离散数学习题答案

离散数学习题答案习题一及答案：（P14-15）14、将下列命题符号化：（5）李辛与李末是兄弟解：设p：李辛与李末是兄弟，则命题符号化的结果是p（6）王强与刘威都学过法语解：设p：王强学过法语；q：刘威学过法语；则命题符号化的结果是（9）只有天下大雨，他才乘班车上班qp解：设p：天下大雨；q：他乘班车上班；则命题符号化的结果是（11）下雪路滑，他迟到了解：设p：下雪；q：路滑；r：他迟到了；则命题符号化的结果是15、设p：2+3=5.q：大熊猫产在中国.r：太阳从西方升起.求下列复合命题的真值：（4）解：p=1，q=1，r=0，，19、用真值表判断下列公式的类型：（2）解：列出公式的真值表，如下所示：001111011010100101110001由真值表可以看出公式有3个成真赋值，故公式是非重言式的可满足式。20、求下列公式的成真赋值：（4）解：因为该公式是一个蕴含式，所以首先分析它的成假赋值，成假赋值的条件是：成真赋值有：01，10，11。所以公式的习题二及答案：（P38）5、求下列公式的主析取范式，并求成真赋值：（2）解：原式，此即公式的主析取范式，所以成真赋值为011，111。*6、求下列公式的主合取范式，并求成假赋值：（2）解：原式，此即公式的主合取范式，所以成假赋值为100。7、求下列公式的主析取范式，再用主析取范式求主合取范式：（1）解：原式，此即主析取范式。主析取范式中没出现的极小项为，，，所以主合取范式中含有三个极大项，，MMmmm02024，故原式的主合取范式。9、用真值表法求下面公式的主析取范式：（1）解：公式的真值表如下：0011011010110101111111000101101010111001011110101由真值表可以看出成真赋值的情况有7种，此7种成真赋值所对应的极小项的析取即为主析取范式，故主析取范式567习题三及答案：（P52-54）11、填充下面推理证明中没有写出的推理规则。前提：结论：s证明：①p前提引入②前提引入①②析取三段论④前提引入③④析取三段论前提引入⑦s⑤⑥假言推理15、在自然推理系统P中用附加前提法证明下面推理：（2）前提：结论：证明：用附加前提证明法。①p附加前提引入②①附加③前提引入④②③假言推理⑤s④化简⑥⑤附加⑦前提引入⑧u⑥⑦假言推理故推理正确。16、在自然推理系统P中用归谬法证明下面推理：（1）前提：，，结论：p证明：用归谬法①p结论的否定引入②前提引入③①②假言推理④前提引入⑤③④析取三段论⑥前提引入⑦r⑥化简⑧⑤⑦合取由于，所以推理正确。17、在自然推理系统P中构造下面推理的证明：只要A曾到过受害者房间并且11点以前没离开，A就是谋杀嫌犯。A曾到过受害者房间。如果A在11点以前离开，看门人会看见他。看门人没有看见他。所以，A是谋杀嫌犯。解：设p：A到过受害者房间，q：A在11点以前离开，r：A是谋杀嫌犯，s：看门人看见过A。则前提：，，，结论：r证明：①前提引入②前提引入③①②拒取式④前提引入p⑤③④合取引入⑥前提引入⑦⑤⑥假言推理r习题四及答案：（P65-67）5、在一阶逻辑中将下列命题符号化：（2）有的火车比有的汽车快。解：设F(x)：x是火车，G(y)：y是汽车，H(x,y)：x比y快；则命题符号化的结果是：（3）不存在比所有火车都快的汽车。解：方法一：设F(x)：x是汽车，G(y)：y是火车，H(x,y)：x比y快；则命题符号化的结果是：或方法二：设F(x)：x是火车，G(y)：y是汽车，H(x,y)：x比y快；则命题符号化的结果是：或9、给定解释I如下：(a)个体域为实数集合R。(b)特定元素。(c)函数。谓词。给出以下公式在I下的解释，并指出它们的真值：（2）解：解释是：，含义是：对于任意的实数x，y，若x-y=0则xy。该公式在I解释下的真值为假。14、证明下面公式既不是永真式也不是矛盾式：（1）I解：取解释如下：个体域为全总个体域，F(x)H(x,y)G(y)：x是兔子，：y是乌龟，：x比y跑得快，则该公式在解释I下真值是1；''IIH(x,y)取解释如下：：x比y跑得慢，其它同上，则该公式在解释下真值是0；故公式（1）既不是永真式也不是矛盾式。此题答案不唯一，只要证明公式既不是永真式也不是矛盾式的每个解释合理即可。习题五及答案：（P79-81）5、给定解释I如下：(a)个体域D={3,4}(b)(c)试求下列公式在I下的真值：(1)解：方法一：先消去存在量词15、在自然推理系统中，构造下面推理的证明：N（3）前提：，结论：证明：①前提引入②①置换③②UI规则④前提引入⑤④UI规则⑥③⑤析取三段论F(c)⑦⑥EG规则*22、在自然推理系统中，构造下面推理的证明：（2）凡大学生都是勤奋的。王晓山不勤奋。所以王晓山不是大学生。解：设F(x)：x为大学生，G(x)：x是勤奋的，c：王晓山则前提：，结论：证明：①前提引入②①UI规则③前提引入④②③拒取式25、在自然推理系统中，构造下面推理的证明：每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。王大海是科学工作者，并且是聪明的。所以，王大海在他的事业中将获得成功。（个体域为人类集合）解：设F(x)：x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x)：x是聪明的，I(x)：x在他的事业中获得成功，c：王大海则前提：，，结论：I(c)证明：①前提引入②①化简F(c)③①化简H(c)④前提引入⑤④UI规则⑥②⑤假言推理G(c)⑦③⑥合取引入⑧前提引入⑨⑧UI规则⑩⑦⑨假言推理I(c)习题六及答案（P99-100）28、化简下述集合公式：（3）解：30、设A,B,C代表任意集合，试判断下面命题的真假。如果为真，给出证明；如果为假，给出反例。（6），如果，则解：该命题为假，，否则，故为假。举反例如下：则。（8）一定成立，解：该命题为假，举反例如下：如果B，C都是A的子集，则但不一定成立，例如：，则，,，但。33、证明集合恒等式：（1）证明：习题七及答案：（P132-135）1,2,3,4,5,626设，R为A上的关系，R的关系图如图7.13所示：23（1）求的集合表达式；R,R（2）求r(R),s(R),t(R)的集合表达式。解：（1）由R的关系图可得所以，，可得；当n=2（2），1,541、设A={1，2，3，4}，R为上的二元关系，，（1）证明R为等价关系；（2）求R导出的划分。（1）只需证明R具有自反性、对称性和传递性即可，证明过程如下：（a）任取，有，，所以R具有自反性；（b）任取，若，则有，，，所以R具有对称性；（c）任取，若且，则有且，，，所以R具有传递性，综合（a）（b）（c）可知：R为集合上的等价关系；（2）先求出集合的结果：再分别求集合各元素的等价类，结果如下：RRRRRRRRRRRR。RA/RA/R等价关系R导出的划分就是集合A关于R的商集，而集合A关于R的商集是由R的所有等价类作为元素构成的集合，所以等价关系R导出的划分是：A,R46、分别画出下列各偏序集的哈斯图，并找出A的极大元、极小元、最大元和最小元。（1）解：哈斯图如下：ebcdfaA的极大元为e、f，极小元为a、f；A的最大元和最小元都不存在。*22、给定，A上的关系，试（1）画出R的关系图；（2）说明R的性质。解：（1）12●●●●34（2）R的关系图中每个顶点都没有自环，所以R是反自反的，不是自反的；R的关系图中任意两个顶点如果有边的都是单向边，故R是反对称的，不是对称的；R的关系图中没有发生顶点x到顶点y有边、顶点y到顶点z有边，但顶点x到顶点z没有边的情况，故R是传递的。A,R和B,S*48、设为偏序集，在集合上定义关系T如下：证明T为上的偏序关系。证明：（1）自反性：任取，则：11R为偏序关系，具有自反性，为偏序关系，具有自反性，11又，11221212，故T具有自反性1111（2）反对称性：任取，若a,bTa,b且a,bTa,b，则有：（1）（2）2121，又R为偏序关系，具有反对称性，所以，又S为偏序关系，具有反对称性，所以，故T具有反对称性1122（3）传递性：任取a,b,a,b，，若a,bTa,b且a,bTa,b，则有：11223311222233又R为偏序关系，具有传递性，所以aRa又S为偏序关系，具有传递性，所以bSb122313，故T具有传递性。13131133综合（1）（2）（3）知T具有自反性、反对称性和传递性，故T为上的偏序关系。习题九及答案：（P179-180）8、为有理数集，为上的二元运算，S有（1）运算在S上是否可交换、可结合？是否为幂等的？（2）。运算是否有单位元、零元？如果有，请指出，并求出S中所有可逆元素的逆元解：（1）运算不具有交换律而运算有结合律任取，则有：2运算无幂等律（2）令对均成立则有：对均成立对成立必定有运算的右单位元为1，0，可验证1，0也为运算的左单位元，运算的单位元为1，0令，若存在x,y使得对上述等式均成立，则存在零元，否则不存在零元。由由于不可能对均成立，故a,b*不可能对均成立，故不存在零元；设元素a,b的逆元为x,y，则令，（当）当时，a,b的逆元不存在；1b当时，a,b的逆元是aa11、设，，...,10，问下面的运算能否与S构成代数系统S，如果能构成代数系统则说明运算是否满足交换律、结合律，并求运算的单位元和零元。（3）；大于等于x和y的最小整数解：（3）由*运算的定义可知：，有，故运算在S上满足封闭性，所以运算与非空集合S能构成代数系统；任取有所以运算满足交换律；任取有所以运算满足结合律；任取，有x,所以运算的单位元是1；任取，有所以运算的零元是10；16、设其中表示取x和y之中较大的数。，12其中表示取x和y之中较小的数。求出V和V的所有的子代数。12指出哪些是平凡的子代数，哪些是真子代数。解：（1）V中运算的单位元是1，V的所有的子代数是：；1V的平凡的子代数是：；V的真子代数是：；1（2）V中运算的单位元是6，V的所有的子代数是：，；2V的平凡的子代数是：，；V的真子代数是：。2习题十一及答案：（P218-219）1、图11.11给出了6个偏序集的哈斯图。判断其中哪些是格。如果不是格，说明理由解：（a）、（c）、（f）是格；因为任意两个元素构成的集合都有最小上界和最大下界；（b）不是格，因为{d,e}的最大下界不存在；（d）不是格，因为{b,c}的最小上界不存在；（e）不是格，因为{a,b}的最大下界不存在。2、下列各集合低于整除关系都构成偏序集，判断哪些偏序集是格。（1）L={1，2，3，4，5}；（2）L={1，2，3，6，12}；解：画出哈斯图即可判断出：（1）不是格，（2）是格。4、设L是格，求以下公式的对偶式：)（2）解：对偶式为：，参见P208页定义11.2。、设L为格，，且，证明。证明：9、针对图11.11中的每个格，如果格中的元素存在补元，则求出这些补元。解：（a）图：a,d互为补元，其中a为全下界，d为全上界，b和c都没有补元；（c）图：a,f互为补元，其中a为全下界，f为全上界，c和d的补元都是b和e，b和e的补元都是c和d；（f）图：a,f互为补元，其中a为全下界，f为全上界，b和e互为补元，c和d都没有补元。10、说明图11.11中每个格是否为分配格、有补格和布尔格，并说明理由。解：（a）图：是一条链，所以是分配格，b和c都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格；（c）图：a,f互为补元，c和d的补元都是b和e，b和e的补元都是c和d，所以任何元素皆有补元，是有补格；，所以对运算不满足分配律，所以不是分配格，所以不是布尔格；（f）图：经过分析知图（f）对应的格只有2个五元子格：L1={a,c,d,e,f},L2={a,b,c,d,f}。画出L1和L2的哈斯图可知L1和L2均不同构于钻石格和五角格，根据分配格的充分必要条件（见P213页的定理11.5）得图（f）对应的格是分配格；c和d都没有补元，所以不是有补格，所以不是布尔格。