第4章 水文统计基本知识及方法

1/60《工程水文学》2/60第4章水文统计的基本知识及方法4.1概述4.2概率的基本概念4.3随机变量及其概率分布4.4统计参数估算4.5现行水文频率计算方法——适线法4.6相关分析3/60水文现象水文现象受多种因素影响，具有随机性，故为随机现象。譬如：•同一距离用同一皮尺测多次，所得的结果彼此有差异；•给定相同的降雨强度和降雨时间，在同一块场地上进行多次人工降雨实验，每次所得结果彼此不同；•某水文站年平均流量每年都不相同。上述例子说明，在基本条件保持不变的情况下，多次试验会获得不一致的结果。其原因是除主要条件外，还有许多次要因素作用。随机性规律需要用大量资料加以统计，以得到统计规律及相应的数字特征，常采用概率论和数理统计进行研究。4.1概述4/60水文统计将概率论和数理统计理论引入水文学，研究水文现象的统计变化规律和数字特征的学科被称为水文统计。基本任务——利用所获得的水文、气象资料，研究和分析随机水文现象（如河川径流）的统计变化规律，并以此为基础，对其未来的长期变化作出概率意义下的定量预估，为水利工程的规划、设计、施工和运行管理提供水文依据。譬如：•某流域修建一个水库，其规模取决于水库运行期间(未来100年)的径流和洪水的大小。但是，未来100年的径流和洪水有多大？必须做出估计。•南水北调工程西线方案中，调多少水量为最优？•某水电站装机容量和多年平均发电量是多少？等等5/604.2概率的基本概念事件：在一定的条件组合下，随机试验的结果。其结果分为三类：必然事件、不可能事件和随机事件。概率：随机事件A出现的可能性大小，称为事件A发生的概率，计算式为P(A)＝m/n式中，P(A)为事件A的概率；m为事件A出现的次数；n为所有试验次数。上式为古典随机试验，满足“随机等可能，独立同分布”。6/60事实上，由于水文事件不具备这种性质。为此，要计算随机水文事件的概率，引出了“频率”的概念。频率：设随机事件A在重复试验n次中出现m次，则称为事件A的频率。即W(A)＝m/n实践证明，当n→∞时，P(A)稳定并趋于概率值。水文上，将计算的频率作为概率的近似值。7/604.3.1随机变量概念：指随机试验结果发生变化的变量，分为离散型的和连续型的随机变量两类。水文统计研究的对象是水文随机变量。连续型随机变量自记水位过程——Z(t)～t自记雨量过程——P(t)～tACB4.3随机变量及其概率分布8/60离散型随机变量年降雨量X={x1}，X={x2}，…，X={xn-1}，X={xn}年径流量W={W1}，X={W2}，…，X={Wn-1}，X={Wn}年最大洪峰Qm={Qm1}，X={Qm2}，…，X={Qmn-1}，X={Qmn}年最高水位Zm＝{Zm1}，X＝{Zm2}，…，X＝{Zmn－1}，X＝{Zmn}9/604.3.2随机变量的概率分布离散型的——用随机变量的分布序列表示，即P(X＝xi)＝pi(i＝1，2，…，n)其概率分布满足两个条件：0≤pi≤1，且pi＝1连续型的——用随机变量X大于某值xp的概率p表示，即F(X)＝P(X≤x)＝∫x-∞f(x)dx或F(X)＝P(X≥xp)＝p密度函数：分布函数导数的负值，记为f(x)，即f(x)＝-F’(x)＝-dF(x)/dx10/60如p.80所示，则有F(X)＝P(X≥x)＝∫xp∞f(x)dx其概率分布曲线如p.80所示，也称作水文频率曲线或累积频率曲线。图4-411/604.3.3随机变量的分布(统计)参数一方面，虽然随机变量的概率分布能完整地描述其统计变化规律，实际上，有时仅需要知道它的统计参数（数字特征）就足够了。另一方面，随机变量的统计参数分为总体统计参数和样本统计参数，而水文随机变量的总体始终是未知的，所以只能用样本统计参数来估计总体的统计参数。水文水利计算中常用的统计参数包括位置特征参数(平均数、众数、中位数)和离散特征参数(均值、均方差、变差系数、偏态系数等)。12/60位置特征参数描述随机变量在数轴上位置的特征数。平均数——随机分布的中心离散型平均数：E(X)＝∑ni=1xipi连续型平均数：E(X)＝∫abxf(x)dx众数——概率密度分布的峰点值p.81Fig.5-5中位数——位置居中的数字p.81Fig.5-6X1x2x3X1x2x3XXf(x)f(x)13/60均值或数学期望值——或E(x)离散型随机变量连续型随机变量设水文随机变量观测序列x1，x2，x3，…，xn，则其均值为：均值为分布的中心，表示系列的平均情况，即总体水平的高低，能反映出河流规模的大小。xn1iiixp)X(Exdx)x(xf)X(Exn1iin21xn1nxxxx14/60将上式两端同除以均值，则有式中，称为模比系数或变率。表明模比系数的均值等于1。利用Ki，能使随机变量数字特征的表达式中减少一个参数。1n1iikn1nnk2k1kk15/60标准差(均方差)——离散型随机变量连续型随机变量设有水文随机变量观测序列x1，x2，x3，…，xn，则均方差为：n1ii2ip))X(Ex()X(Ddx)x(f))X(Ex()X(D2n)xx(n1i2i离散特征参数刻划随机变量分布离散程度的指标。16/60均方差表示分布函数的绝对离散程度；均方差越大，分布函数越分散，其值变化幅度也越大，反之亦然。图4-717/60离势系数(离差系数或变差系数)——Cv离差系数表示分布函数的相对离散程度；Cv越大，分布函数越分散，反之亦然。x)X(ECv图4-818/60例1：若系列1为5，10，15和系列2为1，10，19；计算均方差并比较它们的离散程度。答案1：σ1＝4.08和σ2＝7.35例2：若序列1为5，10，15和序列2为995，1000，1005；计算变差系数并比较它们的离散程度。答案2：EX1＝10，σ1＝4.08，Cv1=0.408和EX2＝1000，σ2＝4.08，Cv2＝0.00408问1：甲地区年降雨量的均值为1200mm，均方差为1＝360mm；乙地区年降雨量的均值为800mm，均方差为1＝320mm。试比较甲、乙两地区降水量的分散程度。问2：一条河流上、下游断面的年平均流量的Cv值哪个大？为什么？19/60偏态系数(偏差系数)——Cs或偏差系数表示分布函数的对称程度。Cs＝0时，分布函数对称，随机变量大于均值与小于均值出现机会相等；Cs0时，分布函数正偏，随机变量大于均值比小于均值出现的机会小；Cs0时，分布函数负偏，随机变量大于均值比小于均值出现的机会大；3n1i3in)xx(Cs3vnCn1i3)1iK(Cs图5-920/60理论频率曲线：由实测的水文要素样本系列，通过理论频率分布方程式估算出相应的频率值，再用频率曲线拟合频率点据所得到的频率曲线。常用的理论频率分布从定义可知：若p已知，推求设计值Xp的关键在于确定随机变量X的概率密度函数f(x)。由于水文随机变量复杂多变，其概率分布的确定十分困难。目前，国内外水文计算中经常使用的概率分布曲线(或水文频率曲线)，大致可分为正态分布和P-III型分布两种类型。pdxxfxXPpxp)()(4.3.4几种常用的概率分布曲线21/601）正态分布型：包括正态分布、对数正态分布、三参数对数正态分布、……正态分布——概率密度函数，X～N(u,2)，其均值u和均方差完全确定了分布函数的形状。一般地，水文测量误差、抽样误差服从正态分布。密度曲线的特点：单峰；关于均值u对称，即Cs＝0；曲线两端无限，且与x轴渐进；处出现拐点，曲线与x轴围成的面积为68.3%；3之间的曲线与x轴围成的面积为99.7%。222)Ux(e21)x(f图5-1022/602）皮尔逊(Pearson)分布型：包括P－III型分布、对数P－III型分布、……P－III型分布——英国生物学家皮尔逊研究各种非正态分布函数曲线时，提出了13种分布曲线类型，其中第III型被引入水文学中，其概率分布函数为式中，为的伽玛函数(gamma)；、、a0分别为形状参数、尺度参数和位置参数。)ax(100e)ax()()x(f)(23/60P－III型曲线的形状及其特点：一端有限，另一端无限的曲线；单峰而倒置的铃形；不对称的正偏分布；其位置取决于参数a0，形状取决于，与Cs有关。、和a0三个参数一经确定，P－III型密度函数随之确定。P.84图5-11图5-1124/60可以证明，三参数与均值、Cv、Cs有如下关系：经过以往大量的研究表明，我国多数河流的水文变量近似服从P－III分布（参见SL44-93《水利水电工程设计洪水计算规范》）。)CsCv21(xaCvCsx2Cs402x25/60离均系数——Φ采用P－III型理论分布，对水文现象的长期变化规律作出概率意义下的定量预估，即给出指定频率p所对应的随机变量之取值xp。例如：已知p＝1%（百年一遇）的设计洪峰流量，需要对密度曲线进行积分，求出等于和大于xp的累积频率p值。计算公式如下：上式直接积分是非常繁杂的。为便于在工作中运用，因此水文上制作专用的离均系数Φ值表，以供查算。pxaxpdxeaxxxpp)0(10)()()(26/60若令，则或式中，Φ是均值为零、方差1的标准化变量，称为离均系数。于是，对于频率p，则有：上式包含Cs、p与Φp的关系。根据不同的Cs值，通过积分求出p与Φp之间的关系，可制成专用的Φ值表，供查值计算之用，见p.293附表2所示。如：给定P和Cs值，从Ф值表查得ФP，再将已知的均值和Cv代入中，即可求出相应的xP值。类似地，取不同的p值，得到一系列的xp，便可绘制出理论频率曲线。VxCxx)vC1(xxdvCxdxpdCfpsp,)()1(Cvxxpp27/60例如：某站年平均径流深系列符合p－Ⅲ型分布，已知该系列的R＝1000mm，σ＝162.5mm，Cs＝2Cv，计算设计保证率p＝1%的设计年径流量。解：由Cv＝σ/R＝162.5/650＝0.25，则Cs＝2Cv＝0.5，p＝1%，查表得Ф＝2.68代入进行计算，有R1%＝100×(1＋2.68×0.25)＝1670mm另外，当Cs/Cv等于一定倍数时，可令模比系数KP＝1＋ΦPCv，则变为XP＝KP，式中KP与p和Cs有关，可查p.295附表3。假如有了p和xp的一组对应值，即可绘制理论频率分布曲线。)1(Cvxxpp)1(Cvxxppx28/604.4统计参数估算上述各种频率曲线都含有未知的分布参数。要推求某一指定频率P的随机变量取值XP，就必须确定这些未知分布参数。同时，前面给出了随机变量X的总体统计参数估计方法。事实上，水文变量的总体是未知的，只知道一个观测样本系列x1，x2，…，xn（n为样本容量），又如何用有限的样本（时间序列）估计总体的分布参数呢？参数估计方法有很多，如矩法、三点法、权函数法、极大似然法、概率权重矩法等。29/604.4.1样本估计总体样本——随机水文系列样本容量——样本的项数，即水文系列长度总体——随机变量全体这里仅介绍用矩法进行P－III型分布的参数估计方法。矩法：设水文随机变量X的一个样本x1，x2，…，xn，把计算的统计参数加以修正后，可得到无偏估计值公式如下：均值——均方差的无偏估计量S——1n)xx(Sˆn1i2iniixnx1130/604.4.2无偏估计量若θ∧为未知参数θ的估计量，且满足E(θ∧)＝θ，则称θ∧为θ的无偏估计量。由于矩法估计的统计参数(均值、Cv、Cs)具有抽样误差，不能直接作为总体的统计参数，需进行无偏修正。可以证明样本平均数是总体平均数的无偏估计量：E(x)＝E(X)均方差的无偏估计量：1n)xx(Sˆn1i2i31/60C