解三角形练习题及答案

第1页共7页第一章解三角形一、选择题1．己知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为()．A．90°B．120°C．135°D．150°2．在△ABC中，下列等式正确的是()．A．a∶b＝∠A∶∠BB．a∶b＝sinA∶sinBC．a∶b＝sinB∶sinAD．asinA＝bsinB3．若三角形的三个内角之比为1∶2∶3，则它们所对的边长之比为()．A．1∶2∶3B．1∶3∶2C．1∶4∶9D．1∶2∶34．在△ABC中，a＝5，b＝15，∠A＝30°，则c等于()．A．25B．5C．25或5D．10或55．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝6，b＝4，那么满足条件的△ABC的形状大小()．A．有一种情形B．有两种情形C．不可求出D．有三种以上情形6．在△ABC中，若a2＋b2－c2＜0，则△ABC是()．A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．形状不能确定7．在△ABC中，若b＝3，c＝3，∠B＝30°，则a＝()．A．3B．23C．3或23D．28．在△ABC中，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边．如果a，b，c成等差数列，∠B＝30°，△ABC的面积为23，那么b＝()．A．231B．1＋3C．232D．2＋39．某人朝正东方向走了xkm后，向左转150°，然后朝此方向走了3km，结果他离出发点恰好3km，那么x的值是()．第2页共7页A．3B．23C．3或23D．310．有一电视塔，在其东南方A处看塔顶时仰角为45°，在其西南方B处看塔顶时仰角为60°，若AB＝120米，则电视塔的高度为()．A．603米B．60米C．603米或60米D．30米二、填空题11．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝10，b＝．12．在△ABC中，∠A＝105°，∠B＝45°，c＝2，则b＝．13．在△ABC中，∠A＝60°，a＝3，则CBAcbasinsinsin＝．14．在△ABC中，若a2＋b2＜c2，且sinC＝23，则∠C＝．15．平行四边形ABCD中，AB＝46，AC＝43，∠BAC＝45°，那么AD＝．16．在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝2∶3∶4，则最大角的余弦值＝．三、解答题17．已知在△ABC中，∠A＝45°，a＝2，c＝6，解此三角形．第3页共7页18．在△ABC中，已知b＝3，c＝1，∠B＝60°，求a和∠A，∠C．19．根据所给条件，判断△ABC的形状．(1)acosA＝bcosB；(2)Aacos＝Bbcos＝Cccos．20．△ABC中，己知∠A＞∠B＞∠C，且∠A＝2∠C，b＝4，a＋c＝8，求a，c的长．第4页共7页第一章解三角形参考答案一、选择题1．B解析：设三边分别为5k，7k，8k(k＞0)，中间角为，由cos＝kkkkk85249－64＋25222＝21，得＝60°，∴最大角和最小角之和为180°－60°＝120°．2．B3．B4．C5．C6．C7．C8．B解析：依题可得：30cos2－＋＝23＝30sin212＝＋222accabacbcaacaccabacbca3－2－)＋(＝6＝2＝＋22代入后消去a，c，得b2＝4＋23，∴b＝3＋1，故选B．9．C10．A二、填空题11．56．12．2．13．23．解析：设Aasin＝Bbsin＝Ccsin＝k，则CBAcba＋sin＋sinsin＋＋＝k＝Aasin＝60sin3＝第5页共7页23．14．32．15．43．16．－41．三、解答题17．解析：解三角形就是利用正弦定理与余弦定理求出三角形所有的边长与角的大小．解法1：由正弦定理得sinC＝26sin45°＝26·22＝23．∵csinA＝6×22＝3，a＝2，c＝6，3＜2＜6，∴本题有二解，即∠C＝60°或∠C＝120°，∠B＝180°－60°－45°＝75°或∠B＝180°－120°－45°＝15°．故b＝AasinsinB，所以b＝3＋1或b＝3－1，∴b＝3+1，∠C＝60°，∠B＝75°或b＝3－1，∠C＝120°，∠B＝15°．解法2：由余弦定理得b2＋(6)2－26bcos45°＝4，∴b2－23b＋2＝0，解得b＝3±1．又(6)2＝b2＋22－2×2bcosC，得cosC＝±21，∠C＝60°或∠C＝120°，所以∠B＝75°或∠B＝15°．∴b＝3＋1，∠C＝60°，∠B＝75°或b＝3－1，∠C＝120°，∠B＝15°．18．解析：已知两边及其中一边的对角，可利用正弦定理求解．解：∵Bbsin＝Ccsin，∴sinC＝bBcsin＝360sin1＝21．∵b＞c，∠B＝60°，∴∠C＜∠B，∠C＝30°，∴∠A＝90°．由勾股定理a＝22＋cb＝2，即a＝2，∠A＝90°，∠C＝30°．第6页共7页19．解析：本题主要考查利用正、余弦定理判断三角形的形状．(1)解法1：由余弦定理得acosA＝bcosBa·(bcacb2222)＝b·(accba2222)a2c2－a4－b2c2＋b4＝0，∴(a2－b2)(c2－a2－b2)＝0，∴a2－b2＝0或c2－a2－b2＝0，∴a＝b或c2＝a2＋b2．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．解法2：由正弦定理得sinAcosA＝sinBcosBsin2A＝sin2B2∠A＝2∠B或2∠A＝－2∠B，∠A，∠B∈(0，)∠A＝∠B或∠A＋∠B＝2，∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．(2)由正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC代入已知等式，得AARcossin2＝BBRcossin2＝CCRcossin2，∴AAcossin＝BBcossin＝CCcossin，即tanA＝tanB＝tanC．∵∠A，∠B，∠C∈(0，π)，∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形．20．解析：利用正弦定理及∠A＝2∠C用a，c的代数式表示cosC；再利用余弦定理，用a，c的代数式表示cosC，这样可以建立a，c的等量关系；再由a＋c＝8，解方程组得a，c．解：由正弦定理Aasin＝Ccsin及∠A＝2∠C，得Ca2sin＝Ccsin，即CCacossin2＝Ccsin，∴cosC＝ca2．第7页共7页由余弦定理cosC＝abcba2222，∵b＝4，a＋c＝8，∴a＋c＝2b，∴cosC＝)()(caaccaa＋－4＋＋222＝)())((caacaca＋4＋3－5＝aca43－5，∴ca2＝aca43－5，整理得(2a－3c)(a－c)＝0，∵a≠c，∴2a＝3c．又∵a＋c＝8，∴a＝524，c＝516．