12-1函数的傅里叶级数展开

第十二章傅里叶级数和傅里叶变换•第一节函数的傅里叶级数展开前面所研究的幂级数是18世纪初英国数学家泰勒建立的，在分析学中，函数的泰勒展开起着很重要的作用，但是它对函数的要求很高，而且只能作局部逼近。19世纪法国数学家傅里叶研究热传导方程时建立了把函数展为三角级数的方法，其要求为函数黎曼可积或在反常积分意义下绝对可积，并且它可以整体逼近函数。一、傅里叶级数的引进在声学、光学、热力学中有非常重要的作用在偏微分方程的研究中有着非常重要的应用物理学中最简单的波__谐波sin()At__,__,__.A振幅角频率初相位在电子信号处理技术中常见的方波,锯齿波,三角波等,它们的合成和分解都大量用到三角级数.非正弦周期函数:矩形波otu11tttu0,10,1)(当当不同频率正弦波逐个叠加,7sin714,5sin514,3sin314,sin4tttttusin4)3sin31(sin4ttu)5sin513sin31(sin4tttu)7sin715sin513sin31(sin4ttttu)7sin715sin513sin31(sin4)(tttttu)0,(tt)9sin917sin715sin513sin31(sin4tttttu01()sin()nnnfxAAnx若有一般地，01(cossin)nnnAanxbnx()()fxFourier称右端级数为所确定的傅里叶级数(1)什么条件下可以把一个周期函数展开为傅里叶级数？(2)如何展开？问题：二、三角级数三角函数系的正交性10)sin()(nnntnAAtf1.三角级数10)sincoscossin(nnnnntnAtnAA10)sincos(2nnnnxbnxaa,200Aa令,sinnnnAa,cosnnnAb,xt三角级数2.三角函数系的正交性,sin,cos,2sin,2cos,sin,cos,1nxnxxxxx.])2,0[],[2:上的积分等于零或（通常取为度为任意两个不同函数在长正交,0cosnxdx,0sinnxdx三角函数系,,,0sinsinnmnmnxdxmx,,,0coscosnmnmnxdxmx.0cossinnxdxmx),2,1,(nm其中三、傅里叶级数系数1.傅里叶系数01()(cossin),2()kkkafxakxbkx若有且右端级数一致收敛于fx.)1(0a求dxkxbkxadxadxxfkkk])sincos([2)(10,220a01()afxdx.)2(na求nxdxanxdxxfcos2cos)(0]cossincoscos[1nxdxkxbnxdxkxaknknxdxan2cos,nanxdxxfancos)(1),3,2,1(n.)3(nb求nxdxxfbnsin)(1),3,2,1(nnxdxanxdxxfsin2sin)(0]sinsinsincos[1nxdxkxbnxdxkxaknk,nb),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann2020),2,1(,sin)(1),2,1,0(,cos)(1nnxdxxfbnnxdxxfann或傅里叶系数傅里叶级数10)sincos(2nnnnxbnxaa问题:10)sincos(2?)(nnnnxbnxaaxf条件四.傅里叶级数的收敛判别法设)(xf在],[上可积和绝对可积，若f(x)在x点的左右极限都存在，并且两个广义单侧导数：(1)当x是)(xf的连续点时,级数收敛于)(xf;(2)当x是)(xf的间断点时,收敛于2)0()0(xfxf;则f(x)的傅里叶级数在x点收敛,并且都存在xxfxxfxxfxxfxx)0()(lim,)0()(lim00注:函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低的多.01Fourier:(1)f(x),(cossin)2(3)nnnaanxbnxnn1.把周期函数展为级数步骤找出的间断点求出收敛于?(2)按公式算出a,b,写出Fourier级数根据逐点收敛定理指出级数的收敛情况例1在为上展开函数xxf)(],[傅立叶级数.例2以2为周期的矩形脉冲的波形0,0,)(tEtEtumm将其展开为傅立叶级数.ntdttuancos)(1),2,1,0(0nntdttubnsin)(1,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEmntdttuancos)(1,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm),2,1,0(0nntdttuancos)(1,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEmntdttubnsin)(1),2,1,0(0nntdttuancos)(1,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEm),2,1,0(0nntdttuancos)(1ntdttubnsin)(1),2,1,0(0nntdttuancos)(1,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEmntdttubnsin)(1),2,1,0(0nntdttuancos)(1),2,1,0(0nntdttuancos)(1ntdttubnsin)(1),2,1,0(0nntdttuancos)(1,2,1,2,0,2,1,12,)12(4kknkknkEmntdttubnsin)(1),2,1,0(0nntdttuancos)(1otumEmEotumEmE和函数图象为所求函数的傅氏展开式为1)12sin()12(4)(nmtnnEtu),2,,0;(tt例3在为上展开函数xxf)(]2,0[傅立叶级数.22000112,cos0naxdxaxxdx解：2012sinnbxnxdxn112220202()~[sinsinsin],,,fxxxkxkxxx该函数傅里叶级数图形？11sin202kxkxkx作业：P1262;3;5;6;例4将函数)0(1)(xxxf分别展开成正弦级数和余弦级数.解(1)求正弦级数.,)(进行奇延拓对xf0sin)(2nxdxxfbn正弦级数和余弦级数,6,4,22,5,3,122nnnn当当]3sin)2(312sin2sin)2[(21xxxx)0(x(2)求余弦级数.,)(进行偶延拓对xf00)1(2dxxa,20cos)1(2nxdxxan,5,3,14,6,4,202nnn当当]5cos513cos31(cos412122xxxx)0(x15(0,)2()cos(1)()nnfxanxx例应当如何把区间内的可积函数延拓后，使它展开成的傅里叶级数的形如3、以T为周期的函数傅里叶级数设f(x)周期为T,在(-T/2,T/2)可积和绝对可积,01()~(cossin)2nnnafxanxbnx设/2/2/2/22()cos,2()sin.TnTTnTafxnxdxTbfxnxdxT其中阶谐波角频率，nxnbxnaTnnsincos22Tx令，()()()22Tffx则为周期的周期函数，例6设)(xf在)2,2[上的表达式为20020)(xkxxf,将其展成傅氏级数.并求其傅氏级数的和函数.欧拉(Euler)公式,sincosxixeixieexeexixixixix2sin2cos则称为欧拉公式.欧拉公式揭示了三角函数和复变量指数函数之间的一种关系.,sincosxixeix也称为欧拉公式.五、傅里叶级数的复数形式2/2/2/2/),2,1(,sin)(2),2,1,0(,cos)(T2TTnTTnnxdxnxfTbnxdxnxfa其中傅里叶系数公式由函数的傅立叶级数01()(cossin)2nnnafxanxbnx将欧拉公式代入得1(),2intnnfxce就是f(x)的傅里叶级数复数形式.其中,nnnnnncaibcaib互为共轭复数.222(),(0,1,2,)TintTncftedtnT傅里叶级数复数形式的系数也称为傅里叶级数的复振幅.22=||nnnnnAabc阶谐波的振幅在实数形式中为：ncn复振幅的模恰为阶谐波的振幅作业：P1274;7;8;9;11六、收敛判别法的证明1、狄利克雷积分()[-,]fx设在可积或（在反常积分意义下）绝对可积其傅里叶级数为01()(cossin)2nnnafxanxbnx01(f())=(cossin)2nnkkkaxakxbkx其部分和为s-2+1sin(-)12=()-2sin2ntxftdttx+-2+1sin(-)12=()-2sin2xxntxftdttx-2+1sin12=(x+u)2sin2nufduu0-02+1sin12=(+)(x+u)2sin2nufduu02+1sin12=(()+(-))2sin2nufxufxuduu以上表达式都称为狄利克雷积分02+12sin122sin2nuduu=10=121=(+cos)2nkkudu注意到02+1sin12s(f(x))-=(()+(-)-2)2sin2nnusfxufxusduu()=(+)+(-)-2ufxufxus记f(x)则的傅里叶级数在x点收敛的问题归结为s,取到适当的使得02+1sin12lim()=02sin2nnuuduu2、黎曼引理()[,]u设函数在ab上可积和绝对可积，则以下极限式成立：alim()sin=0,bpupudualim()cos=0bpupudu(1)()x局部性定理：函数fx的傅里叶级数在点的收敛性，只与该点的充分小邻域的值有关。利用黎曼引理可得傅里叶级数的一些性质--(2),lim=lim()cos=0,lim=lim()sin=0,nnnnnnafxntdtbfxntdt可积和绝对可积函数的傅里叶系数趋于零01112+1(3)lim()(-)sin=022sin2nnuuduuu3.(Dini)迪尼判别法及其推论：,()=(+)+(-)-2,()[0,]()xs.ufxuf