从而AC⊥平面BCDE，所以AC⊥DE.又DE⊥DC，从而DE⊥平面ACD.…………4分(2)方法一：过B作BF⊥AD，与AD交于点F，过点F作FG∥DE，与AE交于点G，连接BG.由(1)知DE⊥AD，则FG⊥AD.所以∠BFG是二面角B­AD­E的平面角．…………6分在直角梯形BCDE中，由CD2＝BC2＋BD2，得BD⊥BC.又平面ABC⊥平面BCDE，得BD⊥平面ABC，从而BD⊥AB.由AC⊥平面BCDE，得AC⊥CD.在Rt△ACD中，由DC＝2，AC＝2，得AD＝6.在Rt△AED中，由ED＝1，AD＝6，得AE＝7.…………7分在Rt△ABD中，由BD＝2，AB＝2，AD＝6，得BF＝233，AF＝23AD.从而GF＝23ED＝23.…………9分在△ABE，△ABG中，利用余弦定理分别可得cos∠BAE＝5714，BG＝23.…………11分在△BFG中，cos∠BFG＝GF2＋BF2－BG22BF·GF＝32.…………13分所以，∠BFG＝π6，即二面角B­AD­E的大小是π6.…………14分方法二：以D为原点，分别以射线DE，DC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系D­xyz，如图所示．由题意知各点坐标如下：D(0，0，0)，E(1，0，0)，C(0，2，0