2015-2016学年高中数学 2.1.2向量的加法课件 新人教B版必修4解析

平面向量第二章2.1向量的线性运算第二章2.1.2向量的加法课堂典例讲练2易错疑难辨析3课时作业5课前自主预习1思想方法技巧4课前自主预习我们是否可以根据飞机从甲地飞往乙地的方向与距离以及从乙地飞往丙地的方向与距离来确定甲地到丙地的方向与距离呢？1．向量加法的定义已知向量a、b，在平面上任取一点A，作AB→＝a，BC→＝b，再作向量AC→，则向量AC→叫做____________，记作________．求两个向量________的运算，叫做向量的加法．a与b的和a＋b和2．向量求和的三角形法则利用向量加法的定义求两个向量和的作图法则，叫做向量求和的三角形法则．在运用此法则时，要注意“首尾相接”，即求两个向量的和是以第一个向量的终点为第二个向量的起点，和向量是从第一个向量的________指向第二个向量的________的向量．起点终点3．向量求和的平行四边形法则已知两个不共线向量a、b，作AB→＝a，AD→＝b，则A、B、D三点不共线，以AB→、AD→为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量AC→＝_______.这个法则叫做两个向量求和的平行四边形法则．要注意两个向量是从同一个起点出发的不共线向量．4．向量加法的运算律(1)交换律：____________________；(2)结合律：____________________.a＋ba＋b＝b＋a(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)1．已知非零向量a、b、c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为()A．2B．3C．4D．5[答案]D[解析]根据向量加法的运算律．2．如图所示，在▱ABCD中，BC→＋DC→＋BA→等于()A．BC→B．DA→C．AB→D．AC→[答案]A[解析]∵DC→＝AB→，∴DC→＋BA→＝0，故选A．3．向量a、b满足|a|＝8，|b|＝2，则|a＋b|的最大值为________，最小值为________．[答案]106[解析]由向量加法的三角形法则知，||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，即6≤|a＋b|≤10.4．若a等于“向东走8km”，b等于“向北走8km”，则|a＋b|＝________，a＋b的方向是________．[答案]82km北偏东45°[解析]如图所示，设AB→＝a，BC→＝b，则AC→＝a＋b，且△ABC为等腰直角三角形，则|AC→|＝82，∠BAC＝45°.5．如图，O为正六边形ABCDEF的中心，作出下列向量：(1)OA→＋OC→；(2)BC→＋FE→；(3)OA→＋FE→.[解析](1)如图，由正六边形的性质知，OABC为平行四边形，所以OA→＋OC→＝OB→.(2)由图知，BC→＝FE→＝AO→＝OD→，所以BC→＋FE→＝AO→＋OD→＝AD→.(3)因为OD→＝FE→，OA→＝DO→，所以OA→＋FE→＝OA→＋OD→＝DO→＋OD→＝0.课堂典例讲练如图所示，已知向量a、b、c，试作出向量a＋b＋c.[分析]根据向量加法的结合律，可以按三角形法则或平行四边形法则进行．求作向量的和[解析]解法一：如图所示，首先在平面内任取一点O，作向量OA→＝a，再作向量AB→＝b，则得向量OB→＝a＋b；然后作向量BC→＝c，则向量OC→＝(a＋b)＋c＝a＋b＋c即为所求．解法二：如图所示，首先在平面内任取一点O，然后作向量OA→＝a，OB→＝b，OC→＝c，以OA、OB为邻边作▱OADB，连接OD，则OD→＝OA→＋OB→＝a＋b.再以OD、OC为邻边作▱ODEC，连接OE，则OE→＝OD→＋OC→＝a＋b＋c即为所求．[点评]应用三角形法则、平行四边形法则作向量和时需注意的问题：(1)求作三个或三个以上的向量和时，用多边形法则更简单．作图时要求“首尾相连”，即n个首尾相连的向量的和对应的向量是第一个向量的始点指向第n个向量的终点的向量．(2)平行四边形法则只适用于不共线的向量求和，作图时要求两个向量的起点重合．如图，已知平行向量a、b，求作a＋b.[解析]如图，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b就是求作的向量．(1)AB→＋BC→＋CD→＋DE→；(2)DB→＋CD→＋BC→.化简下列各式：[分析]求向量的和要考虑用向量加法的运算法则和运算律．向量的加法运算[解析](1)AB→＋BC→＋CD→＋DE→＝AC→＋CD→＋DE→＝AD→＋DE→＝AE→.(2)DB→＋CD→＋BC→＝DB→＋BC→＋CD→＝DC→＋CD→＝0.[点评]求和的关键是利用三角形法则，将“首尾连接”的两个向量分在一组．向量加法运算出现零向量时不要将其写成0.在正六边形ABCDEF中，AB→＝a，AF→＝b，用a、b表示向量AC→、AD→、AE→.[分析]用向量a、b表示AC→、AD→、AE→，要利用正六边形的性质，用平行向量、相等向量的知识和向量加法的运算法则求解．[解析]如图，连接FC交AD于点O，连接OB，由平面几何知识得四边形ABOF、四边形ABCO均为平行四边形．根据向量的平行四边形法则，有AO→＝AB→＋AF→＝a＋b.故有AD→＝2AO→＝2a＋2b.在平行四边形ABCO中，AC→＝AB→＋AO→＝a＋a＋b＝2a＋b，而BC→＝AO→＝a＋b＝FE→，由三角形法则得：AE→＝AF→＋FE→＝b＋a＋b＝a＋2b.如图，在平行四边形ABCD的对角线BD的延长线及反向延长线上取点F、E，使BE＝DF.用向量的方法证明四边形AECF也是平行四边形．利用向量加法证明几何问题[分析]抓住向量既有大小，又有方向的特点，结合加法法则证明几何问题，往往比用几何方法证明几何问题更简单、巧妙．[解析]∵AE→＝AB→＋BE→，∴FC→＝FD→＋DC→，AB→＝DC→，BE→＝FD→，∴AE→＝FC→，即AE、FC平行且相等．∴四边形AECF是平行四边形．[点评]利用向量的加法可以证明线段相等和平行．用向量法证明几何问题的关键是把几何关系转化为向量关系，通过向量运算得到结论，然后再把向量关系还原为几何关系．在△ABC中，AB→＝a、BC→＝b，AD为BC边上的中线，G为△ABC的重心，则AG→＝________.[答案]23a＋13b[解析]如图所示，AG→＝23AD→＝23(AB→＋BD→)＝23AB→＋12BC→＝23a＋13b.易错疑难辨析试证：对于任意给定向量a、b，均有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.[错解]如右图所示，设OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b.由三角形的性质知||OA→|－|AB→|||OB→||OA→|＋|AB→|，即||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.∴命题成立．[辨析]此题错在没有对a、b的各种位置关系讨论清楚．[正解](1)若a、b中有一个为0时，则结论显然成立．(2)若a、b都不是0，作OA→＝a，AB→＝b，则OB→＝a＋b.①当a、b不共线时，据三角形的性质知，||OA→|－|AB→|||OB→||OA→|＋|AB→|，即||a|－|b|||a＋b||a|＋|b|.②当a、b共线时，若a，b同向，则|OB→|＝|OA→|＋|AB→|，即|a＋b|＝|a|＋|b|.若a、b反向，则||OA→|－|AB→||＝|OB→|，即||a|－|b||＝|a＋b|.故有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.思想方法技巧转化思想在小船过河时，小船沿垂直河岸方向以速度v1＝3.46km/h行驶，河水流动的速度v2＝2.0km/h，试求小船过河实际行驶速度的大小和方向．[解析]如图，设OA→表示小船垂直于河岸行驶的速度，OB→表示水流的速度，以OA→、OB→为邻边作▱OACB，则OC→就是小船实际航行的速度．在Rt△OBC中，|BC→|＝|v1|＝3.46，|OB→|＝|v2|＝2.0，所以|OC→|＝|OB―→|2＋|BC―→|2＝3.462＋2.02≈4.0.因为tan∠BOC＝|BC||OB|＝1.73，所以∠BOC≈60°.所以小船实际航行速度的大小约为4km/h，方向与水流方向约成60°角．