动点或最值问题

第5讲选择填空压轴题之动点或最值问题动点问题是指以几何知识和图形为背景，渗入运动变化观点的一类问题，常见的形式是：点在线段、射线或弧线上运动等．此类题的解题方法：1．利用动点(图形)位置进行分类，把运动问题分割成几个静态问题，然后运用转化的思想和方法将几何问题转化为函数和方程问题．2．利用函数与方程的思想和方法将要解决图形的性质(或所求图形面积)直接转化为函数或方程．我们常常遇到各种求最大值和最小值的问题，统称最值问题．1．解决动态几何题的三个策略：(1)动中觅静：这里的“静”就是问题中的不变量、不变关系，动中觅静就是在运动变化中探索问题中的不变性．(2)动静互化：“静”只是“动”的瞬间，是运动的一种特殊形式，动静互化就是抓住“静”的瞬间，使一般情形转化为特殊问题，从而找到“动”与“静”的关系．(3)以动制动：以动制动就是建立图形中两个变量的函数关系，通过研究运动函数，用联系发展的观点来研究变动元素的关系．2．解决最值问题的两种方法：(1)应用几何性质：①三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边；②两点间线段最短；③连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④定圆中的所有弦中，直径最长.(2)运用代数证法：①运用配方法求二次三项式的最值；②运用一元二次方程根的判别式．1．(导学号：65244058)(2017·枣庄)如图，直线y＝23x＋4与x轴，y轴分别交于点A和点B，点C，D分别为线段AB，OB的中点，点P为OA上一动点，当PC＋PD值最小时，点P的坐标为()A．(－3，0)B．(－6，0)C.(－32，0)D．(－52，0)C2．(导学号：65244059)(2017·宿迁)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝2cm，点P在边AC上，从点A向点C移动，点Q在边CB上，从点C向点B移动．若点P，Q均以1cm/s的速度同时出发，且当一点移动到终点时，另一点也随之停止，连接PQ，则线段PQ的最小值是()A．20cmB．18cmC．25cmD．32cmC3．(导学号：65244060)(2017·东营)如图，已知菱形ABCD的周长为16，面积为83，E为AB的中点，若P为对角线BD上一动点，则EP＋AP的最小值为____________.234．(导学号：65244061)(2017·威海)如图，△ABC为等边三角形，AB＝2.若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP，则线段PB长度的最小值为_____.2335．(导学号：65244062)(2016·无锡)如图，在△AOB中，∠O＝90°，AO＝8cm，BO＝6cm，点C从A点出发，在边AO上以2cm/s的速度向O点运动，与此同时，点D从点B出发，在边BO上以1.5cm/s的速度向O点运动，过OC的中点E作CD的垂线EF，则当点C运动了____s时，以C点为圆心，1.5cm为半径的圆与直线EF相切．178动点问题【例1】(2017·咸宁)如图，在Rt△ABC中，BC＝2，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动，下列结论：①若C，O两点关于AB对称，则OA＝23；②C，O两点距离的最大值为4；③若AB平分CO，则AB⊥CO；④斜边AB的中点D运动路径的长为π2；其中正确的是______________．(填序号)①②③【点评】本题考查了直角三角形30°角的性质、直角三角形斜边中线的性质、等腰三角形的性质、轴对称的性质、线段垂直平分线的性质、动点运动路径问题、弧长公式，熟练掌握直角三角形斜边中线等于斜边一半是本题的关键．[对应训练]1．(1)(2016·苏州)如图，在平面直角坐标系中，已知点A，B的坐标分别为(8，0)，(0，23)，C是AB的中点，过点C作y轴的垂线，垂足为D，动点P从点D出发，沿DC向点C匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为E，连接BP，EC.当BP所在直线与EC所在直线第一次垂直时，点P的坐标为________________．(1，3)(2)(导学号：65244063)(2017·黑龙江)如图，在△ABC中，AB＝BC＝8，AO＝BO，点M是射线CO上的一个动点，∠AOC＝60°，则当△ABM为直角三角形时，AM的长为_____________________．43或47或4最值问题【例2】(2017·泸州)已知抛物线y＝14x2＋1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点F(0，2)的距离与到x轴的距离始终相等，如图，点M的坐标为(3，3)，P是抛物线y＝14x2＋1上一个动点，则△PMF周长的最小值是()A．3B．4C．5D．6C【点评】本题考查了二次函数的性质以及三角形三边关系，根据三角形的三边关系确定点P的位置是解题的关键．[对应训练]2．(1)(2017·毕节)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，AD平分∠CAB，交BC于D点，E，F分别是AD，AC上的动点，则CE＋EF的最小值为()A.403B.154C.245D．6C(2)(导学号：65244064)(2017·乌鲁木齐)如图，点A(a，3)，B(b，1)都在双曲线y＝3x上，点C，D分别是x轴，y轴上的动点，则四边形ABCD周长的最小值为()A．52B．62C．210＋22D．82B(3)(2017·孝感)如图，将直线y＝－x沿y轴向下平移后的直线恰好经过点A(2，－4)，且与y轴交于点B，在x轴上存在一点P使得PA＋PB的值最小，则点P的坐标为________________．(23，0)试题动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为________．34.缺乏动手操作习惯造成错误错解1剖析学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1.所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2.正解当点P与B重合时，BA′取最大值是3，当点Q与D重合时(如图)，由勾股定理得A′C＝4，此时BA′取最小值为1.则点A′在BC边上移动的最大距离为3－1＝2